专题强化03：不等式（组）题型精讲精练【十一大题型 培优】-2025-2026学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

**基本信息** 以11类题型为框架，覆盖不等式性质、解法、参数问题及实际应用，通过典例变式构建从基础到压轴的完整训练体系，渗透几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质与解法|4题型/4典例|不等式性质应用规则|从性质到解法的递进| |含绝对值不等式|1题型/1典例|几何意义法解绝对值不等式|数形结合思想迁移| |参数与综合应用|5题型/5典例|参数范围确定技巧|知识交叉与实际建模| |压轴题|1题型/1典例|分类讨论与动态分析|综合能力层级提升|

专题强化03：不等式（组）题型精讲精练 【题型归纳】 · 题型一：不等式的性质 · 题型二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） · 题型三：一元一次不等式的整数解问题 · 题型四：一元一次不等式解的最值 · 题型五：解含绝对值的不等式 · 题型六;列不等式（组）问题 · 题型七：一元一次不等式组整数解问题 · 题型八：由一元一次不等式组的解求参数问题 · 题型九：不等式组和方程组的结合问题 · 题型十：不等式（组）的实际应用问题 · 题型十一：不等式组压轴汇问题 【题型通过】 题型一：不等式的性质 【典例1】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知，下列不等式成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） 【典例2】．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解不等式（组）： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来 (2)解不等式组并写出它的整数解 【变式1】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解不等式（组） (1) (2) 【变式2】．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解不等式（组） (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：； (2)解不等式组： 题型三：一元一次不等式的整数解问题 【典例3】．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C．−2≤a＜−1 D． 【变式2】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：一元一次不等式解的最值 【典例4】．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1】．（23-24七年级下·广西贺州·月考）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2】．（21-22七年级下·山东德州·期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型五：解含绝对值的不等式 【典例5】．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程， 对于含绝对值的不等式，根据绝对值的几何意义，从图的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)直接写出含有绝对值的不等式的解集__________； (2)填空：的解集是_________； (3)已知含绝对值的不等式的解集为，求，的值． 【变式1】．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再完成下列问题： （i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．    （ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．      请完成： (1)的解集为_____，的解集为_____． (2)试着写出不等式的解集：______． (3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______； (4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______． (5)解不等式：． 【变式2】．（24-25七年级下·重庆铜梁·期末）【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． 可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；所以不等式的解集是或． 【定义概念】 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． 【简单运用】 （1）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集； （3）不等式的解集是______． 题型六;列不等式（组）问题 【典例6】．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·海南海口·期中）海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型七：一元一次不等式组整数解问题 【典例7】．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【变式1】．（25-26七年级下·重庆·期中）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型八：由一元一次不等式组的解求参数问题 【典例8】．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B． C． D． 题型九：不等式组和方程组的结合问题 【典例9】．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式2】．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 题型十：不等式（组）的实际应用问题 【典例10】．（25-26七年级下·重庆·期中）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 【变式1】．（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【变式2】．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 题型十一：不等式组压轴问题 【典例11】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【变式1】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是________；（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，则的取值范围为________； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【变式2】．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）“x与5的差的一半是非正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据象限内点的坐标符号特征，先由点A的位置得到m和n的符号，再判断点B横纵坐标的符号，即可确定点B所在象限. 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川眉山·期中）关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）在厨房的橱柜里的两个层板之间的间距为36厘米．现有若干个完全相同的杯子竖直叠放，已知8个杯子竖直叠放在一起总高度为42厘米，2个杯子竖直叠放在一起总高度为18厘米．则两个层板之间最多可以竖直叠放几个杯子（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26七年级下·重庆·期中）对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．（25-26七年级下·山西临汾·期中）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养、两种菌苗，已知种菌苗生长温度的范围是，种菌苗生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是__________． 10．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为________ ． 11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）对任意实数，常用表示不超过x的最大整数，如：，，，现有以下结论：①方程的解为或；②当时，的值为0或2；③；④若，则x的取值范围是；其中错误的结论有_____________． 三、解答题 13．（25-26七年级下·河南南阳·期中）按要求完成下列计算： (1)解不等式 (2)解方程组： 14．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 15．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．求m的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需31元，买7支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需29元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 17．（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 18．（25-26七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 19．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是_____； (2)若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； (3)将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化03：不等式（组）题型精讲精练 【题型归纳】 · 题型一：不等式的性质 · 题型二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） · 题型三：一元一次不等式的整数解问题 · 题型四：一元一次不等式解的最值 · 题型五：解含绝对值的不等式 · 题型六;列不等式（组）问题 · 题型七：一元一次不等式组整数解问题 · 题型八：由一元一次不等式组的解求参数问题 · 题型九：不等式组和方程组的结合问题 · 题型十：不等式（组）的实际应用问题 · 题型十一：不等式组压轴汇问题 【题型通过】 题型一：不等式的性质 【典例1】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用不等式的基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵， 根据不等式性质，不等式两边同时加(减)同一个数，不等号方向不变， ∴，故错误； ，故错误； 不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变 ∴，故错误； 不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变 ∴，故正确． 【变式1】．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵ ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ∴ ，A不成立，不符合题意； B选项：∵ ，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴ ，B不成立，不符合题意； C选项：∵ ，∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，符合题意； D选项：∵ 可得，但无法确定 一定成立， 例如当，时， ， ， 此时 ，不等式不成立，不符合题意． 【变式2】．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知，下列不等式成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式性质逐一判断每个不等式是否成立，统计成立的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，，故①正确，②错误； ∴，，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①④，共2个． 题型二：一元一次不等式（组）的解（数轴表示） 【典例2】．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解不等式（组）： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来 (2)解不等式组并写出它的整数解 【答案】(1)，图见解析 (2)，整数解为：1，2 【详解】（1）解： ， 在数轴上表示如图： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， ∴整数解为：1，2． 【变式1】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解不等式（组） (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 【变式2】．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）解不等式（组） (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：； (2)解不等式组： 【答案】(1)，见详解 (2) 【详解】（1）解： 解集在数轴上表示如下： （2）解： 解不等式得①， 解不等式得②， 则不等式组的解集为． 题型三：一元一次不等式的整数解问题 【典例3】．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据不等式有且只有2个负整数解得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有2个负整数解， ∴负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式1】．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C．−2≤a＜−1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意得到负整数解．根据关于x的一元一次不等式的两个负整数解只能是、，求出a的取值范围即可求解． 【详解】解∶由数轴知∶ ， ∵该不等式恰好只有两个负整数解， ∴两个负整数解只能是、， ∴a的取值范围是， 故选∶D． 【变式2】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 题型四：一元一次不等式解的最值 【典例4】．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【变式1】．（23-24七年级下·广西贺州·月考）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【变式2】．（21-22七年级下·山东德州·期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为3，故②错误． ③x=y， 则m+2=-2m m=，故③错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 题型五：解含绝对值的不等式 【典例5】．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程， 对于含绝对值的不等式，根据绝对值的几何意义，从图的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)直接写出含有绝对值的不等式的解集__________； (2)填空：的解集是_________； (3)已知含绝对值的不等式的解集为，求，的值． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （）由题意可得，根据解集为，得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵解集为， ∴， 解得：． 【变式1】．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再完成下列问题： （i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．    （ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．      请完成： (1)的解集为_____，的解集为_____． (2)试着写出不等式的解集：______． (3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______； (4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______． (5)解不等式：． 【答案】(1)；或 (2) (3)；； (4)；；或 (5) 【详解】（1）根据阅读材料可知，：大于而小于的数的绝对值小于， 的解集为：； 根据阅读材料可知，：小于或大于的数的绝对值大于， 的解集为：或． 故答案是：，或． （2）根据题意可得：大于而小于的数的绝对值小于， ， 解得：． 故答案是：． （3）根据题意可得，：大于而小于的数的绝对值小于， ， 化为不等式组为， 解得， 不等式的解集为． 故答案是：；；． （4）根据题意可得，：小于或大于的数的绝对值大于， 或， 解得：或． 故答案是：；；或． （5）由题意可得，：大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于， ， 可得不等式组， 解得， 不等式组的解集为：． 【变式2】．（24-25七年级下·重庆铜梁·期末）【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． 可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；所以不等式的解集是或． 【定义概念】 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． 【简单运用】 （1）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集； （3）不等式的解集是______． 【答案】（1）①；②或；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，求一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）①利用绝对值的几何意义进行求解即可； ②利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先分析原式中绝对值的几何意义，再分区间进行求解即可． 【详解】解：（1）①利用绝对值的几何意义可得，不等式的解集为， 故答案为：； ②利用绝对值的几何意义可得，不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）， ， ， 利用绝对值的几何意义可得，或， 即或； （3）表示的几何意义为到和的距离之和， 当时，， 此时，，解得，所以； 当时，， 此时，，所以；； 当时，， 此时，，解得，所以；； 综上， ， 故答案为：． 题型六;列不等式（组）问题 【典例6】．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 【变式1】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级下·海南海口·期中）海口2026年（第七届）万人健步活动已于4月19日顺利举行．此次活动以“建功自贸港劳动筑梦想”为主题，行程首次解锁长影奇幻乐园内部道路，全程．王老师沿活动路线先以60米/分的平均速度行走了1小时，路过某景点后，加快了速度．若王老师走完全程的时间少于140分钟，则他后半程的平均速度x（米/分）满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再根据“走完全程的时间少于140分钟”确定不等关系，结合路程=速度×时间即可列出不等式． 【详解】解：全程米． ∵王老师先以60米/分的速度行走1小时，1小时分钟， ∴前60分钟行走的路程为米． ∵走完全程的时间少于140分钟， ∴后半段实际用时小于分钟，后半段路程， 因此可得不等式． 题型七：一元一次不等式组整数解问题 【典例7】．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【答案】B 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故选B． 【变式1】．（25-26七年级下·重庆·期中）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和即可． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为 ∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组 将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，不是整数，不符合； 符合条件的所有整数的和为：． 【变式2】．（25-26八年级上·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 题型八：由一元一次不等式组的解求参数问题 【典例8】．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等组的解集为得出，进而解不等式，求得的范围，即可求解． 【详解】解：解关于的不等式，得， 因为不等式组的解集是， 所以， 解得． 【变式1】．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ，解得， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组只有个整数解， ，解得， ， 符合条件的整数的值的和为． 【变式2】．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的a的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解关于y的方程，根据y是正整数得到a的范围和性质，再解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，最后找出符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：先解关于的方程 去分母得： 整理得： ∵为正整数 ，且为偶数，即，且为奇数，为整数， 再解不等式组 解第一个不等式得： 解第二个不等式得： ∵不等式组的解集为，根据同大取大原则，得 解得 综上可得，满足条件的满足，且为奇数，因此符合条件的整数为， 所有符合条件的的和为：． 题型九：不等式组和方程组的结合问题 【典例9】．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 【变式1】．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 【变式2】．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：，∵不等式组至少2个整数解，∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 题型十：不等式（组）的实际应用问题 【典例10】．（25-26七年级下·重庆·期中）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 【答案】(1)每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； (2)该服装厂有3种进货方案； (3)用礼盒包装的长裤买了14条． 【分析】（1）设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元，根据购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元列出方程并解方程即可； （2）设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，根据题意列出不等式组并解不等式组，求出整数解即可； （3）设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，由题意得到，由题意可得， ，解得，进一步求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元， 则， 解得， ∴， 答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； （2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得， ， 解得， ∵两种布料购进的匹数均为整数， ∴或或， 答：该服装厂有3种进货方案； （3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得， ， 即， 由题意可得， 把代入并整理得到，， 即， 解得， 由及,可得， 代入得到， 由得到，解得， ∴， 代入，符合题意， 答：用礼盒包装的长裤买了14条． 【变式1】．（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)4台 (3)甲型设备5台，乙型设备5台 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元”，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （3）根据题意，得出，结合（2）的结论得出，进而取整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． （3）根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 【变式2】．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 【答案】(1)② (2)A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价50元 (3)见解析 【分析】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析x与的含义，结合选项判断被覆 盖的条件； （2）设A、B两种品牌足球的单价分别为x元、y元，根据“A品牌单价比B品牌高30元”和“购买25个A 、50个B共花费4500元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价； （3）设购买A品牌足球m个，则购买B品牌足球个，根据“总费用不超过2750元”和“A品牌数 量不少于23个”列一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，结合m为正整数确定所有购买方案，再分 别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价为元/个，从列出一元一次方程可知B种品牌足球的单价为元/个，说明A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个．故选②． （2）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 由题意得， 解得． 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元． （3）解：设购买A种品牌足球m个，B种品牌足球个， 由题意得， 解得． 又， 且m为正整数． ，24，25，共三种购买方案， 方案一：购A种品牌足球23个，B种品牌足球27个； 方案二：购A种品牌足球24个，B种品牌足球26个； 方案三：购A种品牌足球25个，B种品牌足球25个． 题型十一：不等式组压轴问题 【典例11】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 【变式1】．（25-26七年级下·吉林长春·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是________；（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，则的取值范围为________； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【详解】（1）解：解不等式组，得， ①解方程得：； ②解方程得：； ③解方程得：， ④解方程得：， ∴②④是不等式组的“友好方程”， （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， ③当时，不等式无解，不符合题意； 所以m的取值范围是． 【变式2】．（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式（组）的解集，根据满足条件的整数解有3个列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解方程①，得：； 解方程②，得：； 解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解不等式，得 解不等式组． 解①得，解②得， 因为该不等式组有“解集中点”，说明它有解集形式为的解． 所以不等式组的解集为：．此时，即， 该不等式组的“解集中点”： ∵在不等式的解集（即）中，满足大于该不等式组的“解集中点”的整数恰好有个．即满足且的整数恰好有个． 因为是整数且，这个整数只能是2，1，． ∴， 解得， 综上所述：的取值范围是． 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）“x与5的差的一半是非正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按语句顺序确定运算顺序，再根据非正数的定义列出不等式即可． 【详解】解：先表示x与5的差，得， 再表示差的一半，得， ∵非正数是小于等于0的数， ∴列出不等式为． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，不能得到，比如时，，故A错误； B、∵，∴，∴，故B错误； C、∵，当时，，故C错误； D、∵，，∴；故D正确. 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再判断数轴即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上为： 4．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据象限内点的坐标符号特征，先由点A的位置得到m和n的符号，再判断点B横纵坐标的符号，即可确定点B所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征可得 ，， ∵，∴与同号， 又∵，∴，， 对于点， ∵，，∴ ， ∵，∴； ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的符号特征，因此点在第二象限. 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组无解的条件建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解不等式 解不等式 得到 不等式组无解，两个不等式的解集无公共部分， 解得． 6．（25-26七年级下·四川眉山·期中）关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 7．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）在厨房的橱柜里的两个层板之间的间距为36厘米．现有若干个完全相同的杯子竖直叠放，已知8个杯子竖直叠放在一起总高度为42厘米，2个杯子竖直叠放在一起总高度为18厘米．则两个层板之间最多可以竖直叠放几个杯子（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据“8个杯子摞在一起有42厘米高，2个杯子摞在一起有18厘米高”求出一个杯子的高度，两个杯子摞在一起，杯口间的距离，然后根据“总高度不超过36厘米”列出不等式求解即可． 【详解】解：设一个杯子的高为x厘米，两个杯子摞在一起，杯口间的距离为y厘米， 根据题意，得， ∴， 设在一个层板上可以摞着放m个杯子， 根据题意，得， 解得， ∴在一个层板上最多可以摞着放6个杯子． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，解题关键是掌握表示不超过的最大整数，的性质，逐一对五个结论进行判断即可． 【详解】根据定义，对任意实数，有，为整数，且满足 ，，逐一判断如下： ① ， ， ，故①正确． ②， ， 不超过的最大整数为，即 ，故②正确． ③ ，（为整数）， ， ， ， ， 即 ， 是整数， 或，故③正确． ④ ， ， 相加得 ， 的可能值为，故④正确． ⑤原方程 ，代入整理得： ， 即， ， ， 解得 ， 为整数， ， 分别得，，，均符合条件， 故⑤正确． 综上，个结论全部正确，故选D． 二、填空题 9．（25-26七年级下·山西临汾·期中）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养、两种菌苗，已知种菌苗生长温度的范围是，种菌苗生长温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是__________． 【答案】 【分析】温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个不等式的公共部分． 【详解】解：∵， ∴温箱里的温度应该设定的范围是． 10．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】先将参数视为已知数，解不等式组得到解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解得， 解不等式②，得， 解得， 故不等式组的解集为， 由不等式组只有个整数解，可知整数解依次为，，， 则， 解得． 11．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）对任意实数，常用表示不超过x的最大整数，如：，，，现有以下结论：①方程的解为或；②当时，的值为0或2；③；④若，则x的取值范围是；其中错误的结论有_____________． 【答案】②③ 【分析】根据的新定义，逐个分析四个结论，通过分类讨论和解方程判断各结论正误，即可得到错误结论． 【详解】解：对于①：设（为整数），则， 方程 变形得 ， 代入不等式得： 解左边不等式得 ， 解右边不等式得 ， ∴ ， ∵为整数， ∴或， 当时， ，当时， ，因此①正确． 对于②：当时， ， 当时，， 当时，，故②错误． 对于③：取， ，，而 ， ，故③错误． 对于④：根据的定义，若（为整数），则不超过的最大整数为，因此的取值范围是 ，故④正确． 综上，错误的结论是②③． 三、解答题 13．（25-26七年级下·河南南阳·期中）按要求完成下列计算： (1)解不等式 (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， 得，解得， 将代入中，得，解得， ∴原方程组的解为． 14．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)方程的解不是不等式的“内含解”，理由见详解 (2) (3) 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：， ∴不在范围内， ∴方程的解不是不等式的“内含解”； （2）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组的解是不等式的“内含解”， ∴， 解得：； （3）解： 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为， ∴， 解得：， 由方程可得，且方程的解是不等式组的“内含解”， ∴， 解得：， 综上所述：的取值范围为． 15．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．求m的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需31元，买7支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需29元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)5； (2) (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元 【分析】（1）由，可得；由可得； （2）由得： ，再结合，得到关于m的不等式，即可求解； （3）设购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本需c元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴； 由得：； （2）解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴m的取值范围为； （3）解：设购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本需c元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元． 17．（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆； (2)辆；共有种租车方案，详见解析，最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆，由题意得，，然后解不等式即可； 由题意得，解得，所以，再结合为整数，则有或或，再分别计算三种方案的租车费用并比较即可． 【详解】（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆， 根据题意得， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴至少要租用辆甲型客车； 由题意得，， 解得， 由得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 18．（25-26七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 19．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是_____； (2)若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； (3)将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点时，如图，，矩形的周长为 ，此时点为矩形的矩宽点； 当点时，如图，点位于矩形的中心，小矩形的周长为 ，故点不是矩形的矩宽点； 当点时，点位于矩形的外部，不符合矩宽点的定义，故点不是矩形的矩宽点； （2）解：如图，∵点为矩形的矩宽点， ∴ 或 ， 解得：或， （3）解：当点横坐标大于纵坐标时，则点的坐标为， ∵点在矩形内部，∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ，解得或（不合，舍去），∴； 当点的横坐标小于等于纵坐标，则点的坐标为， ∵点在矩形内部，∴，解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $