2025年11月浙江省冬季奥林匹克丁一杯数学省级选拔八年级数学试题

绝密★启用前 2025年冬季奥林匹克“丁一杯”数学活动省级选拔 (2025年11月) 选手须知： 1.本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分：第二部分：计算题，共计20分：第三部分： 解答题，共计66分： 2.答题前请将自己的姓名、年级、教室编号、活动证号写在规定的位置： ® 3.测试时不能使用计算工具： 4.测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。 铷 题号 二 三 总分 核查人 得分 邮 八年级试题(A卷) (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 长 得分 一、填空题（每题8分，共计64分） 评卷人 1.若2b+3a-1的平方根是±2,3a-2b+2的立方根是3，则6a-b+13= ☒ 2.如图，BE是△ABC的中线，D在BC上且BD:DC=1:2,AD与BE相交于 舞 点P,若△APE的面积为2，那么△ABC的面积为 郑 3若台-号则遍 (第2题图) 4已知m为正整数，若二元一次方程组(0 有整数解，则m的值 杯 为 5.若三个质数a,b,c满足a+b+c+abc=174,那么a-b+b-c+lc-al=」 御 6.消代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了 70/7 勾股定理.如图，己知∠ACB=90°，四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形.若 (第6题图) 四边形ABDE,BCHI的面积分别为21和12，则DI的长为 7.如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列7个数：京分1,2,4,8， 16 32 填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，则x的值为」 64 8.已知实数x,y满足x-2y2y2=2,则当x取到最大时，|x+y= (第7题图) 八年级 第1页 得分 二、计算题（每题10分，共计20分） 评卷人 9.计算：若都x-1tk2-2P+k33++k202s202512025=0,求++++的值. X1X2 X2X3 X3X4 x2024x2025 10.计算：20253×2025202 2025+20252-2026 八年级 第2页 得分 三、解答题（第1-13题各12分，第1415题各15分，共计66分） 评卷人 11.设a+b+c=6,a2+b2+c2=14,a3+b3+c3=36. ()a4+b4+c4的值； (2)求ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)的值. 12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CBD=30°，AC=BC=BD,求证：AD=CD D (第12题图) 13.因式分解： （1)22+6r+I2+52+6r+1)02+I+20r2+1P: (2)x-32e-x3+22x-y月. 八年级 第3页 14.有16个连续自然数，任意配对后，都换成两个数的和与差（差取绝对值），其结果可能是连续的16个 自然数吗？请说明理由. 圜 如 15.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，在AB和AC上分别取点Q和点P,使得∠QPC=45°， 且BO=PQ=BC,BO//PQ. (1)求证：△OBC为等边三角形， A 邮 (2)求证：BC=CQ. 0 0 长 器 K (第15题图) 和 翻 都 都 御 八年级 第4页 2025冬季“丁一杯”省赛八年级试题（A卷)答案 一、填空题（每题8分，共计64分） 1.48 2.8 a9 4.2 5.18 6.3 7.8 8.3 二、计算题（每题10分，共计20分) 9.因为绝对值、偶次幂均具有非负性，而题目中给出的等式左边是多个非负项的和，要使 它们的和为0，每一项都必须为0。所以可得： 1x-1川=0→x=1 |x2-212=0→X22 |X3-3|3=0→x3=3 |x2252025|2025-0→X2om5=2025 接下来计算所求式子的值，即： 1+1+1 十。十 X1X2 X2X3 X3X4 X2024X2025 将X1=1,X2=2,X3=3,…,X2025=2025代入上式，可得： 1 1 X22X3+3X4+ 024×2025 1 11 观察每一项 m+可可拆分为：元n+7 利用裂项相消法进行计算： 1 1 1 1 1×22×33×4 十十 2024×2025 西 1 1-2025 2024 2025 10.解：设a=2025,则原式8-3a.(a-3) a3+a2.(a+1) 原式=（a2-)(a3) (a-3) (a2-1)(a+1) (a+1) 将a=2025代入，得 2025-320221011 025+120261013 三、解答题。（第11-13题每题12分，第14-15题各15分) 11.解：(1)首先，由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),代入已知值得： 62=14+2(ab+bc+ca) 36=14+2(ab+bc+ca) 解得ab+bc+ca=11 其次，根据立方和公式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca), 代入已知值得：36-3abc=6×(14-11) 36-3abc=3×6 36-3abc=18 解得abc=6 然后，计算a2b2+b2c2+c2a2,由(ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c),代入已知 值得： 112=a2b2+b2c2+c2a2+2×6X6 121=a2b2+b2c2+c2a2+72 解得a2b2+b2c2+c2a2=49。 最后，由(a2+b2+c2)2=a+b+c+2(a2b2+b2c2+c2a2),代入己知值得： 142=a+b'+c4+2X49 196=a+b+c4+98 解得a+b+c=98 (2)对于ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a),可变形为： ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)=ab (a+b+c-c)+bc (a+b+c-a)+ac (a+b+c-b) =(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc 代入a+b+c=6,ab+bc+ca=11,abc=6得： 6×11-3×6=66-18=48 12.证明：以CD为边，作等边三角形CDE,连接BE,如图. 在△BDC中 .∠CBD=30°，BC-=BD ∴.∠BCD=∠BDC=75°，而∠ACB=90°，∠DCE=60 ∴.∠ECB=∠DCA=15° .'BD=BC,BE=BE,DE=CE '.△BDE≌△BCE 又.∠CBD=30° ∴.∠CBE=∠DBE=15° .CD=CE,∠ACD=∠BCE,AC=BC ∴.△ADC≌△BEC(SAS) .∴.∠CAD=∠CBE=15° ∴.∠CAD=∠DCA=15° ∴.AD=CD. 13.因式分解 (1)2(x2+6x+1)2+5(x2+6x+1)(x2+1)+2(x2+1)2; 解：设a=x2+6x+1,b=x2+1 2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b) 2a+b=2(x2+6x+1)+(x2+1) =2x2+12x+2+x2+1 =3x2+12x+3 =3(x2+4x+1) a+2b=(x2+6x+1)+2(x2+1) =x2+6x+1+2x2+2 =3x2+6x+3 =3(x2+2x+1) =3(x+1)2 原式=3(x2+4x+1)×3(x+1)2=9(x2+4x+1)(x+1)2 (2)x2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3. 解：首先，观察式子x2(y-z)3+y2(z-x)3+z2(x-y)3的结构特点。当x=y时，代入原式 可得： x2(x-z)3+x2(z-x)3+z2(x-x)3=x2(x-z)3-x2(x-z)3+0=0 所以原式含有因式(x-y)。同理，当y=2时，原式的值为0，含有因式(yz)；当z=x时， 原式的值为0，含有因式(z-x)。 原式=(x-y)(y-z）(z-x)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)], ①求A 对比等式两边xy项的系数： ·左边：展开x2(y-z)3时，含x2y3项，无xy项；同理其他项也不含xy,故左边xy 系数为0。 ·右边：（x-y)(y-z)(z-x)展开后含xyz等三次项，与A(x2+y2+z2)相乘时，x2xyz=x yz(三次项)，无xy项；而A(x2+y2+z2）中的x2与三次项相乘无法得到xy,因此A=0。 此时原式简化为(x-y)(y-z)(z-x)B(xy+yz+zx)。 ①求B 令x=0,y=1,z=2,代入原式 ·左边：02(1-2)3+12(2-0)3+22(0-1)3=0+1×8+4×(-1)=8-4=4： 右边：(0-1)(1-2)(2-0)×B(0×1+1×2+2×0)=(-1)×(-1)×2×B×(0+2+0)=2×2B=4B: ·由左边=右边，得4=4B,解得B=1 综上，原式=(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)。 l4.解：对于任意两个数a和b,将它们替换为和a+b与差|a-b|后，新的平方和为： (a+b)2+(a-bl)2=(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)=2(a2+b2) 因此，每次操作后，所有数的平方和变为原来的2倍。 设16个连续自然数为n,n+1,n+2,..,n+15(n为整数)。 考虑平方和S-∑15a+k好，展开得： k=0 15 女 S=16n2+2n>K+>K2-16n2+2n×120+1240=16n2+240n+1240 15 15 其中∑K=120, K2=1240。 k=0 k=0 化简模16： ·16n2=0mod16, ·240n=15×16n≡0mod16, ·1240=77×16+8=8mod16, 故S=8mod16。 操作后平方和变为2S,则： 2S=2×8=16=0mod16 若结果为16个连续自然数，设其平方和为T。类似地，16个连续自然数的平方和T同 样满足T≡8mod16(推导同第二步，与n无关)。 但操作后平方和2S=0mod16,而T=8mod16,两者模16矛盾。 由于操作后平方和的模16性质与16个连续自然数的平方和无法匹配，结果不可能是 16个连续自然数。 15.(1)证明：在△ABC中， :∠A=30°，AB=AC, .∠ABC=∠ACB=(180°-30°）÷2=75°， ,∠QPC=45°，∠QPC=∠A+∠AQP(三角形外角等于不相邻两内角和) ∴.∠PQA=15° .OB∥PQ .∠0BA=∠AQP=15°（两直线平行，同位角相等） ,∠ABC=∠ABO+∠OBC .∠0BC=60° 又，OB=BC ∴.△0BC为等边三角形 (2)证明：连接OQ,OA .0B∥PQ,0B=PQ ∴.四边形OBQP为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ..0P∥BQ,0P=BQ,∠0PQ=∠0BQ=15° A ∴.∠0PC=30° .∠OPC=∠A, 由(1)可知：∠PC0=∠AQP=15°，0C=PQ, 0 '.△OPC≌△PAQ(AAS:∠OPC=∠A,∠PC0=∠AQP,OC=PQ) ∴.OP=PA .AB=AC,OB=OC（△OBC为等边三角形)，0A=O0A B C ∴.△BAO≌△CA0(SSS) ∴.∠QA0=∠0AC=15°，故∠QA0=∠AQP=15 在△0AB中，∠AB0=∠0AC=15°，∴.0A=0B,∴.0A=PQ 又，AQ=AQ(公共边) ∴.△QA0≌△AQP .∴.0Q=AP,∠QAP=∠AQ0=30° .OP=PA,OP=BQ,0Q=AP,..0Q=QB 又.0C=BC,QC-QC(公共边) ∴.△0QC≌△BQC(SSS:0Q=QB,0C=BC,QC-QC) .∠0QC=∠BQC=(180°-∠AQ0)÷2=(180°-30°)÷2=75° ∴.∠BQC=∠ABC=75°，故BC=CQ(等角对等边)