精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

2026年春期高二年级第二次月考 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章、选择性必修二全部 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 对函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数公式及求导法则求出导数即得. 【详解】依题意，. 故选：D 2. 生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设需提供的能量为a，由题意可得，求解即可. 【详解】设需提供的能量为a，由题意知：的能量为，的能量为，的能量为， 即，解得：， 所以要能使获得的能量，则需提供的能量为. 故选：C. 3. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 4. 已知的值是（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数值的定义计算即可. 【详解】根据导数值的定义：. 故选：C 5. 若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，结合作差法即可判断AB；根据等比数列的通项公式，建立不等式、，解之即可判断CD. 【详解】设数列的首项为，公差为；数列的首项为，公差为. A：，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B正确； C：若，则， 即，解得或， 又因为、的取值范围未知，所以不一定成立，故C错误； D：若，则， 即，解得或， 又因为、的取值范围未知，所以不一定成立，故D错误. 故选：B 6. 已知，其中为函数的导数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 2021 D. 2022 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故为奇函数， 因此； 求导得，易知为偶函数，故； 因此原式. 7. 已知数列的前n项和记为，且，若对任意正整数n都成立，则实数t的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求得数列的通项公式，通过代数运算化简求得，因而对任意正整数n都成立，即所以对任意正整数n都成立，分离参数得，即可得解. 【详解】由得，又符合上式 所以对任意，有， 则， 因此， 因为，， 又因为， 所以， 所以， 因为对任意正整数n都成立， 所以对任意正整数n都成立， 所以对任意正整数n都成立， 因为，所以， 所以实数t的最小值是. 故选：C. 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强 B. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系 C. 线性回归直线方程至少经过样本点数据中的一个点 D. 用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据回归方程和独立性检验的相关知识逐一判断. 【详解】对于A，对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，故A错误； 对于B，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系，故B正确； 对于C，线性回归直线方程至少经过样本点数据中的中心点，但不一定至少经过样本点数据中的一个点，故C错误； 对于D，用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程， 则，所以，即， 因为，所以，故D正确. 故选：BD 10. 定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的对称中心为 B. 若关于x的方程有三解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上的最大值、最小值分别为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用“拐点”定义可判定A，利用导数研究的单调性、极值结合函数的图象、对称性、取特殊区间一一判定B、C、D选项即可. 【详解】对于A，易知，，令，而， 由“拐点”定义可知的对称中心为，故A正确； 令，此时单调递减， 令或，此时单调递增， 则，即的极大值为3，极小值为， 所以关于x的方程有三解，即两函数有三个交点， 则，故B正确； 易知若在上有极小值，则，故C错误； 由上可知，若在上的最大值、最小值分别为， 取，符合题意，又， 结合图象可知，符合在上的最大值、最小值分别为， 此时，故D错误. 11. 设数列满足（且），是数列的前项和，且，，数列的前项和为，且.则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列的前2024项和为 C. 当时，取得最小值 D. 当时，取得最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义以及前项和的应用，结合裂项相消法与二次函数的单调性进行运算对各个选项判断即可. 【详解】可化为， 易知为等差数列，设其公差为，则也为等差数列，结合等差数列公式，易知公差为， 由，得，则，，A错； ，则， 故2024项和为，B对； ， 当时，，当时，， 易知时，单调递增，且， ，C对； 当时，单调递增，且，，当时，， 所以或时，， 当时，且，，，D对， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用裂项相消法对B选项进行化简以及利用二次函数的单调性讨论数列的最值是解题关键，本题主要考查了等差数列的定义，二次函数讨论单调性求最值以及数列前项和的应用，属于较难题. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还_____元.(用，表示) 【答案】 【解析】 【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利，结合等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】设每月还元， 按复利计算，则， 即，解得. 故答案为：. 13. 设等比数列的前项积为，若 ，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列通项公式基本量计算，即可求解. 【详解】，可得， 又，所以，所以. 所以公比，则， 故， 所以， 故答案为： 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件构造辅助函数，求导判断出在上单调递增；再将原不等式等价变形为，结合定义域与单调性，解不等式组即可得到解集． 【详解】构造函数，， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 定义域要求，即， 不等式等价于， 即，所以，解得， 所以不等式的解集是． 四、解答题 15. “十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到年全国水产品年产量达到万吨.年至年全国水产品年产量（单位：千万吨）的数据如下表： 年份 年份代号 总产量 （1）求出关于的线性回归方程，并预测年水产品年产量能否实现目标； （2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了年全国个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过万吨的地区有个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有个，其中年产量超过万吨且高配比的地区有个，能否有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，； 参考数据，. 【答案】（1），不能实现目标 （2）有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系 【解析】 【分析】（1）根据题意和最小二乘法求出关于的线性回归方程，将代入计算即可下结论； （2）根据题意和卡方的计算公式求出，结合独立性检验的思想即可下结论. 【小问1详解】 由表格数据知：，， ，， ，， 关于的线性回归方程为：， 当时，， 年水产品年产量不能实现目标； 【小问2详解】 列联表如下： 渔业年产量超过 万吨的地区 渔业年产量不超过 万吨的地区 合计 有渔业科技推广人员高配比的地区 没有渔业科技推广人员高配比的地区 合计 则， 有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系. 16. 已知数列的前项和为且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前90项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，两式相减化简可得，即可的证； （2）由（1）得，讨论可得，或，则得的前90项的和为 又，计算可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 两式相减得， 则， 因为，， 所以，数列是公差为2，首项为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得， 当或时，， 当或时，， 所以数列的前90项的和为 ， 因为， 则上式 . 17. 已知函数. （1）当m＝1时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； （2）若在区间上单调递增，求m的取值范围. 【答案】（1）①函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ②， （2） 【解析】 【分析】（1）①求出函数的导数，根据导数的正负即可得出单调区间；②由函数的单调性求闭区间上的最值即可； （2）根据单调性，建立关于导数的不等式，分离参数求解即可. 【小问1详解】 ， ①当时，， 因为， 所以当时，，当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ②由①知，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 由题意，在上恒成立， 即，在上恒成立， 所以，即. 所以m的取值范围. 18. 小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. （1）求； （2）写出与()的递推关系（不必证明），并求出； （3）试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 【答案】（1）0.4; （2）()，; （3）从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 【解析】 【分析】(1)由全概率公式求解； (2)先求出与的递推式，再转化为等比数列求通项公式解出； (3)通过的表达式，求解满足的的取值范围. 【小问1详解】 由全概率公式得； 【小问2详解】 因为()，即()， 构造等比数列()， 因为，所以数列是以为首项，0.5为公比的等比数列. 所以，即()； 【小问3详解】 由（2）可知 ∴当时， 若()，则，即. ∵，， ∴当时，. 实际意义从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递减，当时，单调递增．. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【小问1详解】 由， 得， 所以切线方程为； 【小问2详解】 当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 【小问3详解】 由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高二年级第二次月考 数学学科 考试范围：选择性必修一第七章、选择性必修二全部 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 对函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（ ） A. B. C. D. 3. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的值是（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 5. 若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中为函数的导数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 2021 D. 2022 7. 已知数列的前n项和记为，且，若对任意正整数n都成立，则实数t的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强 B. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大把握认为两事件有关系 C. 线性回归直线方程至少经过样本点数据中的一个点 D. 用模型拟合一组数据时，设，得到回归方程，则 10. 定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的对称中心为 B. 若关于x的方程有三解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上的最大值、最小值分别为，则 11. 设数列满足（且），是数列的前项和，且，，数列的前项和为，且.则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列的前2024项和为 C. 当时，取得最小值 D. 当时，取得最小值 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还_____元.(用，表示) 13. 设等比数列的前项积为，若 ，则的值为________. 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 四、解答题 15. “十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到年全国水产品年产量达到万吨.年至年全国水产品年产量（单位：千万吨）的数据如下表： 年份 年份代号 总产量 （1）求出关于的线性回归方程，并预测年水产品年产量能否实现目标； （2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了年全国个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过万吨的地区有个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有个，其中年产量超过万吨且高配比的地区有个，能否有的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，； 参考数据，. 16. 已知数列的前项和为且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前90项的和. 17. 已知函数. （1）当m＝1时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； （2）若在区间上单调递增，求m的取值范围. 18. 小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. （1）求； （2）写出与()的递推关系（不必证明），并求出； （3）试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $