7.3复数的三角形式【五大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

7.3复数的三角形式 【考点梳理】 【知识梳理】 【题型归纳】 题型一：复数的三角表示 【例1】．（25-26高一下·全国）将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，，，所以，所以． （2）因为，，所以，所以 （3）原式． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复数的三角形式，可设，，化简整理后比较系数即可求得的值，进而可求得复数. 【详解】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出复数的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为. 所以复数化成三角形式为. 故选：C. 3．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 题型二：复数的乘、除运算的三角表示 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． 【举一反三】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 3．（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 题型三：三角表示下复数的乘方与开方 【例3】．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算______． 【答案】 【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． 【举一反三】 1．（22-23高一·全国·课后作业）计算：______． 【答案】 【分析】由复数三角表示的运算公式计算即可. 【详解】解： 故答案为： 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 【答案】 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 3．（2024高一下·全国·专题练习）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是_____． 【答案】 【详解】因为，由棣莫弗公式可得： . 故答案为：. 题型四：复数的辐角 【例4】．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 【答案】 【分析】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 【答案】32； 【分析】先将复数化成三角形式，再利用复数的乘方公式化简，即可求得复数的模与辐角主值. 【详解】因为 ， 所以复数的模为32，辐角的主值为． 故答案为：32；． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则________，________． 【答案】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式将复数化成三角形式，根据角的范围即可求得复数的辐角主值与模. 【详解】 ， 因为，所以， 所以，. 故答案为：；. 3．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 【答案】 / 【分析】利用复数旋转的乘法公式，根据与旋转后的结果相等及的代数形式列等式，即可求得的代数形式，再求其辐射角主值即可. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. 题型五：复数三角表示综合问题 【例5】．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3） . 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·月考）已知复数满足，且． (1)求的三角形式； (2)记、、分别表示复数、、在复平面上的对应点．已知、、三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，所以或， 因为，则复数在复平面上对应的点应位于第二象限，故应舍去， 所以． （2）由题意，对应复数为：，对应复数为：， 因为，、、位置成逆时针顺序，又， 所以把对应复数按逆时针方向旋转即得对应复数． 所以，可得 ， 即， 故. 2．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 【答案】(1)复数根分别为，，主值分别为，(2) 【详解】（1）由题意，方程，即，解得，即， 故方程的所有复数根为，，对于复数，可得，所以，又由，则；对于，可得，所以，又由，则，故，的辐角的主值分别为和. （2）由题意，可得 ， 所以，解得，所以. 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②存在，. 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，. （2）（）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、， （）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点M的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）（ⅰ）设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， （ⅰi）设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以. 【高分达标】 一、单选题 1．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】通过题意找出规律，再化简原式写出复数在复平面内对应的点的坐标判断象限即可. 【详解】因为， 所以对应点在第二象限. 故选：B． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 5．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知，，i为虚数单位，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数之间的关系以及两角和与差的正弦公式计算可得，再由复数的三角表示可得结果. 【详解】由可得，即； 又可得， 联立解得； 可知； 因此； 所以. 故选：A 6．（24-25高一下·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据复数新定义计算，再结合纯虚数定义列式求解. 【详解】， 由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且，所以，，得，， 所以正整数m的最小值为4. 故选：A. 7．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 8．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）关于复数，则下列命题正确的是（   ） A． B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】BCD 【分析】选项A，化简复数，再求的模即可.选项B，写出共轭复数即可判断.选项C，确定在复平面内对应的点为，即可判断.选项D，将写成三角形式，即可确定辐角主值. 【详解】对于A选项，，故，所以A错误. 对于B选项，的共轭复数，所以B正确. 对于C选项，因为对应的点为，位于第四象限，所以C正确. 对于D选项，因为，又，所以辐角主值为，所以D正确. 故选：BCD． 10．（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 11．（25-26高三上·河南郑州·期中）若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．z在复平面内对应的点在第四象限 【答案】BD 【分析】根据复数的性质及三角函数值逐一分析选项即可. 【详解】已知， 则， 的虚部为，A选项错误； ，，B选项正确； ，C选项错误； z在复平面内对应的点为，D选项正确. 故选：BD 12．（24-25高一下·山东临沂·期中）设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．若，则的最大值为5 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【分析】依题设，利用复数的四则运算可逐一判断A，B；对于C，由设，计算化简后，借助于和角公式与三角函数的值域即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合计算即得. 【详解】对于A，设，则， 而，当时必定不成立，故A错误； 对于B，设且，由 ， 可得，解得，即，故B正确； 对于C，因，可设， 则， 则， 故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误； 对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环， 其面积为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 【答案】 【分析】先利用三角恒等式转化符号，将表达式调整为标准三角形式，再把辐角修正到主值范围内即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）. 故答案为：；；； 14．（25-26高一下·全国·课后作业）将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 15．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 16．（25-26高二上·湖北孝感·月考）设i为虚数单位，复数，则|z－i|的最大值为______． 【答案】2 【分析】利用复数的性质识别复数的实部和虚部，再利用模长公式结合三角函数的性质计算. 【详解】已知，则， ， 因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】求出各题中的三角函数值即可求解. 【详解】（1） （2） （3） （4）． 18．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 19．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 20．（2024高三·全国·专题练习）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【详解】（1）设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数； （2）设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以； （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3复数的三角形式 【考点梳理】 【知识梳理】 【题型归纳】 题型一：复数的三角表示 【例1】．（25-26高一下·全国）将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)； (3)． 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 题型二：复数的乘、除运算的三角表示 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【举一反三】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 3．（2024高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 题型三：三角表示下复数的乘方与开方 【例3】．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算______． 【举一反三】 1．（22-23高一·全国·课后作业）计算：______． 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 3．（2024高一下·全国·专题练习）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是_____． 题型四：复数的辐角 【例4】．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则________，________． 3．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 题型五：复数三角表示综合问题 【例5】．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·月考）已知复数满足，且． (1)求的三角形式； (2)记、、分别表示复数、、在复平面上的对应点．已知、、三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求． 2．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． (1)若，求出、， (2)如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 【高分达标】 一、单选题 1．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·随堂练习）已知，，i为虚数单位，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 8．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）关于复数，则下列命题正确的是（   ） A． B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 10．（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·河南郑州·期中）若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．z在复平面内对应的点在第四象限 12．（24-25高一下·山东临沂·期中）设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．若，则的最大值为5 D．若，则点的集合所构成图形的面积为 三、填空题 13．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 15．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 16．（25-26高二上·湖北孝感·月考）设i为虚数单位，复数，则|z－i|的最大值为______． 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 19．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 20．（2024高三·全国·专题练习）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $