第九章 用样本的数字特征估计总体 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦“用样本的数字特征估计总体”核心知识点，系统梳理总体百分位数的定义与计算步骤，总体集中趋势的平均数、中位数、众数及其在频率分布直方图中的估计方法，以及总体离散程度的方差、标准差和分层随机抽样的方差计算，构建从基础定义到实际应用的完整学习支架。 该资料以题型分类为特色，结合文艺比赛打分、知识竞赛成绩等现实案例，引导学生用数学眼光观察数据特征，用数学思维推理计算逻辑，用数学语言表达分析结果。课中助力教师结构化授课，课后通过多样化题型帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

第九章 用样本的数字特征估计总体 目录 题型1：总体百分位数的估计 4 题型2：总体集中趋势的估计 6  平均数、中位数、众数 6  频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 8 题型3：总体离散程度的估计 11  方差与标准差 11  分层随机抽样的方差与标准差 14 1. 总体百分位数的估计 (1) 第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值． (2) 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数． 2. 总体集中趋势的估计 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数. (1) 平均数、中位数、众数 名称 定义 平均数 如果个数，那么叫做这个数的平均数． 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 众数 一组数据中重复出现次数最多的数据（即频率最大值对应的数据样本）叫做这组数据的众数. (2) 求平均数的方法： 1　 定义法：已知为个数据，那么这个数的平均数为。 2　 新数据法：如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为. 3　 加权平均数法：样本中，数据有个，有个,有个,则 . 4　 频率法：若取值为的频率分别为，则其平均数. (3) 频率分布直方图中的平均数、中位数和众数 ①平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． ②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ③众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 3. 总体离散程度的估计 (1) 平均距离、方差、标准差 假设一组数据是用表示这组数据的平均值.那么这组数据到的“平均距离”为,这组数据的方差，这组数据的标准差. 提醒 方差的简化计算公式： (2) 方差相关结论 数据的方差为，则数据的方差为. (3) 分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为为，方差分别为，相应的权重分别为，则这个样本的方差为，其中为样本平均数. (4) 总体离散程度的估计 极差：极差越大，数据的波动范围越大； 方差和标准差：在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差．标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 题型1：总体百分位数的估计 【例1.1.】 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 【例1.2.】 样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（    ） A．2 B．4 C．7 D．13 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】因为，向上取整为2，所以下四分位数是第2个数，即4. 【例1.3.】 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的75%分位数为（   ） A．16 B．17 C．23 D．24 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先将样本数据按从小到大排序，计算75%分位数对应的索引，再依据百分位数的计算规则求解. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28.可知样本容量，， 75%分位数为，因此该组数据的75%分位数为23，对应选项C. 【例1.4.】 已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能； 对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能； 对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能； 对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能. 【例1.5.】 某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 【答案】76 【难度】0.7 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】依题意，前三个小矩形的面积之和为， 前四个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这100名学生成绩的48%分位数为76分. 题型2：总体集中趋势的估计 · 平均数、中位数、众数 【例2.1.】 已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、根据平均数求参数 【详解】由题意知，得， 若，则这五个数为45，50，50，50，55，中位数为50． 若，不妨设，则，又，所以这五个数的中位数仍是50． 【例2.2.】 小华六年级第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为计算，则小华该学期数学书面测验的总评成绩应为（    ）分． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数 【详解】小华平时考试平均成绩为（分）， 该学期小华数学书面测验的总评成绩为（分）． 【例2.3.】 若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】平均数的和差倍分性质 【分析】若一组数据的，，，的平均数为，则，，，的平均数为，利用此公式求解. 【详解】设一组数据的，，，的平均数为，则， 则，，，的平均数为. 【例2.4.】 （多选）已知一组数据，，，，，，，的中位数为，则（    ） A． B．该组数据的平均数为 C．该组数据的分位数为 D．剔除该组数据中的后，剩余数据的平均数变大 【答案】ABD 【难度】0.7 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、总体百分位数的估计 【详解】选项A .将已知数据从小到大排序，插入后，第4，5两数记为，由中位数为17，得，即. 若，排序后第4、5个数为14和18，中位数为16，不符合题意； 当，则，解得， 若，排序后第4、5个数为18和18，中位数为18，不符， 若，则中位数不小于18，不符合题意；综上，正确. 选项B. 所有数据总和为，平均数为，B正确. 选项C .，不是整数，向上取整得第5个数据，排序后第5个数据为18， 故60%分位数为18，错误. 选项D.剔除后，剩余7个数据总和为，平均数为，平均数变大，正确. · 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 【例2.5.】 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 【例2.6.】 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【答案】(1)，第75百分位数是84 (2)样本成绩的众数、中位数和平均数分别约为，75，74 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1列方程可求得的值，根据百分位数的定义可求解第75百分位数；（2）频率分布直方图中，众数的估计值是最高矩形对应区间的中间值，中位数的估计值左右两边矩形面积和均为，平均数的估计值是每组的组中值乘以该组的频率之和. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 【例2.7.】 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】众数、平均数、中位数的比较 【分析】在频率分布直方图中，我们根据图形的形态特点来分析这三个统计量的大小关系。对于对称形态，平均数、中位数和众数大致相等；对于不规则形态，需根据图形具体分析；对于“右拖尾”形态，由于右侧有较大的极端值，会拉高平均数，从而使得众数、中位数和平均数有特定的大小关系。 【详解】A中应有平均数=中位数=众数； B中众数<平均数； C，D中，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 题型3：总体离散程度的估计 · 方差与标准差 【例3.1.】 若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据方差的定义计算即可. 【详解】由已知得，， 又， 所以数据的方差为 所以， 即， 所以， 所以， 即，解得或. 【例3.2.】 （多选）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C．甲队比乙队技术水平更稳定 D．乙队很少不失球 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、用平均数的代表意义解决实际问题 【分析】利用平均数估计数据的平均水平，方差估计数据的稳定性，用来解释实际情况. 【详解】因为甲队每场比赛平均失球数是1.6小于乙队每场比赛平均失球数是2.3， 所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确； 甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5， 所以乙队比甲队技术水平更稳定，故C错误； 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故B正确； 虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3，算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5，由于标准差很小，方差是更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，故D正确； 故选：ABD. 【例3.3.】 若一组个数据、、、的平均数为，方差为，则____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据方差、标准差求参数 【分析】利用方差公式可得出的值. 【详解】由题意可知，这个数据的平均数为， 方差为， 解得. 故答案为：. 【例3.4.】 （多选）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响、计算几个数据的极差、方差、标准差、平均数的和差倍分性质 【分析】利用平均数、方差的线性变换的性质判断选项A，B；利用均值的性质，结合已知条件判断选项C；利用方差的定义，结合计算，进而判断选项D． 【详解】对于A，，，移项得，故A正确； 对于B，，根据方差的线性性质得，故B正确； 对于C，， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确； 对于D，由方差的定义得，则， 由题意得 ，故D错误． 故选：ABC． 【例3.5.】 （多选）一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列， 设，则，去掉后，新数据为共8个数. 选项A：原极差：， 新极差：， 极差变小，A正确； 选项B：原平均数：， 新平均数：，平均数不变，B错误； 选项C：原平均数和新平均数均为， 原方差 新数据的方差 所以方差变小，C正确； 选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数 新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均， 百分位数变大，D错误. · 分层随机抽样的方差与标准差 【例3.6.】 某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】先根据分层抽样比例算出、社区各自抽取的样本量，再计算60名样本居民用水量的总平均数，最后套用分层随机抽样的总体方差公式计算得到方差估计值. 【详解】总人数为（人），抽取人，则抽样比为. 而社区的权重为，社区的权重为. 这两个社区的居民用水量的平均数的估计值为， 所以这两个社区的居民用水量的方差的估计值如下， 为. 【例3.7.】 某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、估计总体的方差、标准差 【详解】设两个班级的总人数为，则甲班的学生数为，乙班学生数为， 所以两班数学的总成绩平均分为， 两班数学的方差为. 【例3.8.】 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 【答案】63 【难度】0.4 【知识点】根据方差、标准差求参数 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故答案为：63. 【例3.9.】 某中学为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这容量为200的样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，≠0，抽取学生的样本容量多于教师的样本容量，则总样本中，学生样本的容量至少为______． 【答案】160 【难度】0.65 【知识点】估计总体的方差、标准差、根据方差、标准差求参数 【分析】假设在样本中，学生、教师的人数分别为，利用平均数公式可得出，利用方差公式结合已知条件可得出，令得，由结合已知条件可求得的取值范围，从而可得答案. 【详解】假设在样本中，学生、教师的人数分别为， 记样本中所有学生的评分为，所有教师的评分为， 由得， 所以 ， 所以，即， 令，则，， 即，解得或， 因为且，得，所以. 所以总样本中学生样本的个数至少为160. 故答案为：160. 【例3.10.】 某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【答案】(1)，平均数为69.5 (2)21.9 【难度】0.85 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、估计总体的方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据第四组和第五组的频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名候选者面试成绩的平均数， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 用样本的数字特征估计总体 目录 题型1：总体百分位数的估计 4 题型2：总体集中趋势的估计 4  平均数、中位数、众数 4  频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 5 题型3：总体离散程度的估计 6  方差与标准差 6  分层随机抽样的方差与标准差 7 1. 总体百分位数的估计 (1) 第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值． (2) 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数． 2. 总体集中趋势的估计 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数. (1) 平均数、中位数、众数 名称 定义 平均数 如果个数，那么叫做这个数的平均数． 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 众数 一组数据中重复出现次数最多的数据（即频率最大值对应的数据样本）叫做这组数据的众数. (2) 求平均数的方法： 1　 定义法：已知为个数据，那么这个数的平均数为。 2　 新数据法：如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为. 3　 加权平均数法：样本中，数据有个，有个,有个,则 . 4　 频率法：若取值为的频率分别为，则其平均数. (3) 频率分布直方图中的平均数、中位数和众数 ①平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． ②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ③众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 3. 总体离散程度的估计 (1) 平均距离、方差、标准差 假设一组数据是用表示这组数据的平均值.那么这组数据到的“平均距离”为,这组数据的方差，这组数据的标准差. 提醒 方差的简化计算公式： (2) 方差相关结论 数据的方差为，则数据的方差为. (3) 分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为为，方差分别为，相应的权重分别为，则这个样本的方差为，其中为样本平均数. (4) 总体离散程度的估计 极差：极差越大，数据的波动范围越大； 方差和标准差：在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差．标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 题型1：总体百分位数的估计 【例1.1.】 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【例1.2.】 样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（    ） A．2 B．4 C．7 D．13 【例1.3.】 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的75%分位数为（   ） A．16 B．17 C．23 D．24 【例1.4.】 已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【例1.5.】 某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 题型2：总体集中趋势的估计 · 平均数、中位数、众数 【例2.1.】 已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 【例2.2.】 小华六年级第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为计算，则小华该学期数学书面测验的总评成绩应为（    ）分． A． B． C． D． 【例2.3.】 若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 【例2.4.】 （多选）已知一组数据，，，，，，，的中位数为，则（    ） A． B．该组数据的平均数为 C．该组数据的分位数为 D．剔除该组数据中的后，剩余数据的平均数变大 · 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 【例2.5.】 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【例2.6.】 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【例2.7.】 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 题型3：总体离散程度的估计 · 方差与标准差 【例3.1.】 若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 【例3.2.】 （多选）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C．甲队比乙队技术水平更稳定 D．乙队很少不失球 【例3.3.】 若一组个数据、、、的平均数为，方差为，则____________． 【例3.4.】 （多选）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （多选）一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（    ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变小 D．第25百分位数变小 · 分层随机抽样的方差与标准差 【例3.6.】 某调查小组为了解本月本市居民的用水情况，利用分层随机抽样的方法从X，Y两个社区抽取60名居民，已知X社区有4000人，Y社区有2 000人.经计算在抽取的60名居民中，X社区居民用水量的平均数和方差分别为15和80，Y社区居民用水量的平均数和方差分别为18和100，则两个社区的居民用水量的方差的估计值为（    ） A．86.7 B．88.7 C．90 D．100 【例3.7.】 某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 【例3.8.】 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 【例3.9.】 某中学为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这容量为200的样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，≠0，抽取学生的样本容量多于教师的样本容量，则总样本中，学生样本的容量至少为______． 【例3.10.】 某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $