专题03整式的乘除18大题型（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材浙教版

专题03 整式的乘除 幂的运算 1）同底数幂相乘 · 法则：am⋅an=am+n（m,n为正整数） · 考点：正向计算、逆用（am+n=am⋅a+）、符号处理 2）幂的乘方 · 法则：(am)+=amn · 考点：多层乘方、与同底数幂乘法区分、逆用 3）积的乘方 · 法则：(ab)n=anbn · 考点：系数与字母分别乘方、(−a)n符号判断、逆用凑整 4）同底数幂相除 · 法则：am÷an=am−n（a≠0，m>n） · 零指数：a0=1（a≠0） · 负指数：a−p=1/ap（a≠0，p正整数） · 考点：负指数化简、底数互为相反数转化、科学记数法（小数） 5）科学记数法 · 大数：a×10n（1≤a<10，n正整数） · 小数：a×10−n（1≤a<10，n正整数） 整式乘法 1）单项式×单项式 · 系数相乘，同底数幂指数相加，其余字母照抄 2）单项式 × 多项式 · m(a+b+c)=ma+mb+mc（分配律） 3）多项式 × 多项式 · (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn · 考点：不漏乘、符号、合并同类项、(x+a)(x+b)型展开 乘法公式 1）平方差公式 · (a+b)(a−b)=a2−b2 · 特征：一同一反、结果平方差 2）完全平方公式 · (a±b)2=a2±2ab+b2 · 考点：直接套用、配方、变形、符号易错 整式化简与除法 1） 整式化简顺序： · 先乘方→再乘除→最后加减，有括号先括号 2）单项式÷单项式 · 系数相除，同底数幂指数相减，保留独有字母 3）多项式÷单项式 · (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相关幂的运算法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，根据积的乘方法则，可得，运算正确，符合题意； 对于选项B，根据幂的乘方法则，可得，运算错误； 对于选项C，根据同底数幂乘法法则，可得，运算错误； 对于选项D，与不是同类项，不能合并，运算错误． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则和合并同类项法则，根据初中整式运算的对应规则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解： ，故A选项错误． ，故∴ B选项错误． ，故C选项正确． ，故D选项错误． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的法则分别计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法的规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 单项式乘单项式 【例2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式加减、积的乘方、单项式乘法、幂的乘方，依次计算各选项结果，即可得到符合要求的选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴ A不符合题意； B、，∴ B不符合题意； C、，∴ C符合题意； D、，∴ D不符合题意． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：________ 【答案】/ 【分析】利用单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：原式． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：_________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 单项式乘多项式 【例3】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式与单项式乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方法则， 单项式乘多项式法则计算， 再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项得到化简结果，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式3-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为__________ 【答案】0 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴原式 ． 多项式乘多项式 【例4】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果为__________ 【答案】 【详解】解：． 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为_____． 【答案】12 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧，对比等式两边同类项的系数得到和的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式运算，解题思路为展开左边多项式，根据对应系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又化简后结果为 对应系数相等，可得，，即 将代入计算： 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知（a是常数），则的值为____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴. 平方差公式 【例5】（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列各题中，适合用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特点，平方差公式要求两个二项式相乘，一项相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解： A． 中，没有对应相同的项，不满足平方差公式结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； B． 中，相同项为 ，相反项为和，满足平方差公式结构，可以用平方差公式计算，符合题意； C．，两项均互为相反数，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； D．，两项都相同，没有互为相反数的项，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）一个长方体的长，宽，高恰好是三个连续的奇数，若中间的奇数为，则这个长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：设中间的数为n，那么最小的奇数是，最大的奇数是，则有： ． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）试说明与的大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平方差公式，将M和N改写，再用作差法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 完全平方公式 【例6】（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列式子从左到右正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别运用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式、积的乘方法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：对选项A： ，A错误，不符合题意． 对选项B： ，与等号右侧一致．B正确，符合题意． 对选项C：，C错误，不符合题意． 对选项D：，D错误，不符合题意． 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得出结果； （2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号，最后合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值；，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式6-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：，将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 同底数幂的除法 【例7】（25-26七年级下·浙江·期中）下列运算正确的个数是（  ） ；；； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一判断四个运算的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①，运算正确，符合题意； ，运算错误，不符合题意； ，运算错误，不符合题意； ，运算正确，符合题意； 综上，正确的运算共个． 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则________． 【答案】1 【分析】本题考查幂的乘方的逆用与同底数幂的除法运算法则的逆用，先将所求式子根据运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂的除法法则，可得 ， 逆用幂的乘方法则，可得， 已知，，代入得： ． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知，则的结果是（    ） A．38 B．39 C．40 D．42 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方运算法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 零底数幂、负整指数幂 【例8】（25-26七年级下·浙江金华·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先分别计算平方、零次方及负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 用科学计数法表示绝对值小于1的数 【例9】（2026·浙江台州·二模）一根头发丝的直径约为 ．将数据0.00007用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的标准形式为 （, 为整数），对于小于1的正数，的值等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数的相反数． 【详解】解：科学记数法要求， 将小数点向右移动5位得到7，可得，故， 即． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）流感病毒新毒株来势汹汹，有数据表明其直径大约是0.0000000853米．将数0.0000000853用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式9-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数.当原数的绝对值时，是负整数，的绝对值与小数点向右移动的位数相同． 【详解】解：． 【变式9-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）神舟二十号载人飞船成功发射，三名航天员顺利进驻空间站，与神舟十九号乘组完成“天宫会师”．载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度约为厘米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示绝对值小于1的正数时，科学记数法的形式为，其中满足，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】∵ 对于，左起第一个非零数字为，前共有个零，且， ∴ ． 整式的除法 【例10】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式运算法则，将系数与同底数幂分别相除即可求解． 【详解】解： ． 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式10-3】（2026七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 易错1：幂的运算类 · 混淆 “指数加/乘”； · 符号处理错误； · 零指数/负指数误区； · 底数不同强行运算。 易错2：整式乘法类 · 单项式×多项式漏乘项； · 多项式×多项式漏乘、重复乘； · 符号错误：每一项要 “带符号搬家”。 易错3：乘法公式类（最易错） · 平方差公式误用； · 完全平方公式漏“2倍项”； · 系数不为1时漏平方。 易错4：整式除法类 · 系数带符号相除时漏符号； · 只在被除式中出现的字母保留，不要漏掉； · 多项式÷单项式漏除某一项。 不含某项求字母的值 【例11】（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 【变式11-1】（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）若将代数式化简后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据不含x一次项，得到一次项系数为0，列方程求解即可得到m的值． 【详解】解：∵ ，且化简后不含x的一次项， ∴， 解得：． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据题意先求出的值，即可得出，求出a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的二次项，且常数项为， ∴，解得：， ∴． 化简求值 【例12】（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值：，当时，求代数式的值； 【答案】化简为，值为18 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式12-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再对括号内进行运算，然后进行除法运算，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 求完全平方式中的字母系数 【例13】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的定义，对应各项系数关系求解m即可． 【详解】解：完全平方公式为． ∵ 是完全平方式，其中首项为，末项 ∴中间项满足 ．即． 解得． 【变式13-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知是完全平方式，则实数________． 【答案】 【分析】根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 【变式13-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若是完全平方式，那么a的值是________． 【答案】 5或 【分析】根据完全平方式的结构，即可列出等式求解的值． 【详解】解：是完全平方式． 约去得 当时，解得 当时，解得 技巧1：幂的运算技巧 · 统一底数法：底数互为相反数时，先化为同底 · 逆用公式（高频）：am+n=am⋅an、amn=(am)n、anbn=(ab)n · 负指数转正：a−p=1/ap；(a/b)−p=(b/a)p 技巧2：乘法公式速用技巧 · 平方差识别口诀：一项同、一项反，结果平方差 · 完全平方口诀：首平方、尾平方，首尾乘积2倍放中央，符号看前方 · 整体代入：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2=(a+b)2−2ab=25−6=19 技巧3：整式乘除通用方法 · 符号优先：先定符号，再算数值与字母 · 分步运算：乘方→乘除→加减；多项式乘法按顺序展开，不漏项 · 结果化简：最后必须合并同类项、按降幂排列 · 除法转化：多项式÷单项式→分项÷单项式→相加 技巧4：常见题型快速解法 · 比较幂大小：化为同底数或同指数 · 化简求值：先化简，再代入（避免直接代入大数） · 配方变形：x2−4x+5=(x−2)2+1（用于求最值/非负性） 同底数幂乘法的逆用 【例14】（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，，则＝_____． 【答案】 6 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式14-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则等于 _____ 【答案】6 【详解】解：∵， ∴． 【变式14-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）若，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 【变式14-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如果，，则的值为________． 【答案】10 【分析】根据同底数幂乘法法则将所求式子变形，再代入已知值计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 可得， 将，代入，得． 幂的乘方逆用 【例15】（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则可以用m，n表示成__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件即可求解. 【详解】解：∵,， ∴ . 【变式15-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，，，为正整数，求___________． 【答案】/ 【分析】将所求代数式根据同底数幂的乘法法则拆分，再结合幂的乘方法则将已知条件代入变形即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式15-2】（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一为相同值，再根据指数相同、底数大于1时，底数越大幂越大的性质比较大小． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 积的乘方的逆用 【例16】（25-26七年级下·浙江台州·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式16-1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算___． 【答案】 【详解】解： 【变式16-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）的计算结果是______． 【答案】0.5 【分析】本题可逆用积的乘方运算法则，将原式变形后化简计算．积的乘方运算法则．反之． 【详解】解： ． 【变式16-3】（25-26七年级下·浙江台州·阶段检测）计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 运用乘法公式简便计算 【例17】（25-26七年级下·湖南张家界·期中）运用乘法公式简便计算：______． 【答案】 【分析】将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 【变式17-1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9999 (2) 【分析】（1）将原式变形为平方差公式的形式，利用平方差公式计算即可； （2）直接利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式17-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)4 【分析】（1）原式化为，然后利用完全平方公式计算即可； （2）原式化为，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式17-3】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 通过完全平方公式变形求值 【例18】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）根据代入计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 【变式18-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知．，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式变形，即可求解． （2）根据，进而根据平方根的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式18-2】（2026·浙江绍兴·一模）已知实数a，b满足，． (1)求的值． (2)阅读如图材料，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式变形为，再代入计算即可； （2）把原式变形为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为，， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 因为，， 所以． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘除 幂的运算 1）同底数幂相乘 · 法则：am⋅an=am+n（m,n为正整数） · 考点：正向计算、逆用（am+n=am⋅a+）、符号处理 2）幂的乘方 · 法则：(am)+=amn · 考点：多层乘方、与同底数幂乘法区分、逆用 3）积的乘方 · 法则：(ab)n=anbn · 考点：系数与字母分别乘方、(−a)n符号判断、逆用凑整 4）同底数幂相除 · 法则：am÷an=am−n（a≠0，m>n） · 零指数：a0=1（a≠0） · 负指数：a−p=1/ap（a≠0，p正整数） · 考点：负指数化简、底数互为相反数转化、科学记数法（小数） 5）科学记数法 · 大数：a×10n（1≤a<10，n正整数） · 小数：a×10−n（1≤a<10，n正整数） 整式乘法 1）单项式×单项式 · 系数相乘，同底数幂指数相加，其余字母照抄 2）单项式 × 多项式 · m(a+b+c)=ma+mb+mc（分配律） 3）多项式 × 多项式 · (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn · 考点：不漏乘、符号、合并同类项、(x+a)(x+b)型展开 乘法公式 1）平方差公式 · (a+b)(a−b)=a2−b2 · 特征：一同一反、结果平方差 2）完全平方公式 · (a±b)2=a2±2ab+b2 · 考点：直接套用、配方、变形、符号易错 整式化简与除法 1） 整式化简顺序： · 先乘方→再乘除→最后加减，有括号先括号 2）单项式÷单项式 · 系数相除，同底数幂指数相减，保留独有字母 3）多项式÷单项式 · (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 单项式乘单项式 【例2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：________ 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：_________． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； 单项式乘多项式 【例3】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值为__________ 多项式乘多项式 【例4】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果为__________ 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为_____． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知（a是常数），则的值为____． 平方差公式 【例5】（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列各题中，适合用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）一个长方体的长，宽，高恰好是三个连续的奇数，若中间的奇数为，则这个长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）试说明与的大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 完全平方公式 【例6】（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列式子从左到右正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值；，其中． 【变式6-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 同底数幂的除法 【例7】（25-26七年级下·浙江·期中）下列运算正确的个数是（  ） ；；； A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则________． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知，则的结果是（    ） A．38 B．39 C．40 D．42 零底数幂、负整指数幂 【例8】（25-26七年级下·浙江金华·期中）计算：． 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 用科学计数法表示绝对值小于1的数 【例9】（2026·浙江台州·二模）一根头发丝的直径约为 ．将数据0.00007用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）流感病毒新毒株来势汹汹，有数据表明其直径大约是0.0000000853米．将数0.0000000853用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）神舟二十号载人飞船成功发射，三名航天员顺利进驻空间站，与神舟十九号乘组完成“天宫会师”．载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度约为厘米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 整式的除法 【例10】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）计算：______． 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江·期中）计算：________． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式10-3】（2026七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) 易错1：幂的运算类 · 混淆 “指数加/乘”； · 符号处理错误； · 零指数/负指数误区； · 底数不同强行运算。 易错2：整式乘法类 · 单项式×多项式漏乘项； · 多项式×多项式漏乘、重复乘； · 符号错误：每一项要 “带符号搬家”。 易错3：乘法公式类（最易错） · 平方差公式误用； · 完全平方公式漏“2倍项”； · 系数不为1时漏平方。 易错4：整式除法类 · 系数带符号相除时漏符号； · 只在被除式中出现的字母保留，不要漏掉； · 多项式÷单项式漏除某一项。 不含某项求字母的值 【例11】（25-26八年级上·江西赣州·月考）关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为______． 【变式11-1】（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）若将代数式化简后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 化简求值 【例12】（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值：，当时，求代数式的值； 【变式12-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 求完全平方式中的字母系数 【例13】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【变式13-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知是完全平方式，则实数________． 【变式13-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若是完全平方式，那么a的值是________． 技巧1：幂的运算技巧 · 统一底数法：底数互为相反数时，先化为同底 · 逆用公式（高频）：am+n=am⋅an、amn=(am)n、anbn=(ab)n · 负指数转正：a−p=1/ap；(a/b)−p=(b/a)p 技巧2：乘法公式速用技巧 · 平方差识别口诀：一项同、一项反，结果平方差 · 完全平方口诀：首平方、尾平方，首尾乘积2倍放中央，符号看前方 · 整体代入：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2=(a+b)2−2ab=25−6=19 技巧3：整式乘除通用方法 · 符号优先：先定符号，再算数值与字母 · 分步运算：乘方→乘除→加减；多项式乘法按顺序展开，不漏项 · 结果化简：最后必须合并同类项、按降幂排列 · 除法转化：多项式÷单项式→分项÷单项式→相加 技巧4：常见题型快速解法 · 比较幂大小：化为同底数或同指数 · 化简求值：先化简，再代入（避免直接代入大数） · 配方变形：x2−4x+5=(x−2)2+1（用于求最值/非负性） 同底数幂乘法的逆用 【例14】（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，，则＝_____． 【变式14-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则等于 _____ 【变式14-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）若，，则_____． 【变式14-3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如果，，则的值为________． 幂的乘方逆用 【例15】（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则可以用m，n表示成__________． 【变式15-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，，，为正整数，求___________． 【变式15-2】（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 积的乘方的逆用 【例16】（25-26七年级下·浙江台州·期中）计算：_____． 【变式16-1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算___． 【变式16-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）的计算结果是______． 【变式16-3】（25-26七年级下·浙江台州·阶段检测）计算_________ 运用乘法公式简便计算 【例17】（25-26七年级下·湖南张家界·期中）运用乘法公式简便计算：______． 【变式17-1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式17-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式17-3】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 通过完全平方公式变形求值 【例18】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【变式18-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知．，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式18-2】（2026·浙江绍兴·一模）已知实数a，b满足，． (1)求的值． (2)阅读如图材料，求的值． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $