2025 年夏季奥林匹克“丁一杯”数学活动全国总测试八年级试题（A 卷）

绝密★启用前 2025年夏季奥林匹克“丁一杯”数学活动全国总测试 (2025年夏季) 选手须知： 1.本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分： 解答题，共计6分； 2.答题前请将自己的姓名、学校、 教室编号、证号证号写在规定的位置； 3.测试时不能使用计算工具； 4.测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 三 总分 核查人 知 得分 邮 八年级试题 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得 分 长 一、填空题（每题8分，共计64分） 评卷人 O x-2 +1< ☒ 1、若关于x的一元一次不等式组 2至少有两个整数解；且关于y的分式方程 3x-a<5 舞 蜥 8y+2+四=2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 y-22-y 2、某校若干名同学在课外活动时间举行了“石头、剪子、布”猜拳游戏，游戏规则是每名同学都 杯 与其他同学比赛一盘，计分方法：胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分。赛后统计：共有奇 数个同学参加游戏活动，其中有两名同学共得20分，其他人的平均得分为正整数，则本次游戏共进行 了 盘比赛。 粕 3、如图，在矩形ABCD中，AD=4.5,PD=1.5,点E为直线CD的一个动点，连接PE,以 PE为边向下方作等边△PEG,连接AG,则AG的最小值是 (第3题图) 毁 4、某校10名教师带领八年级全体学生乘坐汽车外出参加社会实践活动，要求每辆汽车乘坐的人数 相等。起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有师生正好 八年级 第1页 能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，那么起初有」 辆汽车，该校八 年级有」 名学生。 、如果双曲线y=过点A,且点A的坐标满足(x+8)+一9=0，那么此双曲线的解析式为 0 6、在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮资0.80元，超过20g而不超过40g时付邮资1.60 元，依此类推，每增加20g需增加邮资0.80元（信重在100g以内），如果某人所寄的一封信的重量为82.5g, 那么他应付邮资 元。 7、在平面直角坐标系中，点B,C的坐标分别为(3，√3)，1，√3)，点D,E分别在y=√3x(x>0), F2>0)上，则CE+DE+DB的最小值是 8、如杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，下图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》 里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题： (1)图中给出了七行数字，根据构成规律，第8行中从右边数第4个数是」 (2)利用不完全归纳法探索出第行中的所有数字之和为 1 、2 3 3 14641 5101051 615201561 二、计算题（每题10分，共计20分） 9、化简(aby2-():( 得分 评卷人 0、先化简再求值知21(x,1,其中x=2。 xx+2 x2+2x 八年级 第2页 得分 评卷人 三、解答题（第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分） 1、若0，求代数式++-1+元的最大值。 12、设a,b,c,d都是正整数，并且a=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值。 13、如图1，在平面直角坐标系中，直线1交y轴于点A,交x轴于点B,∠ABO=30°，直线12： y=-V3x+6经过点A,交x轴于点C。那么解决如下问题：(1)求直线，的解析式。（②）如图2，点D是y 轴负半轴上一动点，点E是x轴上一动点，岩A4CD=10W5,求DE+BE的最小值。③)如图3，点P是 直线1，上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线1于点Q,平面内有一个动点M,若以C,P,Q, M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点M的坐标。 图1 图 图3 八年级 第3页 14、设2017x3=2018y3=2019z3,xz>0,且/2017.x2+2018y2+2019z2=/2017+2018+2019。 求上+上+上的值。 x y Z 如 15、如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC,且与AC相交于点D.过A作A州LBC于H,AH交 BD于E,过C作CP⊥BD交BD的延长线于F,交BA的延长线于M。 邮 (1)求证：∠AED=∠ADE: (2若BD=2,求AP的长： 长 (3)如图2，连接连交AC于G,求AB 的值. DG 图2 F 桨 ☒ 郑 杯 相 八年级 第4页八年级全国总测试参考答案 一、填空题。（共8题，每题8分，共计64分) 1.202.55 3.3424,5195.y=-72 6、472133 8、35;2"-1 7 二、计算题。（共2题。每题10分，共20分） 9、 原式=a2b(b )i =-a266.b3g4 a6 b4 =-b5 10、 原式=2-x-1 (x.1 =2-x-1 xx+22+2 ( 1 x+2x(x+2) =2--1÷2-1 x x(x+2) =2--1.xx+2) xx2-1 =2--1.x(0x+2) x(x+1)x-1) x+1 当x=2时，原式= 3 三、解答题。（共5题。第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分） 11、 由题意得，当x>0时，原代数式有最大值，此时： V1+x2+x4-W1+x4 1++-c48-+2 令x-1=, 则原式=Vt-0)2+(0-V3)2-Vt-0)2+(0-√2)2， 上述问题等价于动点P(t,0)到两定点A(0,√3)，B0,√2)距离差的最大值， PA-PB≤AB=V3-V2, :当1=0时，x-1=0,得x=1, 此时PA-PB的最大值为√3-√2 B O P :代数式1++-+r的最大值为5-2 12、 设a=b4=m20,c3=d2=n(m,n为自然数)， a=m,b=m3,c=n2,d=n3, 由c-a=19得(n+m2)(n-m2)=19 19为质数，且(n+m2)n-m2)=19, n+m2=19m=3 解得 n-m2=1n=10 ∴.d-b=103-35=1000-243=757 13、 (1)解：当x=0时，y=6, ∴.A(0,6),即0A=6, ,∠ABO=30°， ..BO=_ OA =6√3， tan30° .B(-6V3,0), 设直线L的解析式为：y=x+b, 把A(0,6),B(-6V3,0)分别代入解析式得： b=6 解得k -6V3k+b=0 b=6 所以直线的解析式为：y= 3+6 (2)解：当y=0时，-√3x+6=0,解得x=2V3, .C(2W3,0), 5m-402w5=10w5, .AD=10, ,D在轴负半轴上，是过点D作DM⊥AB于点M,交x轴于点E, ∴.∠ADM=∠ABO=30°， 4M=4D=5, .DM=53, ∴(DE+2BE)最i=DE+ME=DM=5V5 (3)M,(2V3,-24+16V3),M,(2V3,-24-163),M,(10√3,0)，M,(23,8) 14、 xz>0, x>0,y>0,z>0,或x,y,z,一正两负， 2017x3=2018y3=2019z3说明x,y,z同号， .x>0,y>0z>0, 令2017x3=2018y3=2019z3=k, .2017x2+2018y2+2019z2=V2017+2018+V2019 2017x3,2018y3,2019z3 2017x3,2018y3,2019z3 x y x3 之3 :派++=+马派， x y z x y Z 1.111.1,1 x y z x y Z ++-++g x y Z x y Z L+L+凸)L+1+1D=0, x y z x y Z 。1.1,1 :x>0,y>0,z>0,=++二>0， x y Z 1++1=1 x y Z 15、 (1)证明： ,△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， .∴.AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°， .AH⊥BC于H, .∴.∠HAB=∠HAC=∠BAC=45°， 2 ∴.BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD=-∠ABC=22.5°， 2 ∴.∠AED=∠HAB+∠ABD=67.5°，∠ADE=∠ACB+∠CBD=67.5°， ∴.∠AED=∠ADE; (2)解： CF⊥BD交BD的延长线于F, .∠BFC=∠BFM=90°， 在△BFC和△BFM中， ∠BFC=∠BFM BF=BF ∠CBF=∠MBF 所以△BFC≌△BFM(ASA), ∴.CF=Mf, :∠CAM=∠BAD=∠BFM=90°， .∠ACM=∠ABD=90°-∠M, 在△CAM和△BAD中， [∠CAM=∠BAD AC=AB ∠ACM=∠ABD ∴.△CAM≌△BAD(ASA), ∴.CM=BD=2, AF-CM-1. AF的长为1； (3)解：如图2，作EL⊥BA于点L,则∠ALE=90°， 图2 .∠LEA=∠LAE=45°， ..AL=EL, ∴.AE=VAL2+EL2=√2EL, EsV -AE, 2 ,BD平分∠ABC,点E在BD上，且EH⊥BC,EL⊥BA, .∴.EH=EL= -AE, 2 A AE=AH, 2 ,∠AED=∠ADE, AD-AE-(22 .'CH=BH,CF=MF, .HF∥BM, .∠AGH=180°-∠BAC=90°， .∠GHA=∠GAH=45, .∴.HG=AG, ∴AH=VAG2+HG2=√2AG, A .AG=- 2 DG-AG-AD-V2 H-(2-2)AH-32-4 2 AH, AE-2-AH=2+2 DG 3v2-4 AH 2 :.AE的值为22+2. AG