9.2.3&9.2.4总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计【五大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本高中数学讲义聚焦总体集中趋势与离散程度的估计，系统梳理平均数、中位数、众数的概念及计算，衔接频率分布直方图中三者的估算方法，延伸至方差、标准差的应用及数据变换对其的影响，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以“数学眼光”从现实情境（如学生锻炼时间、考试成绩）抽象数据特征，通过“数学思维”设计分层题型（典例+变式）训练计算与推理，用“数学语言”呈现频率分布直方图等直观工具。课中助力教师分层教学，课后通过双基达标练习帮助学生查漏补缺，强化数据分析能力。

9.2.3&9.2.4　总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计 【考点梳理】 · 考点一、平均数、中位数、众数 · 考点二、频率分布直方图中位数和平均数的计算 · 考点三、方差、标准差的计算与应用 · 考点四：各数据加减乘除对方差、平均数的影响 · 考点五：总体集中离散程度的估计综合问题 【知识梳理】 知识点01：众数、中位数、平均数 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn). 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数. 众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数. 知识点02：总体集中趋势的估计 1.平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 知识点03：频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. 2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. 3.将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 知识点04：方差、标准差 1．方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为． 这组数据的标准差为． 2．总体(样本)方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差：. 总体标准差：S＝. 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称为样本方差，s＝为样本标准差． 【题型归纳】 题型一、平均数、中位数、众数的计算 【典例1】．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（    ） A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为0 【变式1】．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 【变式2】．（24-25高一下·安徽安庆·期末）在一次高一学生的答题测试中，10位参加测试的同学答对题目的数量分别为7，7，4，6，8，8，2，5，10，7，则该组数据的平均数为__________；该组数据的第70百分位数为__________. 题型二、频率分布直方图中位数和平均数的计算 【典例2】．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【变式1】．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【变式2】．（25-26高一下·新疆·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 题型三、方差、标准差的计算与应用 【典例3】．（2026·上海·一模）某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 【变式1】．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【变式2】．（25-26高一上·辽宁·期末）在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为__________，样本方差为__________． 题型四：各数据加减乘除对方差、平均数的影响 【典例4】．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 题型五：总体集中离散程度的估计综合问题 【典例5】．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【变式1】．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【变式2】．（25-26高二下·重庆·阶段检测）“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 2．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 3．（2026高一·全国·专题练习）小华六年级第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为计算，则小华该学期数学书面测验的总评成绩应为（    ）分． A． B． C． D． 4．（2026·浙江宁波·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 7．（2026·河北·一模）为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 8．（2026高一·全国·专题练习）已知实数，则使和最小的实数k分别为 的（ ） A．中位数，标准差 B．平均数，中位数 C．中位数，平均数 D．标准差，平均数 二、多选题 9．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（    ） A．中位数是8 B．平均数是6 C． D． 10．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩（单位：分）进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图． 下列说法正确的是（    ） A．高一参赛学生成绩的众数是 B．高一参赛学生成绩在的频率是 C．高一参赛学生成绩在的频率是 D．高一参赛学生成绩的平均数是 11．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B．若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 三、填空题 14．（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 15．（2026·福建龙岩·一模）已知从小到大排列的一组数据1，2，4，，8，10，若这组数据的第60百分位数与平均数相等，则实数的值为______. 16．（2026·河南洛阳·模拟预测）下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 17．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知样本数据的标准差为，则数据的方差为______，数据的方差为______． 18．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 四、解答题 19．（25-26高一下·甘肃·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 20．（2026·四川成都·二模）“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 21．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) 22．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 23．（25-26高一上·江西南昌·期末）某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 24．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3&9.2.4　总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计 【考点梳理】 · 考点一、平均数、中位数、众数 · 考点二、频率分布直方图中位数和平均数的计算 · 考点三、方差、标准差的计算与应用 · 考点四：各数据加减乘除对方差、平均数的影响 · 考点五：总体集中离散程度的估计综合问题 【知识梳理】 知识点01：众数、中位数、平均数 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn). 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数. 众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数. 知识点02：总体集中趋势的估计 1.平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 知识点03：频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. 2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. 3.将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 知识点04：方差、标准差 1．方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为． 这组数据的标准差为． 2．总体(样本)方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差：. 总体标准差：S＝. 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称为样本方差，s＝为样本标准差． 【题型归纳】 题型一、平均数、中位数、众数的计算 【典例1】．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（    ） A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为0 【答案】B 【分析】依据中位数，平均数，众数，方差的定义可求. 【详解】平均数为(分钟) 把这组数据按照从低到高的顺序排列为，故中位数为分钟, 这组数据中出现了次,出现的次数最多,故众数是分钟， 由于这个数不完全相等,故方差不为. 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 【答案】 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一下·安徽安庆·期末）在一次高一学生的答题测试中，10位参加测试的同学答对题目的数量分别为7，7，4，6，8，8，2，5，10，7，则该组数据的平均数为__________；该组数据的第70百分位数为__________. 【答案】 6.4 7.5 【分析】根据平均数及百分位数的定义求解. 【详解】将数据从小到大排列得到：2，4，5，6，7，7，7，8，8，10， 平均数为. ，故第70百分位数为. 故答案为：； 题型二、频率分布直方图中位数和平均数的计算 【典例2】．（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为，中位数为. 【分析】（1）根据频率之和等于1求解即可； （2）根据众数、平均数、中位数的定义，结合频率直方图计算可得. 【详解】（1）由频率直方图可得，解得. （2）由图可知，第三组的矩形最高，所以众数为； 平均数， 因为前2组的频率之和， 前3组的频率之和， 所以中位数位于区间内，则中位数为. 【变式1】．（24-25高一下·四川巴中·期末）某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】14.52 【分析】根据频率和为1求得，再由频率直方图求平均值即可. 【详解】由题设，可得， 所以平均值为. 故答案为： 【变式2】．（25-26高一下·新疆·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【答案】(1) (2) (3)中位数为，平均数为 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. （2）由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. （3）由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为， 则. 题型三、方差、标准差的计算与应用 【典例3】．（2026·上海·一模）某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 【答案】4.8 【分析】先求出平均数，再利用方差的定义求出方差. 【详解】所以这组数据的平均数为， 方差为. 【变式1】．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 33岁 10 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 【变式2】．（25-26高一上·辽宁·期末）在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为__________，样本方差为__________． 【答案】 6 【分析】运用合并平均数公式和合并方差公式计算求解． 【详解】设甲同学的样本量为，平均数为，方差为，乙同学的样本量为，平均数为，方差为， 则， 合并后样本量为：， 合并后样本平均数为：， 甲同学的样本平方和为：， 乙同学的样本平方和为：， 合并后总平方和：， 合并后样本方差为：． 故答案为：． 题型四：各数据加减乘除对方差、平均数的影响 【典例4】．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知样本数据，，，，的平均数为4，方差为2，则样本数据，，，，的平均数和方差分别为________和________． 【答案】 10 18 【分析】根据平均数及方差的计算公式计算即可得解. 【详解】由题意知， . 所以 . . 【变式1】．（23-24高一下·吉林四平·期末）若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 【答案】10，12 【分析】利用平均数、方差的性质可得答案. 【详解】若一组数据的平均数为4，方差为3， 则数据的平均数和方差分别是. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一下·湖南长沙·阶段检测）数据的平均数，方差，若，则数据的平均数______，方差______． 【答案】 25 80 【分析】根据平均数、方差的性质求解即可． 【详解】由题意数据的平均数为，方差为， 根据平均数和方差性质可得 数据的平均数， 方差. 故答案为：25；80 题型五：总体集中离散程度的估计综合问题 【典例5】．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)，85； (2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【变式1】．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． （2）解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 【变式2】．（25-26高二下·重庆·阶段检测）“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，，解得； （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 2．（25-26高三下·上海黄浦·阶段检测）某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 【答案】D 【详解】由中位数的意义，得中位数62分为发现统计有误前的成绩由小到大排列的第53个数， 假设加分的是原成绩排第1至53名的学生，且原成绩中第52名为61分，第54名为63分， 调整后，原第52名的成绩变为66分，原第53名变为67分，而原第54名的成绩63分不变， 排序后，新成绩序列的第53项为66分，即中位数为66分， 因此调整后学生成绩的中位数不一定是 62 或 67 分. 3．（2026高一·全国·专题练习）小华六年级第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为计算，则小华该学期数学书面测验的总评成绩应为（    ）分． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小华平时考试平均成绩为（分）， 该学期小华数学书面测验的总评成绩为（分）． 4．（2026·浙江宁波·二模）某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 【答案】D 【分析】分别求出数组A和数组B的极差、平均数、方差、分位数，即可得答案. 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为样本数据，，……，的平均数为2， 所以，，……，的平均数为，因此选项AB均不正确. 因为样本数据，，……，的方差为3， 所以，，……，的方差为，因此选项C不正确，选项D正确. 6．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 【答案】D 【分析】根据方差的定义及性质，平均数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 7．（2026·河北·一模）为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 8．（2026高一·全国·专题练习）已知实数，则使和最小的实数k分别为 的（ ） A．中位数，标准差 B．平均数，中位数 C．中位数，平均数 D．标准差，平均数 【答案】C 【分析】根据中位数和平均数的性质，结合绝对值的性质、二次函数最值性质进行运算求解判断即可. 【详解】表示2 025个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 因为2 025为奇数， 所以k取的中位数时，有最小值； 显然该式可以看成关于k的一元二次函数， 故当时，有最小值， 即k为的平均数时，有最小值. 二、多选题 9．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（    ） A．中位数是8 B．平均数是6 C． D． 【答案】ABD 【分析】借助众数定义可得，再利用中位数与平均数定义计算即可得. 【详解】由这组数据的众数为8，故，则这组数据为， 则这组数据中位数是8，平均数为， 故A、B、D正确，C错误. 10．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩（单位：分）进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图． 下列说法正确的是（    ） A．高一参赛学生成绩的众数是 B．高一参赛学生成绩在的频率是 C．高一参赛学生成绩在的频率是 D．高一参赛学生成绩的平均数是 【答案】ABD 【详解】对于A，频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，所以，A正确； 对于B，高一参赛学生成绩在的频率是，B正确； 对于C，高一参赛学生成绩在的频率是，C错误； 对于D，高一参赛学生成绩的平均数是，D正确． 11．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 12．（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【分析】由统计中的数学特征进行计算即可． 【详解】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B．若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】AD 【分析】对于A，根据方差公式求得样本容量，样本平均数即可判断；对于B，根据方差与标准差，方差的公式求解判断；对于C，先将数据从小到大排序，再求解判断；对于D，结合样本方差与平均值的公式计算即可. 【详解】对于A，由样本的方差得样本容量，样本平均数，所以样本数据总和为，故正确； 对于B，样本数据标准差为8，故样本数据的方差为64， 所以数据的方差为，标准差为，故错误； 对于C，将数据从小到大排序后得12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 所以，所以该组数据的第70百分位数是，故错误； 对于D，一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2， 不妨记原始数据为，则 ，，即， 现样本中又加入一个新数据5，此时样本平均值为， 样本方差为， 所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确. 三、填空题 14．（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 15．（2026·福建龙岩·一模）已知从小到大排列的一组数据1，2，4，，8，10，若这组数据的第60百分位数与平均数相等，则实数的值为______. 【答案】5 【详解】因为，所以该组数据的第60百分位数为从小到大排列的第4个数据. 由题意知，解得. 16．（2026·河南洛阳·模拟预测）下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 【答案】3 【分析】根据百分位数和中位数定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即, 乙组数据的中位数为，根据题意得，解得：， 故答案为： 17．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知样本数据的标准差为，则数据的方差为______，数据的方差为______． 【答案】 11 44 【分析】先根据标准差得出方差，再根据方差性质计算求解. 【详解】根据题意可得数据的方差为11，则数据的方差为． 故答案为：11；44. 18．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 【答案】63 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故答案为：63. 四、解答题 19．（25-26高一下·甘肃·阶段检测）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【答案】(1)，平均数为69.5 (2)21.9 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据第四组和第五组的频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名候选者面试成绩的平均数， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． 20．（2026·四川成都·二模）“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 【答案】(1)32岁 (2)94，6，94，6.8，从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定 【分析】（1）设中位数为a，根据中位数的定义列方程求解即可. （2）求出平均数，再根据方差的定义求方差；比较平均数与方差即可得出结论. 【详解】（1）设中位数为a，∵第一组的频率为， 第二组的频率为，第三组的频率为， 又，，． 则，，则中位数为32岁． （2）5个年龄组成绩的平均数为， 方差． 5个职业组成绩的平均数为， 方差为． 所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定． 21．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以. （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 . 22．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】(1)；； (2)； (3)；. 【分析】（1）由概率之和为1即可求解a，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解； （2）由成绩在的频率和成绩在的频率即可列等量关系求解； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式直接计算即可得解. 【详解】（1）由题可得， 所以样本数据的平均数约为； （2）成绩较高的前的学生对应的频率为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获得该荣誉证书的最低分数为x，则； （3）由题可得成绩在和的频数分别为， 所以这两组数据的总平均数和方差. 23．（25-26高一上·江西南昌·期末）某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1求出； （2）根据平均数公式结合频率分布直方图计算即可； （3）根据方差公式进行计算即可． 【详解】（1）由题意可得， 解得． （2）估计这300名顾客的单次消费金额的平均数为． （3）因为第一组的频率为，第二组的频率为， 所以第一组与第二组所有顾客单次消费金额的平均数为， 为第一组数据所占比例，即，同理， 所以估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 24．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 【答案】(1)，，第百分位数为. (2)平均数为，方差为. 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积和为以及已知条件可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值，再结合百分位数的定义可求得第百分位数； （2）利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由得，. 由，， 所以第80百分位数位于，记为，则. 化简得：，解得，所以第百分位数为. （2）设剔除、两个分数后，剩余的个分数分别记为、、、， 由题意得：，所以，. 由，所以，. 则. 故剩余个分数的平均数为，方差为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $