直线的倾斜角与斜率、直线方程课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线的倾斜角与斜率、直线方程”核心考点，依据高考评价体系梳理了倾斜角计算、斜率公式、直线方程求法等考查要求，通过基础过关题分析方向向量、法向量等高频考点权重，归纳选择、填空、解答典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+易错点突破+素养提升”策略，如2026青岛调研题考查直线倾斜角与方向向量关系，解析中强调倾斜角范围推理，培养数学思维。通过欧拉线应用题渗透模型观念，帮助学生掌握截距问题等答题技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

直线的倾斜角与斜率、直线方程 一、单项选择题 1.若向量a=(,1)是直线l的一个方向向量,则直线l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 基础过关 设直线l的倾斜角为α(0≤α<π),若向量a=(,1)是直线l的一个方向向量,则直线l的斜率为k=tan α==,因为0≤α<π,所以α=. 解析 2.在平面直角坐标系xOy中,直线l通过原点,n=(3,4)是l的一个法向量,则直线l倾斜角的余弦值为(　　) A.- B. C. D.- 因为直线l通过原点,且n=(3,4)是l的一个法向量,所以直线的一个方向向量为m=(4,-3),则直线斜率为-,设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=-,则又0°≤θ<180°,所以sin θ>0,故cos θ=-.故选A. 解析 3.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是(　　) A. B. C.- D.- 设直线l的斜率为k,则k=-=.故选A. 解析 4.若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是(　　) A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 因为过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,所以直线的斜率小于0,即<0,即<0,解得-2<a<1.故选A. 解析 5.(2026·青岛调研)已知直线l:x+y-4=0,则下列结论正确的是(　　) A.点(2,-2)在直线l上 B.直线l在y轴上的截距为-4 C.直线l的倾斜角为 D.直线l的一个方向向量为v=(1,1) 对于A,因为2-2-4=-4≠0,所以点(2,-2)不在直线l上,A错误;对于B,令x=0,得y=4,所以直线l在y轴上的截距为4,B错误;对于C,由l:y=-x+4,得直线l的斜率k=-1,所以直线l的倾斜角为,C正确;对于D,若直线l的一个方向向量为v=(1,1),则直线l的斜率k=1,不合题意,所以D错误.故选C. 解析 6.已知不经过原点的直线l过点(3,7),且满足在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的一般式方程为(　　) A.x-y+4=0 B.x-y-4=0 C.x+y+4=0 D.x+y-4=0 设直线l的截距式方程为=1(a≠0),将点(3,7)代入,可得=1(a≠0),解得a=-4,即直线l的方程为+=1.整理可得直线l的一般式方程为x-y+4=0.故选A. 解析 7.直线2xcos α-y-3=0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 由α∈≤cos α≤,所以k=2cos α∈[1,],设直线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)),则tan θ∈[1,],所以θ∈. 解析 8.已知直线l的斜率小于0,且l经过点P(6,8),并与坐标轴交于A,B两点, C(4,0),当△ABC的面积取得最小值时,直线l的斜率为(　　) A.- B.- C.- D.- 由题意可设直线l:y-8=k(x-6)(k<0),即y=kx+8-6k(k<0).不妨假设A在x轴上,则A,B(0,8-6k),易知A在C右侧,记O为坐标原点,因为 解析 线段OA与OB的长度分别为6-,8-6k,所以△ABC的面积S=(8-6k)=(64+2)=32+16,当且仅当-=-12k(k<0),即k=-时,等号成立. 解析 二、多项选择题 9.下列说法中,正确的有(　　) A.直线y=kx-2在y轴的截距是2 B.直线x-y-3=0的倾斜角为30° C.直线l的方向向量是(2,3),则直线l的斜率是 D.点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上,则直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0 A选项,取x=0,则y=-2,即直线y=kx-2在y轴的截距是-2,A选项错误;B选项,直线x-y-3=0化为y=x-,直线的斜率是,设倾斜角为α(0≤α<180°),则tan α=,α=30°,B选项正确;C选项,根据方向向量的定义可知其正确;D选项,点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上,则Ax0+By0+C=0,即C=-Ax0-By0,直线Ax+By+C=0可化为Ax+By-Ax0-By0=A(x-x0)+B(y-y0)=0,D选项正确.故选BCD. 解析 10.已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是(　　) A.直线l的斜率可能为0 B.直线l的斜率可能不存在 C.直线l过定点(1,1) D.直线l的横、纵截距不可能相等 当m=0时,直线l:x=1,其斜率不存在.当m≠0时,直线l:x-my+m-1=0的斜率k=≠0,故A不正确,B正确.由x-my+m-1=0,得x-1=m(y-1),令所以直线l过定点(1,1),故C正确.当m=1时,直线l:x-y=0,其在x,y轴上的截距均为0,故D不正确.故选BC. 解析 11.已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是(　　) A.直线的倾斜角是π-α B.无论α如何变化,直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 根据直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,A不正确;当x=y=0时,xsin α +ycos α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;当α=时,直线斜率不存在,C不正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S==≥1,D正确. 解析 三、填空题 12.(2026·云南模拟)直线x+ysin α+2=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是 　　　　.  设直线的倾斜角为θ,斜率为k=tan θ,当sin α=0时,直线斜率不存在,此时倾斜角θ为;当sin α≠0时,将直线方程化为斜截式y=-x- 解析 (α≠kπ且α∈R),则k=-(α≠kπ且α∈R),因为-1≤sin α≤1且sin α ≠0,所以-∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以θ∈∪.综上所述,θ∈. 解析 13.若直线l沿x轴向右平移2个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度 后,回到原来的位置,则直线l的斜率为　　　　　　.   由题意,设直线l的方程为y=kx+b,直线l沿x轴向右平移2个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,直线方程为y=k(x-2)+b+1,化简得y=kx-2k+b+1,因为平移后与原直线重合,则kx+b=kx-2k+b+1,解得k=,即直线l的斜率为. 解析 将直线方程变形得x-2+k(y-1)=0,由则定点A 的坐标为(2,1).由于点A在直线mx-y+n=0上,则有2m-1+n=0,所以2m+n=1.所以+=(2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即当n=m时等号成立. 解析 14.已知直线x+ky-2-k=0恒过定点A,则A点的坐标为　　　　;若点A在直线mx-y+n=0(m,n>0)上,则+的最小值为　　　　.  (2,1) 3+2 15.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、 重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为“欧拉线”.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.2x-y-1=0 B.2x+y-=0 C.x+2y-3=0 D.x-2y+1=0 素养提升 由△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3)知,△ABC的重心为点,即点(1,1).因为BC⊥AB,所以△ABC为直角三角形,所以其外心为斜边的中点,即点,即点,所以△ABC的欧拉线方程为=,即x+2y-3=0.故选C. 解析 16.图①是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB', CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图②是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5, =k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=(　　) A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 OD1=DC1=CB1=BA1=1,则DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依题意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2,且=0.725,所以=0.725,故k3=0.9. 解析 $