河南省新乡市部分校2025-2026学年高二下学期素养评价（三）数学试题（人教Ａ卷）

2025一2026学年度高二下学期素养评价（三） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.某高中高二年级要从1,2,3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐 了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有 A.10种 B.12种 C.13种 D.15种 2.已知函数f(x)=f'(2)x3一3x,则f'(2)= A是 c-9 D.一12 3.已知x,y是两个线性相关的变量，x,y的成对样本数据如下表所示，参数取整的经验回 归方程为y=12x一18，则当x=6时的残差为 2 2 3 5 10 15 29 40 A.1 B.2 C.3 D.4 4.会议室前排共有6个座位.某次会议，要从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，共4 人安排在前排就坐，则不同的安排方法有 A.5930种 B.6480种 C.6820种 D.7660种 5.函数f(x)=3x-3lnx一2在区间(1，十∞)上的零点情况是 A.有3个零点 B.有2个零点 C.有1个零点 D.没有零点 6,某部武瞥官兵的身高指标X~N(175,16).现要从一个大队400名战士中选取礼仪兵，要 求礼仪兵的身高指标X≥183，估计这400名战士中符合“X≥183”的有（四舍五人到个 位) 参考数据：若X~N(μ，a2),则P(μ一σ<X<μ十a)≈0.6827，P(μ一2a<X<μ十2a)≈ 0.9545,P(μ-3a<X<μ+3a)≈0.9973. A.7人 B.9人 C.12人 D.16人 @第1页（共4页） 7.小王、小李玩闯关游戏，该游戏一共有5关，小王、，小李每关闻关成功的概率均为了若事 件A为“在完成闯关游戏后，小王闯关成功的次数恰好比小李多3”，则P(A)= 62 72 78 80 A2063 B.2075 C.2149 D.2187 8已知函数f(x)=- 2x+e在(0，十o)上的最小值为0，则实数a的值为 A.g B号 c号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数x)=2casx+z-5xe6, ,则下列关于函数f(x)的描述正确的有 A函数fx)在0，上单调递增 B.函数f(x)在 5π3π 62 上单调递增 C函数fx)在（行上单润递减 D.函数f(x)在 π5π 6'6 上单调递减 10.已知(2x+3)6=ao十a1（x+2)十a2(x十2)2+…十a6(x十2)°，则下列结论正确的有 A.ao+a1+a2+a3+astas+ac=1 B.a0-a1+a2-a3十a4-as十a6=740 C.a2十a4+a6=364 D.a4=260 11.现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有12个不同小球(6个红球，6个黑球)的盒 中逐次抽取5个小球记有放回的取球方式取得黑球的个数为X,不放回的取球方式取 得黑球的个数为Y,则下列结论正确的有 A.P(X=3 B.P(Y=3)=3 7 C.当k=4时，P(X=k)最大 D,两种取球方式第三次取到黑球的概率均为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.+ 的展开式中的系数为 .(用数字作答) 13.某科研所需要一种高端零件，根据设计所需的精度，加工该零件只有三种精密机床可用， 分别是精密机床1、精密机床2、精密机床3.王师傅负责加工该零件，他选择精密机床1、 111 精密机床2，精密机床3进行加工的概率分别为4,4,2，且选择精密机床1，精密机床 432 2、精密机床3进行加工能达到设计精度的概率分别为写，，行王师傅完成零件加工 后，零件能达到设计精度的概率为 @第2页（共4页） 14.函数f(x)=2x-e-21nx-3的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)解答下列各题： AIAT- (1)化简：C (2)把5个相同的小球放人3个不同的盒子中，且每个盒子中至少有一个小球，共有多少 种不同的放法？ 16.(15分)某传媒公司对“中学生性别和喜欢AI动漫是否有关”做了一次调查，参与调查的 中学生有120人，调查后得到如下2×2列联表. 对AI动漫的态度 性别 合计 喜欢 不喜欢 女生 24 36 60 男生 36 24 60 合计 60 60 120 (1)依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析中学生对AI动漫的态度是否与性别有 关联。 (2)从参与调查的120名学生中随机抽取了8人，8人中有3名女生和5名男生，其中有 2名女生和2名男生喜欢AI动漫现从这8名学生中选派2名女生和3名男生参观该传 媒公司动漫工作室，求这5人中恰有2人喜欢AI动漫的概率. 参考公式：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(6+d),n=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.005 0.001 工 3.841 6.635 7.879 10.828 @第3页（共4页） 17.(15分)已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若a≥0，且f(x)≥2在(0，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 18.(17分)现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛.每一幅 作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖.每一幅作品第一次评审被淘汰的概 率为行，第二次评审被询汰的概率为号，第三次评审被淘汰的概率为店每次评审是否被 淘汰相互独立。 (1)求送审的每幅作品被淘汰的概率 (2)每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该 幅作品要亏损3000元的报名费.求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望. 19.(17分)已知函数f(x)=x2一x一lnx一a有两个不同的零点x1,x2,且x1<x2· (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求实数a的取值范围； (3)证明：a>1-x2-lnx1. @第4页（共4页）2025一2026学年度高二下学期素养评价（三） 数学参考答案及评分意见 1.C【解析】由题意，得若选中的同学来自1班，则有4种选择方案；若选中的同学来自2班，则有6种选择方案； 若选中的同学来自3班，则有3种选择方案.由分类加法计数原理，得共有4+6+3=13种选择方案.故选C 2.A【解析】因为f(x)=f'(2)x3-3x,x∈R,所以f'(x)=3f'(2)x2-3,所以f'(2)=12f'(2)一3，解得 f'(2)=1故选A 3 3.B【解析1由题设条件，知2=2+3+4+5+6-4.：点(G,)在经验回归直线=12x-18上，y=12X4 5 18=30,30=10+15+29+40+c.解得c=56,当x=6时的残差为56-(6X12-18)=2.故选B. 5 4.B【解析】第一步，选人.从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，有C?·C号=18种选法.第二步，安排座位. 从6个座位中选4个安排选出的4人，有A=360种安排方法.由分步乘法计数原理，得有18×360=6480种安 排方法.故选B. 5.D【解析】因为f(x)=3x-31nx-2,x>0,所以f'()=33-3(-1D.当x>1时，f'(x)>0,所以函数 f(x)在区间(1，+∞)上单调递增.因为f(1)=3-2=1>0,所以函数f(x)在区间(1，十∞)上没有零点.故选D. 6.B【解析1由题意，得4=175，g=4,所以P(X≥183)=P(X≥175+2X4≈1-0,9545=0.02275.因为400X 2 0.02275=9.1≈9，所以估计这400名战士中符合“X≥183”的有9人.故选B. 7.D【解析设小王，小李网关成功的次数分别为X,Y,则X,Y均服从二项分布B5,号)由愿意，得事件A {X=3,Y=0}U{X=4,Y=1}U{X=5,Y=2},且事件{X=3,Y=0},{X=4,Y=1},{X=5,Y=2}互斥，X与 y相互维立.因为P(X=3,Y=0)=C×()八×-)×c×1-号)'-0×3-094P(X=4,Y 180 D=C×)×-)×c×号xf-)-器×0=00gPx=5Y=2)=Gx XC号X (得)八×--器×0-品0所以PA)=09o+00g+品0=207减选D 80 800,128080 8.C【解析】由题意，得f(x)≥0在(0，十∞)上恒成立，等价于-号>0在0，+o)上恒成立.令g(x)-三 号x>0,则ga)≥0在(0，十)上恒成立，且函数g(x)的最小值为0.因为g'(x)=e2 3 ,所以当x∈(0， 2)时，g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,2)上单调递减；当x∈(2，十∞)时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(2，十∞) 上单调递增，所以当工=2时，函数g取得最小值.由题意，得g(2)=二-只=0，解得口=放选C 9.ABD【解折]fx)=2osz+z-5,z∈0,2f'()=1-2sinx.解f'z)>0,即sin<2得0<x< 3π】 安<x<解f)0,即n>号得<<函数f)在6，)上单调递地，在(,）上单 3元 潤递减，在（管，）上单调道增故A,B,D正确，C错误，故选AD, ④数学答案第1页（共5页） 10.AC【解析】对于A,令x=-1,得a十a1十a2十a3十a4十a5十a6=(一2+3)6=1，故A正确. 对于B,令x=-3,得a0-a1十a2一a3十a4一a5十a6-(-6十3)°=729，故B错误. 对于C,式子ao十a1十a2十a3十ax十a5十a6=1与a。-a1十a2-a3十a4-a5十a6=729相加，得2(a。十a2十 a4十a6)=730,所以a0十a2十a4十a6=365. 令x=-2,得a0=(-4+3)6=1,所以a2+a4十a6=364,故C正确. 对于D,因为(2x+3)6=[2(x十2)-1]6，且展开式的第3项为C%24(x+2)4·(-1)2,所以a4=C%24=240,故 D错误故选AC. 1.AD【解折】由题意，得采用有放回的取球方式，取得黑球的个数X~B,):采用不放回的取球方式，取得 展球的个吸y程纵超儿何分布P0X-9》=C-高PY-9》-震-急做A正角B特快 C8C%_25 P(X=)=C(合)，c=C>C=C>C=C当=2或3时，P(X=)最大，放C错误 采用有放回的方式取球，每次取到黑球的概率均为。-)采用不放回的方式取球，第三次取到黑球的情况有红 红黑红黑黑黑红展黑照照，4种，其中红红黑”的概率为号×品×品一品红展黑"的概率为××品 》,果红果的藏率为品×吕×号品黑黑聚”的微率为品×品×治第三次取到黑球的影率为8X 1 1 22 3十一)一两种取球方式第三次取到黑球的概率均为)放D正确，故选 12.5103 【解+ 的展开式的通项T,+1=C(√元)- =3rC5x学，r=0,1,…,7. 令73 =-4,解得r=5,展开式中的系数为35C=5103. 173 13.240 【解析】设事件A为“王师傅选择精密机床1进行加工”，事件B为“王师傅选择精密机床2进行加工”，事 件C为“王师傅选择精密机床3进行加工”，事件D为“加工完成的零件达到设计精度”，则P(A)= 4,P(B)= 日，PC)-2P(DA吉，P(D1B)=,P(DC)=号，所以P(D)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)+ PcPo1c)=×号+×+×- 14.-e-1【解析J:fx)=2x-g-2mx-3x>0,f'(x)=2-D-名-2-eg1》-2z x x-1)(2x-e）.设g(x)=2x-e,则g'(x)=2-e.当x<ln2时，g'(x)>0,函数g(x)在(-∞，ln2)上 x2 单调递增；当x>ln2时，g'(x)<0,∴.函数g(x)在(ln2,+∞)上单调递减，∴g(x)≤g(ln2)=2ln2-2= 2(1n2-1)<0,.2x-e<0在(0，十∞)上恒成立.∴.当0<x<1时，f'(x)>0,∴.函数f(x)在(0,1)上单调递 增；当x>1时，f'(x)<0,.函数f(x)在(1，十∞)上单调递减，.当x=1时，函数f(x)取得极大值，也是最 大值，.函数f(x)的最大值为f(1)=-e-1. 15每：A-·-a ……3分 ④数学答案第2页（共5页） AA=A.… …4分 C=Ag .AIAA C A =m.…7分 m！ (2)方法一：相同物品分配用隔板法.5个小球中间形成4个空位，选出2个放上隔板，形成3份，对应放入3个盒 子中，有C=6种放法，即有6种不同的放法.… …13分 方法二：根据盒子内小球的个数分成两类，一类是3,1,1；另一类是2,2,1.…8分 按3,1,1放入：从3个盒子中选1个放入3个小球，其他2个盒子各放入1个小球，有C=3种选法，故有3种 不同的放法.…10分 按2,2,1放入：从3个盒子中选1个放入1个小球，其他2个盒子各放入2个小球，有Cg=3种选法，故有3种 不同的放法.… …12分 由分类加法计数原理，得不同的放法有3十3=6种.… …13分 16解：(1)零假设为H。:中学生对AI动漫的态度与性别无关 根据列联表中的数据，计算得 X0=120X24X2436X36)=4.8<7.879=x8ms.… 60×60×60×60 …4分 根据小概率值α=0.005的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，即认为中学生对AI动漫的态度与性别 无关。………6分 (2)从8名学生(3名女生和5名男生)中，任选2名女生和3名男生，不同的选法有C号C=30种.…8分 其中，2名女生喜欢AI动漫的有C号C好=1种；…10分 1名女生和1名男生喜欢AI动漫的有C2CC2C=12种.…12分 所以选出的5人中恰有2人喜欢AI动漫的概率为中2_13 30301 …15分 17.解：(1)因为f(x)=ax-lnx,x>0,所以f'(x)=a- 1_ax-1 ………2分 当a≤0时，f'(x)<0恒成立，所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递减.… …3分 1 当a>0时，f')=a 当x∈0，》时，'0，所以函数fx)在0，)上单调遍减： 当x∈日，+)时()>0，所以函数了)在[日十上单调递猫。 …6分 综上，当a<0时，函数f(x)在(0，十∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在0，)上单调递减，在 (侣十网上单调通增。 …7分 (2)当a=0时，函数f(x)=一lnx∈(-∞，十∞)，不满足f(x)≥2恒成立，不符合题意.…9分 由(1)可知，当a>0时，函数了)在，上单调递减，在（十∞）上单调通增， ④数学答案第3页（共5页） 所以函数于(x)在x=处取得极小值，也是最小值。 …10分 若要满足∫(x)≥2恒成立，则∫(x)的最小值f a …12分 因为f侣)-a×-h1ha,所以1+a≥2 a 解得a≥e,即实数a的取值范围为[e,十o∞).…15分 18.解：(1)设事件A1,A2,A3分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”，事件A为“一幅送审作品通过了 三次评审”，事件B为“一幅送审作品被淘汰”，则A=A1A2A3,B=A. 由题应，得Pa)=1-日-名PA,)=1-号-号PA=1一-总 …3分 因为P)=PA,Pca,PA,-名×9×特-号 所以P(B)=1-P(A)=1号=3， 所以送审的每幅作品被淘汰的概率为} 6分 (2)设四幅作品中，获奖的作品数为随机变量X、 由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4，且X~B4, 2 …8分 设这四幅作品所获奖金为随机变量Y(单位：元)，则Y=9000X-3000(4一X)=12000(X-1),Y的对应可能 取值为-12000,0,12000,24000,36000.…11分 P(Y=12000)=C× ()八×)°-PY=24o-cx)×- P(Y=36000)=C4× 所以Y的分布列如下表.… 16分 -12000 0 12000 24000 36000 8 16 P 8 32 81 27 81 81 1 8 数学期望E(Y)=-12000X31+0×8+12000X27+24000X ,32 16 +36000× 81 81 =20000.…17分 19.(1)解：若a=1,则f(x)=x2-x-lnx-1,x>0,f(1)=1-1-0-1=-1.…2分 f)=2z-1-f'=0 ，…4分 曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=一1.…5分 (2)解：，f(x)=x2-x-lnx-a,x>0, ∴f'(x)=2x-1-1-2x-x-1_(2x+10(x-1） …6分 x 当x>1时，f'(x)>0;当0<x<1时，f'(x)<0, ④数学答案第4页（共5页） .函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o)上单调递增， .当x=1时，函数f(x)取得极小值，也是最小值.… …7分 函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,且x1<x2, 当x→0时，f(x)>十∞，当x十o∞时，f(x)→+∞， .f(1)=-a<0,即a>0, .实数a的取值范围是(0，十0∞).…9分 (3)证明：：x1,x2是函数f(x)的两个零点，且x1<x2, .a=x-x1-lnx1,a=x-x2-lnx2,且x1∈(0，l),x2∈(1，+o∞). ∴.要证a>1-x2-lnx1,即证x-x1-lnx1>1-x2-lnx1,即证x2>1十x1-x, .证x1十x2>-x+2x1+1. x1∈(0,1)，.一x子十2x1十1∈(1,2)，.转化为证x1十x2≥2，即x2≥2-x1.…11分 x1∈(0,1)，.2-x1>1.,f(x)在(1，十∞)上单调递增，.转化为证f(x2)≥f(2-x1) f(x1)=f(x2),.转化为证f(x1)≥f(2-x1).…13分 设g(x)=f(x)-f(2-x),0<x≤1， 则g'(c)=（2x+1D(x-1)+(5-2c)(x-1)_2x-1)2 x x-2 =x(x-2)≤0，当且仅当x=1时，等号成立， .函数g(x)在(0,1]上单调递减，∴.g(x)≥g(1)=f(1)-f(2-1)=0, ∴.当x∈(0,1)时，f(x)>f(2-x), f(x1)>f(2-x1).…16分 a>1-x2-lnx1.…17分 ④数学答案第5页（共5页）