精品解析：河南新乡县第一中学等学校2025-2026学年高二下学期素养测评(一) 数学试题

2025—2026学年高二下学期素养测评（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（ ） A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种 5. 有位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排人．若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 7. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点．若直线与直线的斜率之积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 8. 已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 数列是等比数列 D. 11. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点为左支上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的焦点 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若为圆上一点，则的最大值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 13. 小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 14. 已知等差数列的公差，前项和为，，若，，成等比数列，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列． （1）若是等差数列，求的通项公式； （2）设，证明：数列是等比数列. 16. 记数列的前项和为，已知. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）当，时，判断函数的单调性． （2）是否存在，，使得为函数的极值点？若存在，求，满足的条件；若不存在，请说明理由． 18. 如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． （1）证明：； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 19. 已知的两个顶点，的坐标分别为，，且边，所在直线的斜率之积为． （1）求顶点的轨迹方程； （2）已知过点的直线与顶点的轨迹相交于，两点． ①若直线的斜率为，求的面积； ②若直线与相交于点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二下学期素养测评（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入求值即可. 【详解】，故. 故选：C 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 3. 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 4. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（ ） A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种 【答案】C 【解析】 【详解】第一步，为大客车选司机．从甲、乙两位司机中选1人，有2种选法． 第二步，为小客车选司机．从剩下的四位司机中选1人，有4种选法． 由分步乘法计数原理，得不同的安排方案有种， 5. 有位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排人．若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【详解】第一步：安排第列，从人中任选人，把矮的放在前排，高的放后排，共有种安排方法； 第二步：安排第列，从剩余的人中任选人，把矮的放在前排，高的放后排，共有种安排方法； 第三步：安排第列，最后剩下的人，矮的放在前排，高的放后排，有种安排方法； 根据分步乘法计数原理，不同的站法有种. 6. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A. 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和公式，分和两种情况计算可得. 【详解】设等比数列的公比为, 当公比时 等比数列前项和，因此，满足. 此时； 当公比时 等比数列前项和公式为​，代入得： ,  整理得，令，则,解得（对应舍去）或， 因此. 综上所述，或. 7. 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点．若直线与直线的斜率之积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设，，再结合斜率关系得，进而根据点在圆上得，，最后根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由圆，知圆心，半径为． 由圆和抛物线都关于轴对称，故设，． 由，得． 因为点在圆上， 所以，即，化简得． 因为，解得，所以． 因为点在抛物线上，所以，解得， 所以． 8. 已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性及极值，结合单调性及极值求解即可. 【详解】因为，，所以． 解，得或，解，得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，为，即当时，． 当时，函数取得极小值，为． 当时，解方程，即，得，即， 所以当时，，当时，， 综上，不等式为，其解集为，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象得和时，；和时，，再结合导函数与原函数的关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】由导函数的图象知，当时，，所以函数在区间上单调递减，故A正确． 由导函数的图象知，函数在区间上先单调递增再单调递减，故B错误． 由导函数的图象知，当时，，，当时，． 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极小值，故C正确． 由导函数的图象知，当时，，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取得极大值，故D正确． 10. 已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 11. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点为左支上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的焦点 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】BD 【解析】 【分析】求出两条双曲线的焦点坐标后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求的周长，从而可判断B的正误，根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求的最大值，从而可判断D的正误. 【详解】对A，双曲线中，，所以，； 双曲线中，，所以两焦点的坐标分别为，，故A错误． 对B，由题意知，由双曲线的定义得，设，则． 因为，，所以，解得（负值舍去）， 所以，则3， 所以的周长为，故B正确． 对C，由双曲线的定义得，又，所以，． 由题意知，所以， 所以，所以的面积，故C错误． 对D，圆的圆心为，半径为1， 点即为点，所以， 所以， 当且仅当为线段的延长线与圆的交点时，等号成立， 所以的最大值为7，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可得切线的斜率，根据两直线的位置关系，可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 即曲线在处切线的斜率为13． 因为直线与切线垂直，所以，解得． 13. 小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 【答案】432 【解析】 【分析】先按2道不同的B型题不相邻，进行排列；在B型题不相邻的排列中，排除前3道题中没有B型题的情况，即可求解. 【详解】第一步，排4道A型题．4道A型题全排列，有种安排顺序； 第二步，排2道B型题．排好后的A型题会产生5个空位（包括两端）， 将2道B型题插入空位．有种安排顺序， 由分步乘法计数原理，得B型题不相邻的安排顺序有种； 第三步，排除不符合要求的情况．前3道题都是A型题的情况， 即2道B型题在第4题和第6题的位置：4道A型题全排列，有种安排顺序， 2道B型题全排列，有种安排顺序， 所以不符合要求的安排顺序有种． 所以不同的安排顺序有种． 14. 已知等差数列的公差，前项和为，，若，，成等比数列，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式得，再结合求得，最后根据通项公式求解即可. 【详解】由题意得，，所以． 因为，，成等比数列，所以，即，化简得． 因为，所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列． （1）若是等差数列，求的通项公式； （2）设，证明：数列是等比数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求法计算即可； （2）根据递推关系及等比数列的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意. 因为是等差数列，所以公差. 所以. 满足，符合题设条件， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以， 由及可知，则，所以， 所以是等比数列. 16. 记数列的前项和为，已知. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题意得：当时，， 当时，由有：， 所以，即，所以， 所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）有， 所以， 所以①， ②， 由①②有： ， 所以. 17. 已知函数． （1）当，时，判断函数的单调性． （2）是否存在，，使得为函数的极值点？若存在，求，满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在上单调递增 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，再构造函数，研究函数值的符号，进而判断在成立即可判断单调性； （2）先根据时不在函数的定义域内得，再求导，结合极值点的导数值为0得，进而得，再构造函数，，研究函数值的符号得恒成立，进而判断函数极值点的情况. 【小问1详解】 当，时，，， 则． 记，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增． 所以当时，， 所以，所以函数在上单调递增． 【小问2详解】 解：不存在，，使得为函数的极值点．理由如下： 因为，， 当时，不在函数的定义域内，所以． 当时，若为函数的极值点，则． 因为，所以，即， 所以． 令，，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以． 因为，，所以恒成立， 所以函数在上单调递增，故不是极值点． 综上，不存在，，使得为函数的极值点． 18. 如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． （1）证明：； （2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法证明即可证明结论； （2）根据，结合基本不等式得三棱锥的体积最大时，，再求解对应面的法向量，计算平面的夹角余弦值即可； （3）求解平面的法向量为，再根据线面角求得即可求得. 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，，，． 因为，， 所以， 所以，即． 【小问2详解】 解：三棱锥的体积即三棱锥的体积，此时． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当三棱锥的体积最大时，，此时， 所以，． 设平面的一个法向量为，则 令，则，，所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 解：设平面的法向量为，则 因为，，所以 令，则，，所以． 设直线和平面所成的角为，则． 因为，， 所以，解得或（舍去）， 所以． 19. 已知的两个顶点，的坐标分别为，，且边，所在直线的斜率之积为． （1）求顶点的轨迹方程； （2）已知过点的直线与顶点的轨迹相交于，两点． ①若直线的斜率为，求的面积； ②若直线与相交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）设（），由坐标化得解； （2）①求出直线的方程与点的轨迹方程联立求得弦长，根据运算得解； ②设直线与点的轨迹方程联立，可得，分别表示出直线，的方程，求出交点的横坐标，得到直线与交点的轨迹方程为（），得解. 【小问1详解】 由题意设点，则， 整理得， 所以顶点C的轨迹方程为． 【小问2详解】 由题意知，直线l与轴不重合，设，． ①因为直线的斜率为，直线过点，所以直线的方程为，即． 由消去，整理得， 因为，所以，． 所以． 因为点到直线的距离， 所以的面积． ②由题意，设直线的方程为． 由，消去，整理得． 因为． 所以，． 方法一：因为点在顶点的轨迹上，所以直线，的斜率之积为． 因为直线的斜率，所以直线的斜率， 所以直线的方程为．① 因为直线的斜率，所以直线的方程为．② 由①②得， 整理得 ， 解得． 又因为点和点N的纵坐标均不为0， 所以直线与的交点的纵坐标不为0． 所以点的轨迹方程． 因为，所以，即的取值范围是． 方法二：因为直线的斜率， 所以直线的方程为．① 因为直线的斜率，所以直线的方程为．② 由①②得， 整理得 ， 解得． 又因为点和点的纵坐标均不为0， 所以直线与的交点的纵坐标不为0， 所以点的轨迹方程为． 因为，所以，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $