专题01相交线与平行线13大题型（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材浙教版

专题01 相交线与平行线 相交 （一）邻补角与对顶角 1.邻补角 · 定义：两条直线相交，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角. · 性质：邻补角互补（和为180°）. 2.对顶角 · 定义：有公共顶点，两边分别互为反向延长线的两个角. · 性质：对顶角相等（核心性质，证明常用）. · 模型：两直线相交→2对对顶角、4对邻补角. （二）垂线（相交的特殊情况） 1.定义：两条直线相交成直角（90°），互相垂直；一条叫另一条的垂线，交点叫垂足. 2.垂线性质 · 性质 1：过一点（直线上/外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）; · 性质 2：垂线段最短（连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）. 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段本身）. （三）三线八角（两条直线被第三条直线所截） · 同位角：截线同旁、被截两直线同侧（F型）. · 内错角：截线两侧、被截两直线之间（Z型）. · 同旁内角：截线同旁、被截两直线之间（U型）. 关键：先找截线（公共边），再判断角的位置. 平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 1.平行线：同一平面内，不相交的两条直线，记作：a∥b; 前提：同一平面内（空间中存在异面直线）. 2.平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（唯一性）. 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性：若a∥b，b∥c，则a∥c）. （二）平行线的判定（由角的关系→线平行） · 同位角相等，两直线平行; · 内错角相等，两直线平行; · 同旁内角互补，两直线平行. · 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的性质 （一）核心性质（由线平行→角的关系） · 两直线平行，同位角相等; · 两直线平行，内错角相等; · 两直线平行，同旁内角互补. 判定与性质互逆：判定是“角→线”，性质是“线→角”，不可混用. （二）命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设（条件）+结论组成；可写成“如果… 那么…”形式. · 真命题：题设成立，结论一定成立； · 假命题：题设成立，结论不一定成立（举反例可证假）. 2.定理：经过推理证实的真命题（可作为推理依据）. 3.证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程. （三）平行线间的距离 · 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度；处处相等. 平移 1.定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到新图形，这种移动叫平移（平移不改变图形形状、大小，只改变位置）. 2.平移性质 · 平移后，新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）; · 对应点所连线段平行（或共线）且相等; · 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等. 3.平移作图步骤 · 确定平移方向、距离； · 找出图形关键点； · 按方向、距离平移各关键点； · 顺次连接对应点，得到平移后图形. 对顶角的识别 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列图形中与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．与没有公共顶点，故不是对顶角，不符合题意； B．与有一条公共边，故不是对顶角，不符合题意； C．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故是对顶角，符合题意； D．与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角，不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列选项中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义解答，即两个角的两边互为反向延长线，这两个角互为对顶角． 【详解】解：C选项中的与是对顶角． 对顶角相等 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O．若，则______． 【答案】 【分析】根据对顶角相等进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，直线与相交于点，，，则______度． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，可知，根据即可求出结果． 【详解】解：直线与相交于点， ， 又， ． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 【答案】对顶角相等 【详解】解：∵与是对顶角， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】先根据垂线定义得出，再根据对顶角相等得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 作垂线、平行线 【例3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点、垂线的定义求解即可； （2）根据网格的特点和平行线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求. 【变式3-1】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，在的网格中，点都在格点上，利用网格作图并回答问题． (1)在网格中找一格点，画直线，使；利用网格作的垂线，垂足为点，连接，； (2)线段__________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：__________（填、或），理由：__________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，垂线段最短． 【分析】（）根据题意画图即可； （）根据点到直线的距离定义即可求解； （）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：比较大小：，理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 【变式3-3】（22-23七年级下·浙江台州·期中）如图，直线与直线相交于，请完成下列各题： (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为； (3)连接，比较线段与的长短，用“”连接． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）按要求作图即可； （2）按要求作图即可； （3）根据“垂线段最短”比较线段与的长短即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图， ∵垂线段最短， ∴． 图形的平移 【例4】（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列汉字或图案中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、该图案由两个圆组成，右边的圆可以看作是左边的圆向右平移得到，形状、大小、方向均未改变，符合平移的特征； B、若将上半部分向下平移，无法与下半部分重合，不符合平移的定义； C、右边的三角形需要翻转才能与左边的重合，不符合平移的定义； D、该图案由一个大正方形和一个小正方形组成，两者的大小不同，无法通过平移得到． 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）下列各组运动项目图标，将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：符合将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是： ． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图为我国自主研发的对话助手“元宝”的．在以下图形中，可以通过左边的图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移后图形的形状不变、大小不变、方向不变进行判断即可． 【详解】解：A、方向改变了，不可通过平移得到，故选项不符合题意； B、形状、大小、方向都没有改变，可通过平移得到，故选项符合题意； C、方向改变了，不可通过平移得到，故选项不符合题意； D、方向改变了，不可通过平移得到，故选项不符合题意． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列选项中能由如图经过平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：能由如图经过平移得到的图形是： 易错1：对顶角/邻补角： · 必须是两条直线相交形成，有公共顶点；邻补角既要相邻又要互补。 易错2：点到直线的距离： · 是垂线段长度，不是垂线段本身。 易错3：平行公理： · 必须是直线外一点（直线上一点无平行线）。 易错4：判定/性质混淆： · 角相等/互补→平行（判定）； · 平行→角相等/互补（性质）。 易错5：线段关系： · 包含位置关系和数量关系。 垂线段最短的应用 【例5】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：由题意得这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短 ． 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：由图可知，垂直于起跳线，即是落地点到起跳线的垂线段， 在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是垂线段最短． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，小吴，小越，小临和小安四位同学各自打算从位于点A的学校步行出发，分别沿，，，的路径前往位于所在直线的苕溪边，假设四位同学步行速度相同，则用时最少的是（    ） A．小吴 B．小越 C．小临 D．小安 【答案】B 【详解】解：∵ ∴的长度最短 ∵四位同学步行速度相同， ∴用时最少的是小越． 【变式5-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】根据“垂线段最短”解答即可． 【详解】解：∵，且点N是垂足， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，沿着线段搭建最短，理由是：垂线段最短． 点到直线的距离 【例6】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C在直线l上，点M在直线l外，于点B，若，，，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴M到直线l的距离为2． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，．于点，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题关键．根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可得． 【详解】解：∵于点， ∴点到直线的距离是线段的长度． 故选：C． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列命题错误的是（    ）． A．两点确定一条直线． B．两点之间，线段最短． C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 【答案】D 【分析】根据初中几何基本概念，辨析各选项命题即可找出错误项． 【详解】A选项、“两点确定一条直线”是几何基本公理，A正确； B选项、“两点之间，线段最短”是几何基本公理，B正确； C选项、“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是垂直的基本性质，C正确； D选项、点到直线的距离的定义为“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离”，D选项误将垂线段本身定义为距离，概念错误，D错误． 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例7】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，且在被截直线的同一方的两个角叫做同位角；在两条被截直线之间，并且在截线两侧的两个角叫做内错角；在两条被截直线之间，并且在截线同一旁的两个角叫同旁内角． 【详解】解：选项A：和是内错角，不符合题意． 选项B：和是同旁内角，不符合题意． 选项C：和是同位角，符合题意． 选项D：和既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，不符合题意． 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的内错角是． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解：与是同旁内角的是． 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江·期中）下列图形中，与属于同位角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可． 【详解】解：根据同位角的特征得选项A中∠1与∠2是同位角，选项D、B、C中不是同位角． 平行线的判定 【例8】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，能判断直线的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. 不能判断直线，不符合题意； B. 是同位角，根据同位角相等、两直线平行可判断，符合题意； C. 不能判断直线，不符合题意； D. 不能判断直线，不符合题意. 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，不合题意； B．由，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，不合题意； C．由，不能判定，不合题意； D．由，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判定，符合题意． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，由内错角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； B、，由同位角相等，两直线平行，可判定，符合题意； C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； D、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意． 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件是(填序号)_________ 【答案】②③ 【详解】解：，∴； ， ∴； ，∴； ，∴； 综上分析可知，一定能得到的条件有． 利用平行线的性质探究角的数量关系 【例9】 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∴，即． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 【变式9-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 平行线性质和判定的综合应用 【例10】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，可得，进而得出结论； （2）先根据平行线的性质可得，进而求出，最后利用平行线的性质得出结论的值. 【详解】（1）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由同旁内角互补得和平行，由平行线的性质和等量代换得，再由平行线的判定得两直线平行； （2）由第一问的平行关系，结合角平分线的性质求出的大小，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． （2）由（1）知，， ， 平分， ， 由（1）知，， ． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，，． (1)试说明的理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再证明，进一步证明即可； （2）证明，求解，，再进一步利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式10-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，与相交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）由，根据同位角相等、两直线平行，得到，进而得到，推出，即可得证； （2）根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 技巧1：角度计算： · 利用对顶角相等、邻补角互补、垂线90°、平行线性质综合计算。 技巧2：平行证明： · 找三线八角，用判定定理；或用平行传递、垂直于同一直线。 技巧3：拐点模型（铅笔头、猪蹄、锯齿）： · 过拐点作平行线，转化为内错角/同旁内角求解。 利用平移的性质求解 【例11】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 【答案】5 【分析】利用平移的性质得到，，平移的距离为，结合的周长是，四边形的周长是，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知， ∵由沿方向平移得到， ∴，， ∵的周长是，四边形的周长是， ∴，， 两式相减得， ， ∴， 即平移的距离为． 【变式11-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为___________． 【答案】17 【详解】解：由平移的性质可知：， ∴， ∴阴影部分的周长为． 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，三角形的边长为，将三角形向上平移得到三角形，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移的性质得，再根据得出答案． 【详解】解：根据平移的性质可知， ∴． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，于是沿射线方向平移4个单位至处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是利用平移前后图形面积相等，将阴影部分面积转化为梯形面积求解． 根据平移性质，与面积相等，故阴影部分面积等于梯形的面积；由已知条件求出梯形的上底、下底和高，再代入梯形面积公式计算． 【详解】解：由平移的性质可知，， ，，， ． ，， ， 又， ． 故选：． 利用平移解决实际问题 【例12】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为________m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是______． 【答案】1125 【分析】本题考查了图形的平移的性质，可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的小路，种植花草的面积总面积小路的面积小路交叉处的面积，计算即可． 【详解】解：解：根据题意得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路的面积，所以种植花草的面积为：， 故答案为：． 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 平移作图 【例13】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）由平移可知，这两条线段之间的关系是平行且相等． 【变式13-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)22 【分析】（1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （2）根据平移的性质可得，，在平移的过程中线段扫过的面积是四边形的面积，利用网格图的特征，通过割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：． 【变式13-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，10 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，连接，， ∴四边形的面积． 【变式13-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）． (1)在图1中，将平移，得到； (2)在图2中，线段与相交，产生，使得中的一个角等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）把向右平移1个单位长度得到，据此结合网格的特点作图即可； （2）取格点E，连接，由网格的特点可得，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 相交 （一）邻补角与对顶角 1.邻补角 · 定义：两条直线相交，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角. · 性质：邻补角互补（和为180°）. 2.对顶角 · 定义：有公共顶点，两边分别互为反向延长线的两个角. · 性质：对顶角相等（核心性质，证明常用）. · 模型：两直线相交→2对对顶角、4对邻补角. （二）垂线（相交的特殊情况） 1.定义：两条直线相交成直角（90°），互相垂直；一条叫另一条的垂线，交点叫垂足. 2.垂线性质 · 性质 1：过一点（直线上/外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）; · 性质 2：垂线段最短（连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）. 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段本身）. （三）三线八角（两条直线被第三条直线所截） · 同位角：截线同旁、被截两直线同侧（F型）. · 内错角：截线两侧、被截两直线之间（Z型）. · 同旁内角：截线同旁、被截两直线之间（U型）. 关键：先找截线（公共边），再判断角的位置. 平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 1.平行线：同一平面内，不相交的两条直线，记作：a∥b; 前提：同一平面内（空间中存在异面直线）. 2.平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（唯一性）. 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性：若a∥b，b∥c，则a∥c）. （二）平行线的判定（由角的关系→线平行） · 同位角相等，两直线平行; · 内错角相等，两直线平行; · 同旁内角互补，两直线平行. · 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的性质 （一）核心性质（由线平行→角的关系） · 两直线平行，同位角相等; · 两直线平行，内错角相等; · 两直线平行，同旁内角互补. 判定与性质互逆：判定是“角→线”，性质是“线→角”，不可混用. （二）命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设（条件）+结论组成；可写成“如果… 那么…”形式. · 真命题：题设成立，结论一定成立； · 假命题：题设成立，结论不一定成立（举反例可证假）. 2.定理：经过推理证实的真命题（可作为推理依据）. 3.证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程. （三）平行线间的距离 · 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度；处处相等. 平移 1.定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到新图形，这种移动叫平移（平移不改变图形形状、大小，只改变位置）. 2.平移性质 · 平移后，新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）; · 对应点所连线段平行（或共线）且相等; · 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等. 3.平移作图步骤 · 确定平移方向、距离； · 找出图形关键点； · 按方向、距离平移各关键点； · 顺次连接对应点，得到平移后图形. 对顶角的识别 【例1】（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列图形中与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列选项中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 对顶角相等 【例2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O．若，则______． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，直线与相交于点，，，则______度． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为______． 作垂线、平行线 【例3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 【变式3-1】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，在的网格中，点都在格点上，利用网格作图并回答问题． (1)在网格中找一格点，画直线，使；利用网格作的垂线，垂足为点，连接，； (2)线段__________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：__________（填、或），理由：__________． 【变式3-3】（22-23七年级下·浙江台州·期中）如图，直线与直线相交于，请完成下列各题： (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为； (3)连接，比较线段与的长短，用“”连接． 图形的平移 【例4】（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列汉字或图案中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）下列各组运动项目图标，将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图为我国自主研发的对话助手“元宝”的．在以下图形中，可以通过左边的图形平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列选项中能由如图经过平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 易错1：对顶角/邻补角： · 必须是两条直线相交形成，有公共顶点；邻补角既要相邻又要互补。 易错2：点到直线的距离： · 是垂线段长度，不是垂线段本身。 易错3：平行公理： · 必须是直线外一点（直线上一点无平行线）。 易错4：判定/性质混淆： · 角相等/互补→平行（判定）； · 平行→角相等/互补（性质）。 易错5：线段关系： · 包含位置关系和数量关系。 垂线段最短的应用 【例5】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，小吴，小越，小临和小安四位同学各自打算从位于点A的学校步行出发，分别沿，，，的路径前往位于所在直线的苕溪边，假设四位同学步行速度相同，则用时最少的是（    ） A．小吴 B．小越 C．小临 D．小安 【变式5-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间，线段最短 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 点到直线的距离 【例6】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C在直线l上，点M在直线l外，于点B，若，，，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，．于点，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列命题错误的是（    ）． A．两点确定一条直线． B．两点之间，线段最短． C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例7】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江·期中）下列图形中，与属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 平行线的判定 【例8】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，能判断直线的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件是(填序号)_________ 利用平行线的性质探究角的数量关系 【例9】 （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 【变式9-2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 平行线性质和判定的综合应用 【例10】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【变式10-1】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，，． (1)试说明的理由； (2)若，，求的度数． 【变式10-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，与相交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 技巧1：角度计算： · 利用对顶角相等、邻补角互补、垂线90°、平行线性质综合计算。 技巧2：平行证明： · 找三线八角，用判定定理；或用平行传递、垂直于同一直线。 技巧3：拐点模型（铅笔头、猪蹄、锯齿）： · 过拐点作平行线，转化为内错角/同旁内角求解。 利用平移的性质求解 【例11】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 【变式11-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为___________． 【变式11-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，三角形的边长为，将三角形向上平移得到三角形，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，于是沿射线方向平移4个单位至处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 利用平移解决实际问题 【例12】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为________m． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是______． 【变式12-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 平移作图 【例13】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 【变式13-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【变式13-2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 【变式13-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）． (1)在图1中，将平移，得到； (2)在图2中，线段与相交，产生，使得中的一个角等于． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $