8.6.1&8.6.2　直线与直线垂直、直线与平面垂直【八大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

8.6.1&8.6.2　直线与直线垂直、直线与平面垂直 【考点梳理】 · 考点一：求异面直线所成的角 · 考点二：由异面直线角求其他问题 · 考点三：线面垂直的定义及其判定 · 考点四：证明线面垂直 · 考点五：线面垂直的性质的应用 · 考点六：点面距离问题 · 考点七：求直线与平面所成的角 · 考点八：由线面角求值 【知识梳理】 知识点1、　异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点2、异面直线所成的角的求法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 知识点3、　直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 知识点4、　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 知识点5、　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 【题型归纳】 题型一：求异面直线所成的角 【典例1】．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 题型二：由异面直线角求其他问题 【典例2】．（24-25高二上·重庆长寿·月考）如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【变式1】．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】．（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 题型三：线面垂直的定义及其判定 【典例3】．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，， 则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式1】．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】．．（24-25高一下·河南·月考）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且.下述说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则或 D．若b与α，β所成的角相等，则a⊥b 题型四：证明线面垂直 【典例4】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【变式1】．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【变式2】．．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 题型五：线面垂直的性质的应用 【典例5】．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【变式1】．．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 【变式2】．．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知为矩形所在平面外一点，平面，过点作于点，过点作于点，平面平面．    求证： (1)平面； (2)． 题型六：点面距离问题 【典例6】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【变式1】．．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【变式2】．．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 题型七：求直线与平面所成的角 【典例7】．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【变式1】．．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【变式2】．．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型八：由线面角求值 【典例8】．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 【变式1】．．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【变式2】．．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． (1)证明：平面； (2)若M为的中点，证明：平面； (3)若，直线与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积． 【双基达标】 一、单选题 1．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·海南海口·月考）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·安徽·月考）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 9．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）在正方体中，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与所成的角为45° D．直线与平面所成的角为60° 10．（24-25高一下·广西柳州·期末）在边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项中，正确的是（  ） A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60° C．A1C与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥A1—ABD的外接球半径为 11．（25-26高三上·安徽·月考）如图，在直三棱柱中，为的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱柱的外接球的表面积为 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 13．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在棱长为的正方体中，，是相应棱的中点，则 （1）与的位置关系是______，它们所成的角是； （2）与的位置关系是异面，它们所成的角是______. 15．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 四、解答题 16．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 17．（2026高一·广东·专题练习）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 18．（20-21高二上·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 19．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面，并求出此时三棱锥的体积． 21．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.1&8.6.2　直线与直线垂直、直线与平面垂直 【考点梳理】 · 考点一：求异面直线所成的角 · 考点二：由异面直线角求其他问题 · 考点三：线面垂直的定义及其判定 · 考点四：证明线面垂直 · 考点五：线面垂直的性质的应用 · 考点六：点面距离问题 · 考点七：求直线与平面所成的角 · 考点八：由线面角求值 【知识梳理】 知识点1、　异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 知识点2、异面直线所成的角的求法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 知识点3、　直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 知识点4、　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 知识点5、　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 【题型归纳】 题型一：求异面直线所成的角 【典例1】．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使，连接,可得（或其补角）就是异面直线 与所成的角. 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 【变式2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 题型二：由异面直线角求其他问题 【典例2】．（24-25高二上·重庆长寿·月考）如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可得答案. 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 【变式1】．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 【变式2】．（23-24高二上·上海浦东新·期中）四面体中，，，、分别为、的中点，并且异面直线与所成的角为，则线段的长为_____________. 【答案】或 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以或， 当时，由余弦定理， 所以； 当时，由余弦定理， 所以； 综上可得或. 故答案为：或 题型三：线面垂直的定义及其判定 【典例3】．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，， 则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】对于A，由面面垂直、线面垂直的性质即可判断；对于B，由面面平行的性质即可得证；对于C，由答案不完备即可判断；对于D，由线面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，，，则，故A正确； 对于B，若，，所以，因为，所以，故B正确； 对于C，若，，，则平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则，又，，则，故D正确. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线面垂直、线面平行的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，那么可能在平面内，所以A错误； 对于选项B： 因为，所以，所以B正确； 对于选项C： 若，那么可能在平面内，所以C错误； 对于选项D： 若，那么可能在平面内，所以D错误. 故选：B. 【变式2】．．（24-25高一下·河南·月考）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且.下述说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则或 D．若b与α，β所成的角相等，则a⊥b 【答案】B 【分析】根据线面关系利用相关平行的判定定理和性质定理可推出B项正确，通过作图推理可逐一排除其他选项. 【详解】对于A，因，由，则有或，故A错误； 对于B，如图所示，因，经过直线和平面内一点可做一个平面， 使，则，又因，同理可做平面，使，则， 故，又因，则得，因，故得，故，即B正确； 对于C，如图，在长方体中，，显然有，但与平面都不垂直，故C错误； 对于D，如图在长方体中，若，取直线为直线， 平面为平面，平面为平面，则直线即直线， 因，故和即b与平面α，β所成的角， 显然，但直线与不垂直，故D错误. 故选：B. 题型四：证明线面垂直 【典例4】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 【变式1】．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 【变式2】．．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 题型五：线面垂直的性质的应用 【典例5】．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【分析】先得到平面，，由余弦定理和勾股定理逆定理可得，从而得到平面，，结合，可得平面，故. 【详解】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 【变式1】．．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可. 【详解】（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为； （2）因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 【变式2】．．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知为矩形所在平面外一点，平面，过点作于点，过点作于点，平面平面．    求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明平面，然利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）先利用线面垂直的判定定理得平面，进而有，结合根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可． 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以． 因为平面，平面，所以． 又因为平面，平面，，所以平面， 又平面，从而． 因为，平面，平面，且， 所以平面，平面，从而． 因为，平面，平面，且， 所以平面． （2）由四边形为矩形得． 由平面，平面，得． 又因为平面，平面，， 所以平面，平面，从而． 由（1）知平面，平面，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面，平面，所以． 题型六：点面距离问题 【典例6】．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 【变式1】．．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 【变式2】．．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）利用等体积法求解即可； 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面      （2）证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即 ∵，平面，平面， ∴平面， （3）解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 题型七：求直线与平面所成的角 【典例7】．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 【变式1】．．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 【变式2】．．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程详见解析. (2) 【分析】（1）根据面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成的角，在直角三角形中求正弦值即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）连接. 因为是等边三角形，点为棱的中点，所以，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，. 在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 题型八：由线面角求值 【典例8】．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，结合利用线面垂直的判定定理可得证； （2）（ⅰ）根据线面角的定义可得是直线与平面所成的角，可得，由此求得，即可得菱形的面积，再利用棱锥的体积公式计算即可；（ⅱ）利用线面垂直的性质定理可得，，则，，根据定义可得即为异面直线与所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1）四边形是菱形，， 又平面，平面，， 又，平面， 平面. （2）（ⅰ）平面，是直线与平面所成的角，于是， ，，又， 所以， 菱形的面积为， 故四棱锥的体积. （ⅱ）平面，平面，，， 所以，， 因为，所以即为异面直线与所成角（或补角）， 又，所以在中，由余弦定理， 即，解得， 所以为锐角，即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值. 【变式1】．．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 【变式2】．．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． (1)证明：平面； (2)若M为的中点，证明：平面； (3)若，直线与平面所成角的正切值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1或 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）利用中位线证明，再利用线面平行的判定定理证明即可； （3）先得出是直线与平面所成的角，再证明三棱柱的高，设，利用勾股定理和正切函数建立关于的等式求解；然后根据有两种解分别利用体积公式求出体积即可． 【详解】（1）因为为的斜边，所以， 由直棱柱的性质知，平面平面，又平面平面，平面， 所以平面，又平面ABD，所以． 又因为，平面BCD，平面BCD，， 故平面． （2）如图，连接， 易得平面，因为在中，E为的中点，M为的中点，所以， 又平面，平面， 所以由直线与平面平行的判定定理， 可得平面． （3）如图，过点D作，垂足为N，连接， 则由直棱柱的性质可得平面，故是直线与平面所成的角，由，可得． 不妨设，因为，， 所以，即． 又，所以，即， 所以， 化简得，解得或． 当时，，即三棱柱的高为1， 此时三棱柱的体积． 当时，，即三棱柱的高为， 此时三棱柱的体积． 综上，三棱柱的体积为1或． 【双基达标】 一、单选题 1．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用线面垂直的性质可知③正确，利用正方体可判断④错误. 【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示： 即①错误； 对于②，不妨取正方体为例，如下图所示： 直线外一点，此时平面与均与直线平行， 因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误； 对于③，在直线上取点、，设点、在平面内的射影点分别为、， 则，，故，故、、、共面， 由平面几何的相关知识可知，在平面内必存在直线，使得， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可知，在平面内也存在直线与直线垂直，即③正确； 对于④，不妨取正方体为例，如下图所示： 当点在上底面上时，此时不存在经过点的平面与、都平行，④错. 4．（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用割补法及锥体的体积公式求解即可. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 则几何体是棱长为的正四面体，， ， 设点到平面的距离为，则， 因此，所以. 故选：B 5．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质即可求解． 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 6．（25-26高三上·海南海口·月考）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱柱的性质可得，取的中点E，连接，利用四棱锥的体积即可求出三棱柱的棱长，进而即可求解. 【详解】    由正三棱柱的性质知平面， 即为直线与平面所成的角，故， 为等腰直角三角形， ． 如图，取的中点E，连接，则． 又平面，平面， ． ，且，平面， 平面 ． 设正三棱柱的棱长为， ， ，解得． 设正三棱柱的外接球球心为，半径为， ，的外接圆圆心分别为，，连接， 则为 中点，易知．在中，， ， 该三棱柱的外接球的表面积． 故选：C． 7．（25-26高三上·安徽·月考）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法取直线 与平面 所成角的正弦值的临界状态可得答案. 【详解】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ，    此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选：  D. 二、多选题 8．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】根据平面的基本性质，线面垂直、面面平行的性质判断选项即可. 【详解】对于选项A，若，则与相交或平行，所以A错误； 对于选项B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以B正确； 对于选项C，若有可能在内，故C错误； 对于选项D，若，根据线面平行的性质定理和判定定理， 可以判断，所以D正确. 故选：BD 9．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）在正方体中，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与所成的角为45° D．直线与平面所成的角为60° 【答案】ABC 【分析】由线面垂直的判定定理得平面，根据线面垂直的性质可判断A；由线面平行的判定定理判断B；由异面直线所成角定义计算判断C；由线面垂直得平面，根据线面角定义计算判断D 【详解】对于A，因为正方体中，，分别是，的中点， ，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为平面， ，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； 对于C，因为， 所以是与所成的角，C正确； 对于D，设与的交点为，    在正方体中，，平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 连接，又， 所以即为直线与平面所成的角，，D错误， 故选：ABC. 10．（24-25高一下·广西柳州·期末）在边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项中，正确的是（  ） A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60° C．A1C与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥A1—ABD的外接球半径为 【答案】ABD 【分析】选项A，由和得到；选项B，由得到为和所成的角，又为等边三角形得到和所成的角为； 选项C，平面得到为与平面所成的角，从而得到，则；选项D，由三棱锥A1—ABD的外接球就是正方体的外接球，利用正方体求得三棱锥A1—ABD的外接球的半径. 【详解】选项A，是正方体，是正方形，， ，，选项A 正确； 选项B，是正方体，，为和所成的角， 又为等边三角形， ， 和所成的角为，选项B正确； 选项C，是正方体，平面， 为与平面所成的角， 正方体的棱长为1，， 在中， ，，选项C错误； 选项D，三棱锥A1—ABD的外接球就是正方体的外接球， 三棱锥A1—ABD的外接球的半径为，选项D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高三上·安徽·月考）如图，在直三棱柱中，为的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱柱的外接球的表面积为 【答案】BC 【分析】对于A：利用勾股定理即可判断；对于B：利用等体积法求解即可；对于C：根据， 得出ME与AC所成的角为，解三角形即可；对于D：根据三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，结合球面积公式求解． 【详解】在直三棱柱中，有，，， 因为，为的中点， 所以，， 又，所以，， 则，从而与不垂直，故A错误； 如图，设，分别为，的中点，连接，，，， 因为，，，，与交于点， 所以平面， 则，故B正确； 因为、为、的中点，四边形为矩形， 所以，则与所成的角为， 由，， 得，故C正确； 由直三棱柱，，， 则三棱柱的外接球球心为中点，直径为， 故三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 该外接球的直径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 13．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】/ 【分析】利用等积法求解即可. 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在棱长为的正方体中，，是相应棱的中点，则 （1）与的位置关系是______，它们所成的角是； （2）与的位置关系是异面，它们所成的角是______. 【答案】 相交 【详解】连接，，. （1）正方体中，，. 因为，为中点，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，. 又，为中点，所以，， 所以，. 所以与可确定一个平面， 又，所以，的延长线能交于一点，且位于上， 所以与的位置关系是相交. （2）连接，，. 在正方体中，易知平面. 因为，为中点，所以，所以平面. 又平面，所以. 所以异面直线与所成的角是. 15．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 四、解答题 16．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 17．（2026高一·广东·专题练习）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，，证明，结合线面平行的判定定理即可求证； （2）首先证明面，可得，，结合线面垂直的判定定理即可求证； （3）利用由（2）可知平面，可得点到平面的距离为，根据点为的中点，从而得到点到平面的距离，利用即可求解. 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 18．（20-21高二上·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 19．（24-25高一·全国·寒假作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 20．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面，并求出此时三棱锥的体积． 【详解】（1）∵底面是菱形，， ． ，，，， ． 同理，． 又平面，平面，， 平面． （2）连接交于点O，则是的中点. 连接，则平面平面. 因为平面，平面，所以． 所以点E为的中点，所以. 即当时，平面． 证明：当时，点E为的中点. 连接交于点O，则是的中点. 连接，则． 又平面，平面， 所以平面. 又由（1）知平面， 所以三棱锥的体积． 所以三棱锥的体积． 21．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $