专题03 复数全章8大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题03 复数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01复数的概念与分类 题型02复数与复平面内的点一一对应 题型03复数与复平面内的向量一一对应 题型04复数的四则运算综合 题型05复数的高次方运算 题型06复数范围内解方程 题型07复数的模长及应用 题型08与复数模有关的最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义； 2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值； 3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考小题，以选择、填空为主，题型简单固定。主要考查复数分类辨析、利用复数相等求参数。 易错点：纯虚数忽略虚部不为0；错判虚部构成；参数求解遗漏限制条件。 趋势：侧重基础概念严谨性考查，无复杂综合题型，为基础送分题。 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义； 3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频基础考点，仅考选择、填空。依托复平面，考查复数对应点象限、向量坐标、模的几何意义，常结合平面向量简单命题。 易错点：混淆复平面横纵坐标对应关系；模长与向量运算公式混用；不会利用几何意义解最值、轨迹题。 趋势：侧重数形结合思想，命题小幅灵活，侧重几何应用考查 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用； 3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式； 4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考重难点，覆盖选择、填空、解答全题型。重点考查复数四则运算、i的周期性幂运算、代数式化简。 易错点：除法分母实数化计算失误；记错i的循环周期；乘法公式误用、共轭复数概念混淆。 趋势：以基础运算为核心，题型套路固定，偶尔结合概念、几何意义综合命题，侧重运算熟练度考查 复数的模与共轭复数 1、能准确计算复数的模，掌握复数模的性质（|z₁z₂|=|z₁||z₂|、|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|等）； 2、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质； 3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频工具型考点，极少单独命题。多嵌套在复数运算、几何类题目中，考查模长计算、共轭复数求解及相关运算性质。 易错点：模与共轭复数运算公式混淆、记错；混淆复数平方与模的平方。 趋势：弱化单独考查，强化综合应用，作为解题关键步骤出现，侧重解题工具性使用 知识点01 复数的概念 1、复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. ·示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点02 复数的几何意义 1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点03 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2、复数的减法 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi， 使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 3、复数的乘法 （1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)， 则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． （3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 4、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点． 【典例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）若复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 【变式1-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【变式1-2】（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 题型二 复数与复平面内的点一一对应 解｜题｜技｜巧 复数． 【典例2】（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 题型三 复数与复平面的向量一一对应 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数． 【典例3】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·四川达州·期末）已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 【变式3-2】（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 题型四 复数的四则运算综合 解｜题｜技｜巧 复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i 【典例4】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知是虚数单位，则_______. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 题型五 复数的高次方运算 解｜题｜技｜巧 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i； 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i 【典例5】（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，则，，，…不同的数有（    ） A．6个 B．4个 C．2024个 D．以上答案都不正确 【变式5-2】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则___________． 【变式5-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 题型六 复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例6】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【变式6-1】（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程一个根，则（    ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【变式6-2】（24-25高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则_______. 【变式6-3】（24-25高一下·河北沧州·期末）已知复数是关于x的方程的根，则______． 题型七 复数的模长及应用 解｜题｜技｜巧 （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【典例7】（24-25高一下·内蒙古·期末）________． 【变式7-1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是______． 【变式7-2】（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【变式7-3】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝______． 题型八 与复数模有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【典例8】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）复数满足，则的最大值为________. 【变式8-3】（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为______. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 2．（23-24高一下·吉林四平·期末）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ） A． B． C．或2 D．或2 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）下列关于非零复数、的结论正确的有（    ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01复数的概念与分类 题型02复数与复平面内的点一一对应 题型03复数与复平面内的向量一一对应 题型04复数的四则运算综合 题型05复数的高次方运算 题型06复数范围内解方程 题型07复数的模长及应用 题型08与复数模有关的最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义； 2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值； 3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考小题，以选择、填空为主，题型简单固定。主要考查复数分类辨析、利用复数相等求参数。 易错点：纯虚数忽略虚部不为0；错判虚部构成；参数求解遗漏限制条件。 趋势：侧重基础概念严谨性考查，无复杂综合题型，为基础送分题。 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义； 3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频基础考点，仅考选择、填空。依托复平面，考查复数对应点象限、向量坐标、模的几何意义，常结合平面向量简单命题。 易错点：混淆复平面横纵坐标对应关系；模长与向量运算公式混用；不会利用几何意义解最值、轨迹题。 趋势：侧重数形结合思想，命题小幅灵活，侧重几何应用考查 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用； 3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式； 4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考重难点，覆盖选择、填空、解答全题型。重点考查复数四则运算、i的周期性幂运算、代数式化简。 易错点：除法分母实数化计算失误；记错i的循环周期；乘法公式误用、共轭复数概念混淆。 趋势：以基础运算为核心，题型套路固定，偶尔结合概念、几何意义综合命题，侧重运算熟练度考查 复数的模与共轭复数 1、能准确计算复数的模，掌握复数模的性质（|z₁z₂|=|z₁||z₂|、|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|等）； 2、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质； 3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频工具型考点，极少单独命题。多嵌套在复数运算、几何类题目中，考查模长计算、共轭复数求解及相关运算性质。 易错点：模与共轭复数运算公式混淆、记错；混淆复数平方与模的平方。 趋势：弱化单独考查，强化综合应用，作为解题关键步骤出现，侧重解题工具性使用 知识点01 复数的概念 1、复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. ·示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点02 复数的几何意义 1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点03 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2、复数的减法 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi， 使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 3、复数的乘法 （1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)， 则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． （3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 4、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点． 【典例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）若复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】B 【解析】由复数z满足，可得复数z的虚部为.故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【解析】若复数(是虚数单位)是纯虚数， 则，解得.故选：A 【变式1-2】（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为，所以，.故选：B. 【变式1-3】（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【解析】， ，解得， 故实数的取值为. 题型二 复数与复平面内的点一一对应 解｜题｜技｜巧 复数． 【典例2】（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题设，对应点为，该点位于第四象限.故选：D 【变式2-1】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在复平面内，复数z对应点的坐标为， 所以，，在复平面中对应的点坐标为.故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为．故选：A． 【变式2-3】（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】AB 【解析】若复数对应的点在第三象限，则，解得， 对比选项可知，只有AB符合题意.故选：AB. 题型三 复数与复平面的向量一一对应 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数． 【典例3】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为.故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·四川达州·期末）已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则________． 【答案】2 【解析】由题可知，，， ，所以. 【变式3-2】（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是,故选：A. 【变式3-3】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】依题意，，则， 令，则，， 因此，则当时，取得最大值为2， 故的最大值为 2.故选：D 题型四 复数的四则运算综合 解｜题｜技｜巧 复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i 【典例4】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知是虚数单位，则_______. 【答案】 【解析】. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 【变式4-2】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B 【变式4-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】根据题意，， ．故选：A． 题型五 复数的高次方运算 解｜题｜技｜巧 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i； 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i 【典例5】（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以复数的虚部是1，故选：A. 【变式5-1】（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，则，，，…不同的数有（    ） A．6个 B．4个 C．2024个 D．以上答案都不正确 【答案】A 【解析】由可得， 所以， ， ，，， 则， 因此可得周期为6，即, 所以，，，…不同的数有6个，故选：A 【变式5-2】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则___________． 【答案】0 【解析】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 【变式5-3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【解析】由， 虚部为.故选：A 题型六 复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例6】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【解析】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 【变式6-1】（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程一个根，则（    ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【解析】将代入方程得， 即，则，解得，故，故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则_______. 【答案】3 【解析】若是关于x的方程的一个根， 则也是关于x的方程的一个根， 所以，解得， 所以. 【变式6-3】（24-25高一下·河北沧州·期末）已知复数是关于x的方程的根，则______． 【答案】26 【解析】由题意可知关于x的方程的另一个根为， 则． 题型七 复数的模长及应用 解｜题｜技｜巧 （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【典例7】（24-25高一下·内蒙古·期末）________． 【答案】 【解析】． 【变式7-1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是______． 【答案】（答也可以） 【解析】设纯虚数，，， 由于，所以或， 即或. 【变式7-2】（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 【变式7-3】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝______． 【答案】 【解析】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以． 题型八 与复数模有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【典例8】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为.故选：B 【变式8-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即.故选：B. 【变式8-2】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）复数满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 【变式8-3】（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知复数满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】，即，由复数的几何意义知， 复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 又，点在圆外， 所以的最小值为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 【答案】D 【解析】因为复数与互为共轭复数，所以， 所以，，所以.故选：D. 2．（23-24高一下·吉林四平·期末）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以， 则复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B. 3．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，与相交于点， 又，所以， 则，又三点共线， 所以，则， 所以，即的面积为.故选：B. 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】复数满足，即， 故，则， 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 【答案】7 【解析】因为，所以设， 而，从而 ， 其中，等号成立当且仅当， 所以的最大值为7. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ） A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【解析】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得.故选：D. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）下列关于非零复数、的结论正确的有（    ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A错； 对于B选项，取，， 所以， ，B对； 对于C选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部， 所以点所在的区域如下图所示： 故点所在的区域的面积为，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但，，即，D错. 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得，解得； （2）， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根， 则，解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1，故选：C. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解析】由，则.故选：A 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $