专题23.1一次函数与几何综合问题10大题型专项突破（期末复习）八年级数学下册人教版

专题23.1 一次函数与几何综合问题 【10大题型攻坚】 【题型1 一次函数与面积问题】..............................................................................................................1 【题型2 一次函数与线段最值问题】....................................................................................................11 【题型3 一次函数与等腰三角形存在性问题】....................................................................................22 【题型4 一次函数与直角三角形存在性问题】....................................................................................29 【题型5 一次函数与等腰直角三角形存在性问题】............................................................................37 【题型6 一次函数与平行四边形存在性问题】....................................................................................50 【题型7 一次函数与矩形存在性问题】................................................................................................56 【题型8 一次函数与菱形存在性问题】................................................................................................62 【题型9 一次函数与正方形存在性问题】............................................................................................75 【题型10 一次函数与角度存在性问题】..............................................................................................82 题型1 一次函数与面积问题 【例1-1】（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）点C的坐标为，则，根据的面积为10得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图像经过点和点， ∴，解得：， ∴． （2）解：点C的坐标为，则， ∵的面积为10， ∴，解得或， ∴点C的坐标为或． 【例1-2】（2026·江苏南通·一模）已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【答案】(1)点E的坐标为 (2)点F的坐标为或 【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标； （2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵两直线相交于点E， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴，即． ∴ ， ∵在直线上， ∴设， ∴的面积为：， 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故； 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． 【变式1-1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）将代入得的值，再利用待定系数法即可求解直线的函数解析式； （2）根据（1）可知，结合图象即可求解； （3）根据题意可以将，的坐标求出来，四边形的面积为和的面积之差，据此即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 则， 将，代入得， ， 解得， 则； （2）解：由（1）得，， 由图象可知，当时，； （3）解：将代入得，则， 将代入得，则， ∵，， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式可得的面积； （3）先求出的面积是，设点，根据三角形面积公式得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）知：直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：∵的面积是， ∴的面积是， 设点， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 【变式1-3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 【答案】(1)，． (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标先后代入两条直线的解析式，求出和的值； （2）求出、两点坐标得到的长度，以为底、点纵坐标为高，计算的面积； （3）过点作轴，交于点，先求得点的坐标，得出，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， 将点代入可得， 点的坐标为， 将点代入可得，解得． 综上，，． （2）解：根据（1）可知，， 分别令，， 解得，， 则点的坐标为，点的坐标为， 由可得． （3）解：如图，过点作轴，交于点， 当时，，解得：，则 将代入，则 ∴，则 设， ∵ ∴，即 解得：或 ∴或 【变式1-4】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将点代入求出，再联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）①由一次函数的解析式可得，结合，则； ②延长交轴于点，由对称性可得，点，，利用割补法计算出，，结合构造方程，求解出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 解得， ∴直线， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：①将代入，得， ∴点的坐标为， ∵是直线在第一象限内上的点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，延长交轴于点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 又∵点在轴上， ∴直线与直线关于轴对称， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴，， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为，， ， ， ， ， ∴， ∵在四边形内部， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型2 一次函数与线段最值问题 【例2-1】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． (1)求点B和点C的坐标； (2)M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,， 求的最小值． 【答案】(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (2)； 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、平行四边形的性质、轴对称求最短路径、等腰直角三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是利用平行四边形性质转化线段，通过轴对称构造最短路径，结合等腰直角三角形构造全等三角形求解点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求参数，再联立两直线方程求交点的坐标； （2）由平行四边形性质将转化为，作点关于轴的对称点，利用两点之间线段最短求的最小值； 【详解】（1）解：由直线过点，得，解得， 则点的坐标为， 由，解得，则点的坐标为． （2）解：由（1）得点是线段的中点，即， 由，得，，连接，则四边形是平行四边形， 于是，令点关于轴对称点为，连接，， 因此，当且仅当点，，三点共线时取等号，而，过点作轴于点，则，，， 所以的最小值为． 【例2-2】（2026·江苏泰州·模拟预测）在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点称为P、Q两点间的“折线距离”，记作． (1)已知点，则 ； (2)已知点，若点D在直线上，且，求点D的坐标； (3)已知点，点，若点P是线段上的一个动点，求（O为坐标原点）的最小值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)最小为，此时 【分析】（1）充分理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，先设，再得出，然后进行分类讨论计算，即可作答． （3）先运用待定系数法进行求解线段的解析式：，再设，故，然后化简绝对值计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：依题意，设， ∵，且， ∴， ①当时，， 解得， 则， ∴； ②当时，， 解得， 此种情况不符合题意，舍去； ③当时，， 解得， ∴， ∴； 综上，或． （3）解：依题意，设线段的解析式为 把点，点分别代入， 得， 解得， ∴线段的解析式：， 设， 则 ∵ ∴， 当时，最小为， 此时． 【变式2-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据题意列方程即可得出结论； （）由（）可得，求得，过点作轴于点，易证，则有，进而根据勾股定理可求解；作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与轴的交点即为点，进而求出的解析式，最后求解即可； 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于两点， 令，得，故， 令，得，故； （2）解：过点作轴于点，作点关于轴的对称点，连接，如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点到点的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与轴的交点即为点， 由（）可得，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合， ∴点，则点， 设解析式为， 将，代入得 ∴解析式为： 解得： ∴点， 设的解析式为， 则有： 解得： ∴解析式为， 令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点的坐标为； 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）先求出，，推导出，设直线解析式：，将，代入，求出，即可解答； （2）先求出，连接，设，推导出，推导出是直角三角形，且，作点关于直线的对称点，连接，此时点在直线上，且点E为的中点，求出，过点作，交轴于点，求出直线的解析式为，推导出四边形为平行四边形，得到取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为，即可解答． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ，即， 又， ， ． 将点代入直线中，得 可得， ． 设直线解析式：， 将，代入中得： ，， ． （2）解：在中，当时，， ∴， 连接，如图 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 作点关于直线的对称点，连接，如图 此时点在直线上，且点E为的中点， ∴，即， 过点作，交轴于点，如图，设直线的解析式为， 将代入，得，解得 ， 直线的解析式为， 当时， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形 ， ∵取得最小值， ∴取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为． 【变式2-3】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②y的最小值为 【分析】（1）在中，求出时的函数值和时的自变量的值即可得到答案； （2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可； （3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，解得， 此时， ∴， ∴ （3）解：①当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 综上，或； ②当时，一次函数解析式为， 联立，得，， 解得， ∴直线，的交点为； 同理可求直线，的交点为；直线，的交点为； 如图： 当时，， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 当时，最大， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为； 当时， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 综上：的最小值为． 题型3 一次函数与等腰三角形存在性问题 【例3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）设出一次函数解析式，将点和点代入解析式，求出k和b，从而得到一次函数解析式； （2）根据点在直线上，设出点的坐标，再根据，求出点的坐标； （3）根据点在轴上设出C点坐标，分类讨论以为腰的等腰三角形的两种情况，求出对应的点坐标． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为，将、代入得，解得， ． （2）解：设点 ， ， ， ， ，， ， 即， ， 解得或， 当时，； 当时，， ∴点或． （3）解：∵点在轴上， ∴设， 是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：或， 当时，在Rt中，，， 根据勾股定理得， ， ∵点C可能在A点左侧，也可能在A点右侧， ∴点C的横坐标或， 或； 当时，在Rt和Rt中，，， ， ， ， 当时，点A和点C重合，不符合题意， ， ． 综上，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、由三角形面积求点的坐标、等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论和数形结合． 【变式3-1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）根据解析式求出点的坐标，根据轴对称以及勾股定理求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）根据轴对称的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明点的对称点为点，最后利用轴对称的性质证明； （3）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：，理由如下： 根据轴对称的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即点的对称点为点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，    当时，，∴； 当时，此时，点与点重合，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，点坐标为． 【变式3-2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质以及等面积法求解即可； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵和 ∴ ∵ ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴线段的长为； （3）解：如图： 当时，∵ ∴点的纵坐标为或 ∴或 当时，由于， 则， ∴此时， 综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 题型4 一次函数与直角三角形存在性问题 【例4】（25-26八年级下·四川资阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为．过B点的直线与的图象相交于E，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为． (1)求证：； (2)求所在直线的函数关系式； (3)在直线上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据，，可得，然后利用可证明； （2）求出点的坐标，然后设出函数关系，代入求出所在直线的函数解析式； （3）若以为直角边，点为直角顶点，求出直线与直线的交点即为点的坐标；若以为直角边，点为直角顶点，过点作，求出与直线的交点，即为． 【详解】（1）证明：，， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， 点坐标为， ， 点横坐标为， 点坐标为， 设所在直线的函数关系式为， ，； 解得：， 所在直线的解析式为； （3）解：存在． 若以为直角边，点为直角顶点，直线上有一点，使， 点为直线与直线的交点， 由题意得，， 解得：， ； 若以为直角边，点为直角顶点，直线有一点，使， 则过点作，交直线于点， 由（1）和（2）得： ， ， ∴直线的解析式为， 由题意得，， 解得：， ； 点坐标分别为或． 【变式4-1】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． (1)关于的方程组的解为_______． (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)存在，或 【分析】（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组的解； （2）根据点D在一次函数上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形的面积的面积的面积，代入数据即可解答本题； （3）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ， ∴点D的坐标为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D， 的解是， ∴关于x、y的方程组的解为； （2）解：∵一次函数， ∴当时，， ∴点A的坐标为， ∵点D在一次函数上， ，得， ∴一次函数， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， ， ， 即四边形的面积是4； （3）解：存在， 如图，当点E为直角顶点时，过点D作轴于， ， ； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作交x轴于点， 设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ． 解得． ； 由上可得，点E坐标为或． 【变式4-2】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2． (1)用待定系数法求直线的表达式： (2)如图1，点为轴上一点，若，求点的坐标： (3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点M的坐标，先求出点，得出，求出，根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：正比例函数经过点C，点C的横坐标为2， 当时，得：， ∴， ∵直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点， 设直线的表达式为， 将点和点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：设点M的坐标， 当时，得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点M的坐标为或； （3）解：点N的坐标为或．理由如下： 当时，过点C作轴于点M，过点D作交延长线于点F，如图3， ∵，， ∴， 设点，则，， 根据折叠可得：，， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴此时点N的坐标为； 当时，如图4， 设点，则，， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴此时点N的坐标为：； 综上所述，点N的坐标为或． 题型5 一次函数与等腰直角三角形存在性问题 【例5】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)点是轴上一点，且的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)若点在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由一次函数解析式得，即得，设点，则，，可得，进而得到，解方程求出的值即可求解； （）分和两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数，得， ∴， ∴正比例函数的解析式为， 把和代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵的面积是的面积的倍， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：当时，如图，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∴； 当时，如图，过点作轴于点，则， 同理可证， ∴，， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 【变式5-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设． (1)求直线的表达式； (2)求的面积（用含n的代数式表示）； (3)当时，在第一象限内找一点，使为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）把A的坐标代入直线的解析式，即可； （2）求出，，进而可求三角形的面积； （3）由可求出点P的坐标，然后分三种情况讨论：若；若；若；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， ∴直线的解析式是； （2）解：当时，，解得， ∴点． ∴， ∵平行于y轴的直线交于点D，， ∴当时，， ∴， 过点A作，垂足为M，则有， ∵时，，P在点D的上方， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，解得， ∴点． 根据题意得：，， ∴， ∴． 若，过点C作于点N，如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图，过点C作轴于点F． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 若，如图， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ∴点C的坐标是或或． 【变式5-2】（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 【变式5-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，即可得出线段的长，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出的长； （2）①设，利用待定系数法直线的解析式为，由，根据代入数值即可求出的值； ②当点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出的值，即可得到点的坐标；当点在轴上方时，点与关于对称，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 题型6 一次函数与平行四边形存在性问题 【例6】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图⑨，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． 【变式6-1】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)或， (3)或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点，的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）设点的坐标为．由点在直线上，求出或．再求出相应的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：，解得， 点坐标为； 故答案为：； （2）解：将代入直线得：， ， ， 将点代入直线得： ， 解得， 直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ， ， 要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ， 解得或， 当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； （3）解：设点的坐标为． ∵点在直线上， 解得， 即或． 当时，，解得，此时点坐标为； 当时，，解得，此时点坐标为． 所以点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 【变式6-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 题型7 一次函数与矩形存在性问题 【例7】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【分析】（1）设直线l的解析式为，将点，代入求解即可得到答案；（2）根据解析式求出点D的坐标，再根据对称求出点B的坐标，再根据平移得到平行四边形，设出点E坐标，根据平移线段相等列式求解求出E点坐标，最后根据三角形面积即可求出答案；（3）设出点F的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分求出点G的坐标，最后根据矩形对角线相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，矩形的性质，平移的性质，中心对称的性质，解题的关键是根据平移、对称的性质及平行四边形对角线互相平分表示出点的坐标，分类讨论的思想． 【变式7】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)存在；N或或或 【分析】（1）解方程可求得交点坐标； （2）证明即可； （3）利用等高三角形的面积比等于底的比进行计算即可； （4）分为边和为对角线进行讨论计算即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得， ∴， 故答案为：； （2）证明：设的解析式为，把代入得：， 解得 直线为 当时， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴轴， ∴， ∴即平分； （3）解：设，连接如下图： 由题意得：与同高 ∴即 解得： 或； （4）解：存在；若为矩形的一边， 直线的解析式为 设 当以为对角线时，如下图∶ ∵四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 当以为对角线时，同理可得， 若为对角线时，设，， ∵，， ∴的中点坐标为，，， ∴， 则 解得：， ∴或 ∴或， 综上所述；N或或或. 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像及性质，矩形的性质，熟练掌握一次函数的图像及性质以及矩形的性质是解题的关键． 题型8 一次函数与菱形存在性问题 【例8】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，线段的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点D在线段上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的函数解析式． (3)P是直线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）解二元一次方程组得到，，进而得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求解，即可求出点的坐标； （2）设点的坐标为，结合求出点的坐标，再设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）根据直线的解析式推出，再结合菱形的判定与性质分情况讨论当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时，结合勾股定理，菱形性质，坐标与图形求解，即可解题． 【详解】（1）解：解方程组，得， ， ， 即． 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为． 联立，解得， 点的坐标为． （2）解：设点的坐标为， ， ，解得． 点在线段上， ， ． 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：存在． 直线的解析式为， 记直线与轴交于点， ． 如图，当四边形为菱形时，， ， 有， 设点的坐标为， 有， 解得， 得点的坐标为； 当四边形为菱形时，，由， 同理可得点的坐标为； 易知直线与轴的交点的坐标为， ， 当四边形为菱形时，点的坐标为； 易知当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时， 由菱形对角线互相垂直平分可得， 点与点关于对称，且， ， 点的坐标为． 综上所述，以，，，为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 【变式8-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)点坐标为___________，点坐标为___________． (2)将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． (3)若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）令，求解即得到直线与x轴交点A的坐标；联立两个一次函数解析式即可得到其交点P的坐标； （2）先求出平移后的直线表达式，再求出交点的坐标以及的坐标，最后根据四边形的面积求解即可； （3）分两种情况讨论，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，结合菱形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A， 令，则， 解得， 点的坐标为， 直线与直线交于点P 令， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：如图， 由题意得，直线 当时，，解得 联立直线和直线表达式得，， 解得， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 （3）解：存在，设点C的坐标为，设D点坐标为   当时，连接，对角线、交于点G， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得，， 则 解得或（舍）， ， 点G坐标为，即 中点坐标为， ， ， D点的坐标为； 当时，连接对角线、交于点H， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得， 解得或， （舍去）或， ∴的中点 中点坐标为， ， ， 点的坐标为， 综上可知，D点坐标为或． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【答案】(1)①，；②2 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 【变式8-3】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）取的中点，连接，证明为等边三角形，则，即可得到为等边三角形，那么，过点作于点，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可建立函数关系式； （3）当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则为等腰三角形，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，； 当时，，解得 ∴，； （2）解：∵， ∴ ∴ 取的中点，连接， 则 ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴ 过点作于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 即； （3）解：当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则为等腰三角形， 当时，则， ∴， ∴； 当时， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∵为等边三角形，且点在射线上 ∴点重合， ∴； 当时，连接交于点， ∴根据菱形可得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：点C的坐标为或或． 题型9 一次函数与正方形存在性问题 【例9】（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）通过解方程求出线段的长度，得到，则，分别代入直线与直线即可求解； （2）设，则，用a表示出的长度，利用平行四边形的性质求解即可； （3）分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∴， ∴， 分别代入直线与直线得， ， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵轴，以O、E、C、F为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∵直线与直线交于点C， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴E点坐标为或． （3）解：存在， ∵点M与C点关于x轴对称，， ∴， 设，分三种情况： ①为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得：， ∴，与C重合，不合题意； ∴此种情况不存在； ②为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于H，交于L， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得， ∴，与C重合，不合题意； ③为对角线时，如图5，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图6，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上所述，存在，Q点坐标为或． 【变式9】（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与轴交于点，与轴交于点，，．    (1)求直线的解析式； (2)连接，点为直线上一动点，若有，请求出点坐标， (3)点为直线上一动点，点为轴上一动点，请问在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求直线的解析式； （2）利用割补思想， 问题转化为的面积，分两种情况讨论，点Q在延长线上和点Q在延长线上； （3）利用分类讨论的思想，然后将正方形的存在性问题转化为构造“一线三等角”的全等，利用全等三角形的性质，得出对应边相等，建立等量关系． 【详解】（1）解：（1）当时，， ． 当时，，， ．     ， ， ． ， ， ． 设直线的解析式为， 则，解得：， ； （2）解：设 ， ∵， ∴，而 ①点Q在延长线上时，则， ∴，Q在x轴上方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ； ②点Q在延长线上时，则， ∴，Q在x轴下方， 解得：， ∴， 解得：， ∴ ， 综上所述，点Q的坐标为或． （3）存在，理由：设点，    ①当时， 如图，作于点，作于点． ． ∵正方形， ． ，， ， ， ． ， 解得或， 或． 当时，同理，， ∴，， ∴, ∴ 当时，同理可求 ②当时，如图过点作，作于点，作于点．    同理可证：， ，． 设 ，， 解得：或0或（舍） 或． 当时，同理：， ∴, ∴， 当，同理可求． 综上所述，点K的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，数形结合以及分类讨论是解决本题的关键． 题型10 一次函数与角度存在性问题 【例10】（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）分在直线右侧和在直线左侧两种情况进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式， ，解得， 则直线的函数表达式； （2）解：当在直线右侧时， ， ，又， 所以点的横坐标为， 时，， 此时； 当在直线左侧时，设直线与轴交于点， ， ，设， 又，， ，则， 在中，， 即，解得，则， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则； 综上，或． 【变式10-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，D为线段上的动点，连接． ①当点D的纵坐标比横坐标的大7时，求的面积． ②若点D的横坐标为，E是直线上一点，且，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点E的坐标为或 【分析】（1）先求出的值，进而求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设出D点坐标，根据点D的纵坐标比横坐标的大7，列出方程进行求解，再利用分割法求出三角形的面积即可；②如图，点E的位置满足，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点，E作于点G，于点H，证明，设点，进而求出点的坐标，代入函数解析式，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴， ∴当时， ∴． ∵， ∴将点A，B的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：①设点． ∵点D的纵坐标比横坐标的大7， ∴，解得， ∴点． ∵，， ∴， ∴． ②点E的坐标为或． 如图，点E的位置满足，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点，E作于点G，于点H． ∵点D的横坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴，点均为所求． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 设点， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴，代入直线中得， ∴， ∴点E的坐标为或． 【变式10-2】（25-26八年级下·重庆·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出交点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，得，， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：如图， 联立直线与得，， 解得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，；当点M在点E下方时，此时点M位于y轴负半轴； ∴； （3）解：当点在上方时，过点作轴的对称点，记为点，则，， ∵， ∴， ∵点，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 联立直线与得，， 解得， ∴； 当点在下方时， ∵，， ∴， 过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可求直线， 再与直线联立可得，， 解得， ∴， 综上：点G的坐标为或． 【变式10-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且． (1)求直线的解析式； (2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值： (3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求得，根据得出，再待定系数法求解析式，即可； （2）分在的两侧分类讨论，当点在的右侧时，取点，连接，，根据，得出，得出直线的解析式为，进而令，求得点，即可求得平移距离；当点在的左侧时，同理取点，则，同理可得，即可求解； （3）联立直线解析式，得出，当在的左侧时，结合已知得出，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则，，求得直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴ ∵ ∴ 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：当点在的右侧时， 如图，取点，连接，， ∵，，，则 ∴ ∵ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴， 当点在的左侧时，同理取点，则， 同理可得的解析式为， 当时，，则， ∴； 综上，或； （3）解：联立 解得： ∴ 设 如图，当在的左侧时， 由（1）可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 即 又∵ ∴ ∵ ∴，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则， ∴，则 ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 综上所述，或 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.1 一次函数与几何综合问题 【10大题型攻坚】 【题型1 一次函数与面积问题】..............................................................................................................1 【题型2 一次函数与线段最值问题】......................................................................................................3 【题型3 一次函数与等腰三角形存在性问题】......................................................................................5 【题型4 一次函数与直角三角形存在性问题】......................................................................................7 【题型5 一次函数与等腰直角三角形存在性问题】..............................................................................8 【题型6 一次函数与平行四边形存在性问题】....................................................................................10 【题型7 一次函数与矩形存在性问题】................................................................................................11 【题型8 一次函数与菱形存在性问题】................................................................................................12 【题型9 一次函数与正方形存在性问题】............................................................................................14 【题型10 一次函数与角度存在性问题】..............................................................................................15 题型1 一次函数与面积问题 【例1-1】（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． (1)求一次函数的表达式； (2)当轴上有一点，使得△ABC的面积为10，求点的坐标． 【例1-2】（2026·江苏南通·一模）已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【变式1-1】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【变式1-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【变式1-3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 【变式1-4】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 题型2 一次函数与线段最值问题 【例2-1】（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． (1)求点B和点C的坐标； (2)M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,， 求的最小值． 【例2-2】（2026·江苏泰州·模拟预测）在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点称为P、Q两点间的“折线距离”，记作． (1)已知点，则 ； (2)已知点，若点D在直线上，且，求点D的坐标； (3)已知点，点，若点P是线段上的一个动点，求（O为坐标原点）的最小值及此时点P的坐标． 【变式2-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点． (1)求两点的坐标； (2)如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标． 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； 【变式2-3】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 题型3 一次函数与等腰三角形存在性问题 【例3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且△ABC是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 【变式3-1】（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线为与轴、轴分别交于点，点关于直线的对称点恰好落在轴正半轴上的点处．    (1)求点的坐标以及直线的解析式； (2)如图2，延长交于点，连接、，判断与的位置关系，并加以说明； (3)在平面直角坐标系中是否存在点在坐标轴上，使是以为腰的等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 题型4 一次函数与直角三角形存在性问题 【例4】（25-26八年级下·四川资阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为．过B点的直线与的图象相交于E，过点B作轴，垂足为D，且B点横坐标为． (1)求证：； (2)求所在直线的函数关系式； (3)在直线上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． (1)关于的方程组的解为_______． (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2． (1)用待定系数法求直线的表达式： (2)如图1，点为轴上一点，若，求点的坐标： (3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 题型5 一次函数与等腰直角三角形存在性问题 【例5】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)点是轴上一点，且的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)若点在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【变式5-1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设． (1)求直线的表达式； (2)求的面积（用含n的代数式表示）； (3)当时，在第一象限内找一点，使为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【变式5-2】（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6 一次函数与平行四边形存在性问题 【例6】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图⑨，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【变式6-1】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【变式6-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型7 一次函数与矩形存在性问题 【例7】（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【变式7】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8 一次函数与菱形存在性问题 【例8】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，线段的长（）是方程组的解，点C是直线与直线的交点，点D在线段上，． (1)求点C的坐标． (2)求直线的函数解析式． (3)P是直线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)点坐标为___________，点坐标为___________． (2)将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． (3)若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【变式8-3】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 题型9 一次函数与正方形存在性问题 【例9】（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9】（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与轴交于点，与轴交于点，，．    (1)求直线的解析式； (2)连接，点为直线上一动点，若有，请求出点坐标， (3)点为直线上一动点，点为轴上一动点，请问在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10 一次函数与角度存在性问题 【例10】（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 【变式10-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，D为线段上的动点，连接． ①当点D的纵坐标比横坐标的大7时，求的面积． ②若点D的横坐标为，E是直线上一点，且，请直接写出点E的坐标． 【变式10-2】（25-26八年级下·重庆·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求直线表达式； (2)点M为y轴上一动点，△CDM的面积为5，求点M的坐标； (3)连结，点G是直线上一点，且满足，求点G的坐标． 【变式10-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且． (1)求直线的解析式； (2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值： (3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $