专题05分式16大题型（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材浙教版

专题05 分式 分式的相关概念 （一）分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 关键区分：整式的分母不含字母，分式的分母必须含有字母. （二）分式有意义、无意义、值为0的条件 条件 具体要求 分式有意义 分母B≠0 分式无意义 分母B=0 分式的值为0 分子A=0且分母B≠0（两个条件必须同时满足） （三）分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即：(C≠0,A、B、C为整式); 符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即:. （四）约分与最简分式 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，分式运算的最终结果必须化为最简分式. （五）通分与最简公分母 1.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分. 2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 系数：取各分母系数的最小公倍数； 字母：取所有出现的字母（或因式），相同字母取最高次幂. 分式的运算 （一）分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：; 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘：; 3.乘方运算：分式的乘方，把分子、分母分别乘方：(n为正整数). （二）分式的加减运算 · 同分母分式加减：分母不变，分子相加减：; · 异分母分式加减：先通分，变为同分母分式，再加减：. （三）分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的；运算结果必须化为最简分式（或整式）. 分式方程 （一）分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程，与整式方程的核心区别是分母是否含未知数. （二）分式方程的解法 核心思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下： 1.去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母，化为整式方程； 2.解整式方程：按一元一次方程的解法求解； 3.检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母≠0，则是原分式方程的解；若最简公分母= 0，则是增根，原方程无解. 增根的本质：使原分式方程的分母为0的根，因此分式方程必须检验. （三）分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤： 1.审：审题，找出题目中的等量关系； 2.设：设未知数（注意单位统一）； 3.列：根据等量关系列出分式方程； 4.解：解这个分式方程； 5.验：双重检验：①是否为增根；②是否符合实际意义； 6.答：写出完整答案（带单位）. 常见应用场景：工程问题、行程问题、销售问题、浓度问题等. 分式有意义的条件 【例1】（2026·浙江宁波·模拟预测）要使分式有意义，需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若分式有意义，则x的取值应该满足_____________ 分式无意义的条件 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 【变式2-1】（24-25七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 【变式2-2】（2026七年级下·浙江·专题练习）若分式无意义，则x的值为 ___________． 判断分式变形是否正确 【例3】（25-26九年级上·浙江·期中）下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 约分 【例4】（2026九年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】（2026·浙江衢州·一模）约分：． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 最简分式 【例5】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·北京通州·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列分式中，最简分式是（　　）． A． B． C． D． 分式的求值 【例6】（2026·浙江金华·二模）已知，求分式的值． 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 【变式6-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 分式的乘除 【例7】（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 含乘方的分式的乘除混合运算 【例8】（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【变式8-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【变式8-2】（2025七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式8-3】（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 分式相的加减混合运算 【例9】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 易错1：分式有意义的条件： · 只看分母是否为0，与分子无关；分式值为0必须同时满足 “分子为0，分母不为0”，缺一不可； 易错2：分式基本性质的应用： · 乘除的整式必须不为0，否则分式无意义； 易错3：约分、通分的前提： · 分子、分母必须先因式分解，再找公因式/最简公分母； 易错4：分式方程的增根： · 增根是去分母后整式方程的根，但不是原分式方程的根，因此必须检验； 易错5：运算结果： · 分式运算的最终结果必须是最简分式，分母不能有负号. 分式值为零的条件 【例10】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 【变式10-1】（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若代数式的值为0，则实数的值为 __________． 【变式10-3】（25-26八年级上·全国·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 利用分式的基本性质判断值的变化 【例11】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【变式11-1】（25-26八年级下·福建泉州·期中）把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 【变式11-2】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【变式11-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的 分式的化简求值 【例12】（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………①         …………②         …………③ 当时，原式． (1)请指出首次出现错误的步骤序号：______． (2)写出正确的解答过程． 【变式12-1】（25-26八年级下·湖南株洲·期中）先化简：再求当时此代数式的值 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 【变式12-3】（25-26九年级下·浙江宁波·阶段检测）先化简，再求值：，其中 根据分式方程解的情况求值 【例13】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【变式13-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【变式13-2】（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【变式13-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程无解，则________． 解分式方程 【例14】（2026·浙江台州·二模）解分式方程：． 【变式14-1】（2026·浙江丽水·一模）解分式方程：． 【变式14-2】（2026·浙江·一模）解分式方程：． 【变式14-3】（2026·浙江嘉兴·一模）解分式方程：． 一、基础概念技巧 1.有意义：分母≠0；无意义：分母= 0； 2.值为0：分子= 0 且分母≠0（必考易错）； 3基本性质：分子分母同乘除不为0整式，值不变；用于约分、通分。 二、分式运算方法 1.乘除：先约分，后相乘；除法变乘倒数； 2.乘方：分子分母分别乘方，优先判断符号； 3.加减：同分母直接加减分子；异分母先通分； 4.混合运算：乘方→乘除→加减，括号优先。 三、化简求值技巧 1.常规：先化简，后代入； 2.整体代入：适合类题型； 3.倒数法：复杂分式取倒数简化运算。 四、分式方程 1.步骤：去分母→解整式方程→必须检验； 2.增根：使分母为0，仅整式方程有解，不是原方程解； 3.无解两类：整式方程无解；解为增根。 五、应用题 六步法：审题→设元→列分式方程→求解→双重检验（增根+实际意义）→作答。 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例15】（24-25七年级下·浙江金华·月考）若，求的值为________． 【变式15-1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【变式15-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 分式方程的应用 【例16】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 【变式16-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【变式16-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式 分式的相关概念 （一）分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 关键区分：整式的分母不含字母，分式的分母必须含有字母. （二）分式有意义、无意义、值为0的条件 条件 具体要求 分式有意义 分母B≠0 分式无意义 分母B=0 分式的值为0 分子A=0且分母B≠0（两个条件必须同时满足） （三）分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即：(C≠0,A、B、C为整式); 符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即:. （四）约分与最简分式 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，分式运算的最终结果必须化为最简分式. （五）通分与最简公分母 1.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分. 2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 系数：取各分母系数的最小公倍数； 字母：取所有出现的字母（或因式），相同字母取最高次幂. 分式的运算 （一）分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：; 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘：; 3.乘方运算：分式的乘方，把分子、分母分别乘方：(n为正整数). （二）分式的加减运算 · 同分母分式加减：分母不变，分子相加减：; · 异分母分式加减：先通分，变为同分母分式，再加减：. （三）分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的；运算结果必须化为最简分式（或整式）. 分式方程 （一）分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程，与整式方程的核心区别是分母是否含未知数. （二）分式方程的解法 核心思路：去分母，将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下： 1.去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母，化为整式方程； 2.解整式方程：按一元一次方程的解法求解； 3.检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母≠0，则是原分式方程的解；若最简公分母= 0，则是增根，原方程无解. 增根的本质：使原分式方程的分母为0的根，因此分式方程必须检验. （三）分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤： 1.审：审题，找出题目中的等量关系； 2.设：设未知数（注意单位统一）； 3.列：根据等量关系列出分式方程； 4.解：解这个分式方程； 5.验：双重检验：①是否为增根；②是否符合实际意义； 6.答：写出完整答案（带单位）. 常见应用场景：工程问题、行程问题、销售问题、浓度问题等. 分式有意义的条件 【例1】（2026·浙江宁波·模拟预测）要使分式有意义，需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可知，解这个不等式得． 故答案为：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若分式有意义，则x的取值应该满足_____________ 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为，即可得，据此求解即可． 【详解】若分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 分式无意义的条件 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即分母为0，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：1． 【变式2-1】（24-25七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为零时分式无意义的条件是解题的关键．根据分母为零时分式无意义进行解题即可． 【详解】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即， 解得． 故答案为：1． 【变式2-2】（2026七年级下·浙江·专题练习）若分式无意义，则x的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，理解分式无意义时分母为零是解题的关键． 根据分式的分母为零，分式无意义计算可求解． 【详解】解：， 解得， 故当时，分式无意义， 故答案为：． 判断分式变形是否正确 【例3】（25-26九年级上·浙江·期中）下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，需注意分子分母同时变化时保持比例不变是解题的关键． 根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分数的值不变． 【详解】解：∵ （分子分母同除以3）， ∴ A选项的值一定与 相等； 对于B、C、D选项，可通过反例验证： 如取 ，则 ，但B选项 ； C选项 ； D选项 ，故B、C、D不一定相等． 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】A选项：不等于． 例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误． B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质． 例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误． C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确． D选项：变形为 时，分子符号错误． 例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 约分 【例4】（2026九年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】运用积的乘方法则计算分子，再通过约分得到最终结果. 【详解】解：原式. 【变式4-1】（2026·浙江衢州·一模）约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）将分子分母约去公因式即可； （2）分子先因式分解，再约去公因式即可； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 最简分式 【例5】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子分母没有除1以外公因式的分式，据此进行判断即可. 【详解】解：选项A中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项B中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项C中，分子与分母没有除1以外的公因式，∴是最简分式； ∵ 选项D中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式. 【变式5-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 【变式5-2】（25-26八年级上·北京通州·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握分子分母不含公因式的分式叫做最简分式成为解题的关键． 根据最简分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意；     B、 ，是最简分式，符合题意；     C、 ，不是最简分式，不符合题意；     D、，不是最简分式，不符合题意． 故选B． 【变式5-3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列分式中，最简分式是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查最简分式，掌握定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，是解题的关键． 根据最简分式的定义看分子与分母是否有非零次的公因式，求解即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：． 分式的求值 【例6】（2026·浙江金华·二模）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】先将变形为，再代入即可求值． 【详解】∵由题可得， ∴． 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 【变式6-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为0 【详解】解： 当，时，原式． 分式的乘除 【例7】（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 【变式7-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式除单项式的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可求解； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先因式分解，再将除法运算为乘法运算，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-3】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 含乘方的分式的乘除混合运算 【例8】（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式8-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 【变式8-2】（2025七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 分式相的加减混合运算 【例9】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【变式9-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）本题是整式和分式相加的运算，把分母看成即可； （2）把分母化为进行同分母分式相加减进行运算即可； （3）先对分母进行因式分解，利用最简公分母进行通分化简即可； （4）把分母化为，再利用最简公分母进行通分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确的运算是解题的关键． 易错1：分式有意义的条件： · 只看分母是否为0，与分子无关；分式值为0必须同时满足 “分子为0，分母不为0”，缺一不可； 易错2：分式基本性质的应用： · 乘除的整式必须不为0，否则分式无意义； 易错3：约分、通分的前提： · 分子、分母必须先因式分解，再找公因式/最简公分母； 易错4：分式方程的增根： · 增根是去分母后整式方程的根，但不是原分式方程的根，因此必须检验； 易错5：运算结果： · 分式运算的最终结果必须是最简分式，分母不能有负号. 分式值为零的条件 【例10】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：A． 【变式10-1】（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 经检验，时，，符合题意． 【变式10-2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若代数式的值为0，则实数的值为 __________． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为0的条件． 直接根据分子为0而分母不为0作答即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴且， 即且， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】（25-26八年级上·全国·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为0需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵ 分式值为0， ∴ 分子 且分母 . 解 得 . 当 时，分母 ，分式无意义； 当 时，分母 ，分式有意义. ∴ . 故选：C． 利用分式的基本性质判断值的变化 【例11】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得， 与原分式相比，扩大倍． 【变式11-1】（25-26八年级下·福建泉州·期中）把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【详解】解：将、同时扩大为原来的3倍后，得到新分式， 所以新分式的值与原分式相等，即分式的值不改变． 【变式11-2】（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 【变式11-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】将x，y扩大后的数值代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化情况． 【详解】解：∵把分式中的和都扩大到原来的倍后 ∴新的分式为 ∴分式的值扩大到原来的倍． 分式的化简求值 【例12】（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………①         …………②         …………③ 当时，原式． (1)请指出首次出现错误的步骤序号：______． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见详解 【分析】（1）根据分式的化简步骤回答即可． （2）先化简分式，再代入数值求解即可． 【详解】（1）解：首次出现错误的步骤序号②，分母不应该舍去．分式通分后，应该保持分母不变，对分子进行计算. （2）解： ， ， 当时，原式． 【变式12-1】（25-26八年级下·湖南株洲·期中）先化简：再求当时此代数式的值 【答案】；4 【分析】将原式化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 【答案】，取，原式 【分析】先将分子分母因式分解，再约分，然后括号内进行通分，将除法计算转化为乘法计算，约分化简即可，再根据分式有意义的条件确定的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ，，， 取，原式． 【变式12-3】（25-26九年级下·浙江宁波·阶段检测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算的法则化简，再代入求值即可 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，原式． 根据分式方程解的情况求值 【例13】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 【变式13-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 【变式13-2】（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 【变式13-3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 解分式方程 【例14】（2026·浙江台州·二模）解分式方程：． 【答案】原分式方程无解 【详解】解：， 两边同时乘，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 【变式14-1】（2026·浙江丽水·一模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】方程两边同时乘，化为整式方程，解整式方程，并检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【变式14-2】（2026·浙江·一模）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【变式14-3】（2026·浙江嘉兴·一模）解分式方程：． 【答案】 【详解】解： 经检验，原方程的解为． 一、基础概念技巧 1.有意义：分母≠0；无意义：分母= 0； 2.值为0：分子= 0 且分母≠0（必考易错）； 3基本性质：分子分母同乘除不为0整式，值不变；用于约分、通分。 二、分式运算方法 1.乘除：先约分，后相乘；除法变乘倒数； 2.乘方：分子分母分别乘方，优先判断符号； 3.加减：同分母直接加减分子；异分母先通分； 4.混合运算：乘方→乘除→加减，括号优先。 三、化简求值技巧 1.常规：先化简，后代入； 2.整体代入：适合类题型； 3.倒数法：复杂分式取倒数简化运算。 四、分式方程 1.步骤：去分母→解整式方程→必须检验； 2.增根：使分母为0，仅整式方程有解，不是原方程解； 3.无解两类：整式方程无解；解为增根。 五、应用题 六步法：审题→设元→列分式方程→求解→双重检验（增根+实际意义）→作答。 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例15】（24-25七年级下·浙江金华·月考）若，求的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 【变式15-1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 【变式15-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 分式方程的应用 【例16】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据大巴车比小车多用时小时列方程即可． 【详解】解：大巴车用时小时，自驾小车用时小时，大巴车比小车多用时小时，所以可列方程． 故选：A． 【变式16-1】（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 【答案】B 【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成， 综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”， 故选：B． 【变式16-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 【变式16-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $