专题强化09：统计解答题精【三大题型 培优】训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

**基本信息** 聚焦统计核心量计算与综合应用，通过典例变式构建从基础统计量到样本估计总体的递进训练体系，培养数据分析与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计量计算|1典例+2变式|频率分布直方图参数求解、平均数方差计算|从单一统计量到分组数据方差合成，强化数据处理能力| |样本估计总体|1典例+2变式|用样本数据估计总体特征（收入、成绩等）|通过样本分布推断总体，体现统计推断思想| |统计综合问题|1典例+2变式|结合双总体比较、分层抽样的综合应用|整合统计量计算与抽样方法，培养综合解题思维|

专题强化09：统计解答题精讲与精练 【题型归纳】 题型一：百分位数、中位数、众数、平均数、方差的计数 题型二：样本估计总体 题型三：统计综合问题 【题型过关】 题型一：百分位数、中位数、众数、平均数、方差的计数 【典例1】．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． （2）解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 【变式1】．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为 (2) (3)， 【分析】（1）根据频率之和为，求图中的值，用该组区间的中点值代表同组数据计算样本数据的平均数； （2）求出第百分位数可得结果； （3）利用分层抽样的平均数公式和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由题意可得，解得， 平均数为. （2）设“获得该荣誉证书的最低分数”为， 由于分数介于的频率为、分数介于的频率为， 故获得该荣誉证书的最低分数介于之间， 则有，解得. （3）成绩位于的学生人数为， 成绩位于的学生人数为， 因为落在中的样本数据的平均数是，方差是， 落在中的样本数据的平均数是，方差是， 所以两组数据的总平均数， 总方差为. 【变式2】．（25-26高一上·河南驻马店·期末）2023年以来，河南省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河南”成为休闲度假新时尚.现为进一步发展河南文旅，提升河南经济，对5月份来豫旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.    (1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.河南省5月份文旅成绩合格了吗？请说明你的理由； (3)河南文旅6月份继续对来豫旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据估算6月份的总样本的平均数与方差. 【答案】(1)，79.5 (2)有超过60%的人满意度在75分及以上，河南省5月份文旅成绩合格了，理由见解析 (3)总样本平均值为86，总样本方差为96. 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求参数，再计算平均值即可； （2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，求出40%分位数即可； （3）由总体平均数及总体方差公式进行求解． 【详解】（1）由题意知，解得. 估计满意度得分的平均值为. （2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75， 以为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知40%分位数位于. 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河南省5月份文旅成绩合格了. （3）把6月1日-6月15日的样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96. 题型二：样本估计总体 【典例2】．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某市出租车公司统计该公司某品牌出租车1~6月份的平均收入（单位:万元），其情况如下表所示: 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 白天 1.05 0.96 1.29 1.17 1.53 1.2 晚上 1.38 1.26 1.5 1.56 1.8 1.5 (1)试求1~6月份的平均收入及月收入的中位数； (2)甲、乙两位师傅打算合租该品牌的一辆出租车，其中甲师傅租白天、乙师傅租晚上，且租车时间所得利润归各自所有，若该品牌的出租车月出租费为0.81万元，根据1~6月份的收入数据，甲、乙两位师傅如何分配租金最为合理? 【答案】(1)中位数为（万元），平均收入为（万元） (2)甲师傅应该分担（万元），乙师傅应该分担（万元）. 【分析】（1）先将 1~6 月的月收入数据从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数，再用所有数据的和除以数据个数计算平均收入； （2）先分别算出白天、晚上的平均收入，再按收入占比分配总租金，得到两位师傅各自应分担的金额. 【详解】（1）1~6月份的月收入分别为2.43万元，2.22万元，2.79万元，2.73万元，3.33万元，2.7万元，所以中位数为 （万元）.平均收入为 （万元）. （2）由所给数据可知，出租车收入与时间段有关联，所以两位师傅的租金应该根据1~6月份的平均收入按比例分担. 而白天的平均收入为 （万元）， 晚上的平均收入为 （万元）， 所以甲师傅应该分担 （万元）， 乙师傅应该分担 （万元）. 【变式1】．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 【答案】(1)，，第百分位数为. (2)平均数为，方差为. 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积和为以及已知条件可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值，再结合百分位数的定义可求得第百分位数； （2）利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由得，. 由，， 所以第80百分位数位于，记为，则. 化简得：，解得，所以第百分位数为. （2）设剔除、两个分数后，剩余的个分数分别记为、、、， 由题意得：，所以，. 由，所以，. 则. 故剩余个分数的平均数为，方差为. 【变式2】．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 【详解】（1）由题意得 . （2）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 设平均数为，中位数为， 由题意得 ， ， 因为， 所以中位数在中， 由中位数性质得， 解得，而， 可得中位数大于平均数. （3）因为男同学与女同学的人数之比为， 且女生有20人，所以男生有人， 由题意得， 则样本方差为. 题型三：统计综合问题 【典例3】．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 【变式1】．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为；中位数为 (2) (3)（i）证明见解析 （ii）， 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以平均数为； 因为， 所以中位数在内，中位数为； （2）由在及的人群中按分层抽样抽取5人，因为两组频率之比为， 所以在内抽取了2人，记这两人为，在内抽取了3人，记这三人为， 从中选2人有共10种取法， 其中这两人来自于同一组的取法有共4种取法， 所以这两人来自同一组的概率为； （3）（i）， 又因为，所以， 同理可得， 所以， ，所以， 同理可得， 根据方差的定义可得， 所以， 又 又 ， 又， 所以， 同理， 所以 所以 （ii）年龄在及的人群的比例为， 所以利用分层抽样的方法在及的人群中共抽取50人， 则在的人群中应抽取20人，在的人群中应抽到30人， 则， 所以， . 【变式2】．（24-25高一上·山东青岛·阶段检测）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为； (2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为； （ii），，证明见解析. 【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证. 【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、， 则， ， （2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分， 所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了； 若英语132分数学142分，则； 若英语134分数学144分，则； 所以是英语132分数学142分统计反了. 所以英语正确的平均分， 英语正确分数的标准差； （ii）设转换公式为，则， 所以，将代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为：，下面证明 因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为， 则转换后的平均分； 因为， 所以转换后的标准差， 即转换公式满足条件得证. 【专题强化】 1．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于求出； （2）用各组的组中值分别乘对应频率，再求和估计样本平均数； （3）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是 各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 （2）由第（1）问可得 因此各组的频率分别为 对应这名学生的人数分别为 各组的组中值分别为 所以这 名学生竞赛成绩的平均数估计为 计算得 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. （3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为 成绩在内的人数为 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，…，六组，得到如图所示频率分布直方图.    (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】(1)，平均数74； (2)86； (3)，. 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求的值；用该组区间的中点值代表同组数据计算样本数据的平均数. （2）利用频率分布直方图估计第分位数即可. （3）利用分层抽样的平均数公式、方差公式分别求出和． 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得； 平均数为. （2）设“获得该荣誉证书的最低分数”为，由分数介于的频率为、 分数介于的频率为，得获得该荣誉证书的最低分数介于之间， 则有，解得，所以获得该荣誉证书的最低分数为86. （3）由落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3， 所以这两组数据的总平均数为， 方差为. 3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【答案】(1)，第75百分位数是84 (2)样本成绩的众数、中位数和平均数分别约为，75，74 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1列方程可求得的值，根据百分位数的定义可求解第75百分位数；（2）频率分布直方图中，众数的估计值是最高矩形对应区间的中间值，中位数的估计值左右两边矩形面积和均为，平均数的估计值是每组的组中值乘以该组的频率之和. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 4．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） (3)已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1) (2)72.5 (3)平均数为74.5，方差为32. 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1求出. （2）根据平均数公式结合频率分布直方图计算即可. （3）根据平均数和方差公式进行计算即可. 【详解】（1）由，得. （2）估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为. （3）由图可得的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为. 设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得. 落在内比赛成绩的方差， 所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32. 5．（25-26高一上·甘肃天水·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数和平均数； (3)若要从成绩在，，的三组数据中，用分层抽样的方法抽取份成绩，则成绩在分的应抽取多少份？ 【答案】(1)； (2)众数、平均数分别为； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质直接求解即可； （2）利用频率分布直方图的性质，直接求解众数和平均数即可； （3）先求出三组数据的频数，然后利用分层抽样的性质直接求解. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为， 可得，解得. （2）由频率分布直方图可得众数等于最高小矩形中点横坐标； 样本平均数为. 即样本成绩的众数为，平均数为. （3）先计算三组数据的频数： 对于：，：， 又：， 三组频数比为，抽取个样本时， 则的抽取个数为：. 即成绩在分的应抽取份. 6．（2026高一上·山东东营·专题练习）某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成，，，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题：    (1)求频率分布直方图中的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； (2)已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)； . (2)；. 【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，可求值；根据分位数的性质求解. （2）先求出，再根据公式可求得. 【详解】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为， 可得，解得. 因为成绩小于分的频率为，占比为， 成绩小于分的频率为， 占比为， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 则，所以分位数为. （2）成绩在，内的人数分别为： ，, 则， 所以. 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； (2)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【答案】(1)，分位数为 (2)； 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，结合分位数的性质进行求解即可； （2）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 所以. 成绩小于分的占比，成绩小于分的占比， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 而，所以分位数为； （2）成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 . 8．（25-26高二上·贵州·阶段检测）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】(1)，平均数74，中位数为75 (2)总平均数，总方差 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得， 样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. （2）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 9．（25-26高二上·黑龙江·期中）某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解； （2）依题意可知题目所求是第%分位数，先判断第%分位数落在哪个区间再求解即可； （3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【详解】（1）一至六组的频率分别为， 所以，平均数为. 由图可知，众数为. 因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. （2）前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 第%分位数落在第组，设为，则，解得. “人工智能科普达人”的成绩至少为分. （3）的频率为，的频率为， 所以的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为， 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得， ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 10．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） （3）成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 11．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1)；人 (2) (3)； 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 12．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数； (3)若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则.已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2)86 (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图中 所有矩形块面积和为1，列式计算得解； （2）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果； （3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由题，成绩在的频率为， 在的频率为， 所以样本成绩的80%分位数在内，设样本成绩的80%分位数为， 则，解得， 所以样本成绩的80%分位数为86. （3）频率为，样本量，的频率为，样本量， 所以两组样本的总体平均数， 两组样本的总方差. 13．（24-25高一下·湖南·期末）在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 【答案】(1)众数为27.5，第95百分位数为 (2)①4人，2人；②11 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，可求得众数与95百分位数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知   众数的估计值为27.5， 由频率分布直方图可知，第95百分位数在第五组内， 设第95百分位数为， ，解得； （2）①由频率分布直方图可知，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1， 第四组应该抽取人， 第五组应该抽取人； ②第四组和第五组的平均数为， . 14．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示. (1)求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差. 【答案】(1)60人，中位数为75，平均数为 (2)平均值为，方差为 【分析】（1）根据频率分布直方图的特点及中位数和平均数的定义求解即可； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由题可知，打分在内的频率为， 所以样本中打分在内的客户人数为人. 由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30， 设样本的中位数为，则，则，解得， 故样本的中位数为75. . （2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，60， 所以打分在内的样本数据的平均值为. 打分在内的样本数据的方差为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化09：统计解答题精讲与精练 【题型归纳】 题型一：百分位数、中位数、众数、平均数、方差的计数 题型二：样本估计总体 题型三：统计综合问题 【题型过关】 题型一：百分位数、中位数、众数、平均数、方差的计数 【典例1】．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【变式1】．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差． 【变式2】．（25-26高一上·河南驻马店·期末）2023年以来，河南省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河南”成为休闲度假新时尚.现为进一步发展河南文旅，提升河南经济，对5月份来豫旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.    (1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.河南省5月份文旅成绩合格了吗？请说明你的理由； (3)河南文旅6月份继续对来豫旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据估算6月份的总样本的平均数与方差. 题型二：样本估计总体 【典例2】．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某市出租车公司统计该公司某品牌出租车1~6月份的平均收入（单位:万元），其情况如下表所示: 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 白天 1.05 0.96 1.29 1.17 1.53 1.2 晚上 1.38 1.26 1.5 1.56 1.8 1.5 (1)试求1~6月份的平均收入及月收入的中位数； (2)甲、乙两位师傅打算合租该品牌的一辆出租车，其中甲师傅租白天、乙师傅租晚上，且租车时间所得利润归各自所有，若该品牌的出租车月出租费为0.81万元，根据1~6月份的收入数据，甲、乙两位师傅如何分配租金最为合理? 【变式1】．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 【变式2】．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 题型三：统计综合问题 【典例3】．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【变式1】．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【变式2】．（24-25高一上·山东青岛·阶段检测）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下： 数学竞赛前10名分数 英语竞赛前10名分数 8 6 4 2 0 0 8 6 4 2 14 13 0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 (1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差； (2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为. （i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差； （ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明. （参考公式：） 【专题强化】 1．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，…，六组，得到如图所示频率分布直方图.    (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 4．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） (3)已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 5．（25-26高一上·甘肃天水·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，⋯，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的众数和平均数； (3)若要从成绩在，，的三组数据中，用分层抽样的方法抽取份成绩，则成绩在分的应抽取多少份？ 6．（2026高一上·山东东营·专题练习）某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成，，，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题：    (1)求频率分布直方图中的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； (2)已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； (2)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 8．（25-26高二上·贵州·阶段检测）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； (2)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 9．（25-26高二上·黑龙江·期中）某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差 10．（24-25高一下·安徽合肥·期末）新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 11．（24-25高一下·湖北武汉·期末）某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 12．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数； (3)若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则.已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差. 13．（24-25高一下·湖南·期末）在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 1 学科网（北京）股份有限公司 $