9.2.2 总体百分位数的估计教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

新课导入

问题导入：前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断．接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.

新课讲授

知识点：百分位数

教师展示问题2 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据上节表中100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？

首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占，大于a的占．下面我们通过样本数据对a的值进行估计．

把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8．可以发现，区间［13.6，13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分．一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第80百分位数，或分位数．

引导学生考虑问题要结合实际，知识来源于生活，又反馈于生活.

教师提问：你认为14 t这个标准一定能够保证 的居民用水不超标吗？如果不一定，那么哪些环节可能会导致结论的差别？

学生以小组为单位进行讨论交流：不一定能够保证，其主要原因是频率分布表与频率分布直方图存在随机性．

第p百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．

对于任意一组数据，满足第p百分位数定义的值可能不唯一．计算百分位数的方法有多种，我们取一种计算方法比较简单的．

计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算．

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数．

中位数，相当于是第50百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用．

通过计算一组数据的第p百分位数，引导学生总结得出计算第p百分位数的步骤和以及第p百分位数的特点，既学习了知识，又培养学生抽象概括和逻辑思维能力.