期末复习专题06 复数的综合【6大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题06 复数的综合 一、复数的概念 知识点1.复数的有关概念 1．定义：我们把形如 a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，满足i2＝ －1 ． 2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 实部 ，b叫做复数z的 虚部 ． 3．复数集 (1)定义：全体复数构成的集合叫做 复数集 ． (2)表示：通常用大写字母 C 表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 【注意】(1)i2＝－1． (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)a，b∈R． 知识点2.复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d ．特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0 ． 知识点4.复数与复平面内点的关系 1．复平面 (1)复平面：建立直角坐标系来表示 复数 的平面叫做复平面． (2)实轴：坐标系中的x轴叫做 实轴 ，实轴上的点都表示 实数 ． (3)虚轴：坐标系中的y轴叫做 虚轴 ，除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ． 2．复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z (a，b) ，这是复数的一种几何意义． 【注意】 1．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)． 2．除原点外，虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． 知识点5.复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了 一一对应 关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量．这是复数的另一种几何意义． 知识点6.复数的模 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作 |z| 或 |a＋bi| ． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝ ． 复数的模的计算 计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 复数模的几何意义 (1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形． (2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决． 知识点7.共轭复数 1．定义：一般地，当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 ． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi． 二、复数的四则运算 知识点1.复数代数形式的加、减运算法则 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； (2)z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i ． 2．对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝ z2＋z1 ； (2)(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． 知识点2.复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝( c，d )，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝( a＋c，b＋d )与复数 z1＋z2 对应，向量＝(a－c，b－d)与复数 z1－z2 对应． 因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义． 两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 知识点3.复数乘法的运算法则和运算律 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ z2z1 结合律 (z1z2)z3＝ z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 知识点4.复数除法的运算法则 复数除法的法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 知识点5.在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝． ②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)． (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 三、复数的三角表示 知识点1.复数的三角表示式 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cos θ＋isin θ) 的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的 辐角 ． r(cos θ＋isin θ) 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π． 【注意】　任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内． 知识点2.复数三角形式乘法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝ r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的 模的积 ，积的辐角等于各复数的 辐角的和 ． 知识点3.复数三角形式除法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝ [cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于 被除数的辐角 减去 除数的辐角 所得的差． 考点一 复数的四则运算 考点二 复数的概念与分类 考点三 复数相等与共轭复数 考点四 复数的几何意义（坐标与模长） 考点五 复数的三角表示 考点六 复数的模长的求参数 考点一 复数的四则运算 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知复数，则________． 2．（2026·河北保定·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知，，则（   ） A． B．7 C．8 D．6 5．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南开封·模拟预测）若，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点二 复数的概念与分类 7．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高一下·广西南宁·期中）若复数，则z的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 9．（2026·云南·模拟预测）设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 10．（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 11．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（  ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 13．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 考点三 复数相等与共轭复数 15．（25-26高一下·广东广州·期中）若，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 16．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 17．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 18．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 21．（25-26高一下·重庆·月考）若，则________． 22．（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 考点四 复数的几何意义（坐标与模长） 23．（25-26高一下·北京·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知复数，（为虚数单位）． (1)当时，求； (2)若为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 25．（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 27．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知复数，，则（   ） A． B． C． D．5 28．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求实数的取值范围． 29．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．（25-26高二下·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 考点五 复数的三角表示 31．（2026·湖北·模拟预测）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 32．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 35．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 考点六 复数的模长的求参数 37．（25-26高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数满足，求的最大值. 38．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．（25-26高一下·河北石家庄·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．复数满足，则的最大值为6 40．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 41．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 42．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数满足，当的虚部取最小值时，_____ 1．（2026·北京顺义·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（辽宁省多校联考2025-2026学年高三下学期第三次模拟数学试卷）复数（为虚数单位）的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知复数 ，则（    ） A．​ B．2​ C．​ D．2​ 5．（2026·四川广安·模拟预测）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川成都·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知复数，则复数z的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 8．（25-26高一下·广西南宁·期中）（多选）已知复数，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若z是纯虚数，则或 C．若z在复平面内对应的点在第四象限，则 D．若z是关于x的方程的一个根，则 9．（25-26高一下·重庆·阶段检测）（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一下·四川泸州·期中）（多选）已知复数（为虚数单位），则（   ） A．的虚部为2 B． C． D． 11．（25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）已知复数满足，则（   ） A．在复平面内所对应的点是 B．的虚部是 C． D． 12．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知复数，则______ 13．（25-26高一下·广东佛山·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则复数的共轭复数________． 14．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）设，为虚数单位，，则______． 15．（25-26高一下·广西河池·期中）在复数范围内解方程，解得_______． 16．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值. (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 复数的综合 一、复数的概念 知识点1.复数的有关概念 1．定义：我们把形如 a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，满足i2＝ －1 ． 2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 实部 ，b叫做复数z的 虚部 ． 3．复数集 (1)定义：全体复数构成的集合叫做 复数集 ． (2)表示：通常用大写字母 C 表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 【注意】(1)i2＝－1． (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)a，b∈R． 知识点2.复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d ．特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0 ． 知识点4.复数与复平面内点的关系 1．复平面 (1)复平面：建立直角坐标系来表示 复数 的平面叫做复平面． (2)实轴：坐标系中的x轴叫做 实轴 ，实轴上的点都表示 实数 ． (3)虚轴：坐标系中的y轴叫做 虚轴 ，除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ． 2．复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z (a，b) ，这是复数的一种几何意义． 【注意】 1．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)． 2．除原点外，虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． 知识点5.复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了 一一对应 关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量．这是复数的另一种几何意义． 知识点6.复数的模 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作 |z| 或 |a＋bi| ． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝ ． 复数的模的计算 计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 复数模的几何意义 (1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形． (2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决． 知识点7.共轭复数 1．定义：一般地，当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 ． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi． 二、复数的四则运算 知识点1.复数代数形式的加、减运算法则 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； (2)z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i ． 2．对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝ z2＋z1 ； (2)(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． 知识点2.复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝( c，d )，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝( a＋c，b＋d )与复数 z1＋z2 对应，向量＝(a－c，b－d)与复数 z1－z2 对应． 因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义． 两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 知识点3.复数乘法的运算法则和运算律 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ z2z1 结合律 (z1z2)z3＝ z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 知识点4.复数除法的运算法则 复数除法的法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 知识点5.在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝． ②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)． (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 三、复数的三角表示 知识点1.复数的三角表示式 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cos θ＋isin θ) 的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的 辐角 ． r(cos θ＋isin θ) 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π． 【注意】　任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内． 知识点2.复数三角形式乘法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝ r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的 模的积 ，积的辐角等于各复数的 辐角的和 ． 知识点3.复数三角形式除法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝ [cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于 被除数的辐角 减去 除数的辐角 所得的差． 考点一 复数的四则运算 考点二 复数的概念与分类 考点三 复数相等与共轭复数 考点四 复数的几何意义（坐标与模长） 考点五 复数的三角表示 考点六 复数的模长的求参数 考点一 复数的四则运算 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知复数，则________． 【答案】4 【分析】先对的分母进行实数化，再求出，最后求出. 【详解】因为 所以，，故． 2．（2026·河北保定·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据共轭复数的定义求出，计算得到分母后代入原式，通过分母实数化化简复数即可得到结果。 【详解】已知，因此， 计算分母：，因此原式化简为； 分母实数化：将分子分母同乘分母的共轭复数， 分子：，由，得分子； 分母：， 化简得结果： 。 3．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知复数， 则， 所以的虚部为. 4．（25-26高一下·广西南宁·期中）已知，，则（   ） A． B．7 C．8 D．6 【答案】C 【详解】因为， 可得，即，所以. 5．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值. 【详解】因为复数，则.，故B正确. 6．（2026·河南开封·模拟预测）若，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由已知可得， ，在复平面内对应点为，位于第四象限． 考点二 复数的概念与分类 7．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以复数z的虚部为1. 8．（25-26高一下·广西南宁·期中）若复数，则z的虚部是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】，所以z的虚部是1． 9．（2026·云南·模拟预测）设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题设有，即. 10．（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将复数进行化简写成的形式，实部为，虚部为，进行计算即可． 【详解】由可知：实部为2，虚部为1，故和为3． 11．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实部、虚部的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意的虚部为，则所求复数的实部为， 的实部为，则所求复数的虚部为， 则所求复数为. 12．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数为实数得出方程解出即可； （2）根据复数为纯虚数得出方程组解出即可. 【详解】（1）由复数， 当复数为实数时，，解得：或. （2）由复数， 当复数为纯虚数时，，解得：. 13．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数. （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数. （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 考点三 复数相等与共轭复数 15．（25-26高一下·广东广州·期中）若，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由复数相等的充要条件得，解方程组即得，. 16．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 17．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 18．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故， 故复数的虚部为. 19．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算性质，化简得到，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 20．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 21．（25-26高一下·重庆·月考）若，则________． 【答案】1 【详解】由题意得：，解得：，所以. 22．（25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 考点四 复数的几何意义（坐标与模长） 23．（25-26高一下·北京·期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内的点为，位于第四象限. 24．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知复数，（为虚数单位）． (1)当时，求； (2)若为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当 时: 实部：, 虚部：. 故 , 共轭复数 , . （2）若 为纯虚数, 则实部为且虚部不为, 由 得 , 即 或 . 由 得 , 即 且 . 综上所述, . （3）复数对应点在第二象限, 则 : . : 或 . 综上所述. 25．（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 26．（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________． 【答案】 【分析】由复数为实数，可求得，进而根据复数模长的公式，即可求解. 【详解】由题意，复数为实数， 则，解得， 所以. 27．（25-26高一下·河北邯郸·期中）已知复数，，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据复数模的运算求得正确答案. 【详解】，， ． 28．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】（1）根据复数的实部为0，虚部不为0求解即可； （2）根据复数的实部小于0，虚部大于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以且， 解得或； 所以实数的值为2或4； （2）因为复数表示的点在第二象限， 所以，    即，解得， 所以实数的取值范围为． 29．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的模的公式结合可求出的取值范围，确定复数实部和虚部的符号，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】由，则，得， 复数化简得， 由可得，， 则复数对应的点在第三象限. 30．（25-26高二下·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 考点五 复数的三角表示 31．（2026·湖北·模拟预测）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】， 则. 32．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 33．（25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 34．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 为纯虚数，故，解得； （2），， 则，，， 若，则，即 35．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项错误； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项正确. 36．（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 考点六 复数的模长的求参数 37．（25-26高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用纯虚数的概念直接求解； （2）要将复数的模转换为表达式，结合基本不等式运动求解. 【详解】（1） 是纯虚数得出得； （2）设，所以，即， ， 则， 因为当且仅当取等，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 38．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 39．（25-26高一下·河北石家庄·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【分析】根据复数对应点，复数的模，复数的虚部，复数模的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的向量，则． 的虚部为，故A，C正确，B错误； 由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以，故D正确． 40．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查复数的几何意义，求的最大值，即为求复数所表示的以原点为圆心，半径的圆上一点，到圆外一点的最大距离，由最大距离为即可求出最大值. 【详解】解：由题意得，又，所以， 根据复数的几何意义，复数表示复平面上，以原点为圆心，半径的圆， 而的几何意义为，圆上的点到点的距离， 因为圆心到的距离，所以点在圆外， 因此，圆上一点到圆外一定点的最大距离为，即的最大值为. 41．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____． 【答案】或 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 42．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知复数满足，当的虚部取最小值时，_____ 【答案】 【分析】设，利用复数模长建立方程并求出的最小值，再求出的值即可求出复数. 【详解】设，则， 依题意，，即， 由，得，解得， 当的虚部取最小值时，即当时，则，解得， 所以. 故答案为： 1．（2026·北京顺义·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数乘法和除法运算，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可. 【详解】由题意知，，则， 在复平面内对应的点为，在第一象限. 2．（辽宁省多校联考2025-2026学年高三下学期第三次模拟数学试卷）复数（为虚数单位）的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的虚部为. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以解得，则实数的取值范围是． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知复数 ，则（    ） A．​ B．2​ C．​ D．2​ 【答案】A 【分析】由复数四则运算法则结合复数模长公式可得答案. 【详解】，则， ，则. 5．（2026·四川广安·模拟预测）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以复数的共轭复数是. 6．（2026·四川成都·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复数的运算性质得， 因为，所以 可得. 7．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知复数，则复数z的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由，故虚部为1. 8．（25-26高一下·广西南宁·期中）（多选）已知复数，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若z是纯虚数，则或 C．若z在复平面内对应的点在第四象限，则 D．若z是关于x的方程的一个根，则 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的意义判断A；利用纯虚数的定义列式求解判断B；利用复数对应点的位置求出范围判断C；求出方程的根，再利用复数相等求解判断D. 【详解】对于A，当时，，则，A正确； 对于B，由z是纯虚数，得，解得，B错误； 对于C，由z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得，C正确； 对于D，，解得 因此或，而方程组无解， 解方程组，得，所以，D正确． 9．（25-26高一下·重庆·阶段检测）（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】A选项，根据复数除法运算法则即可求得；B选项，设，，根据共轭复数及复数的运算法则求解；C，D选项通过举反例可判断. 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 10．（25-26高一下·四川泸州·期中）（多选）已知复数（为虚数单位），则（   ） A．的虚部为2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，则的虚部为2，故A正确； 而，故B错误； 而，故C正确； 而，故D正确. 11．（25-26高一下·云南昆明·期中）（多选）已知复数满足，则（   ） A．在复平面内所对应的点是 B．的虚部是 C． D． 【答案】AC 【分析】先通过移项、分母有理化解方程求出复数，再结合复数的几何意义、共轭复数、复数的模的性质逐一判断选项. 【详解】因为，整理可得. 对于选项A：在复平面内所对应的点是，故A正确； 对于选项B：的虚部为，故B错误； 对于选项C：对任意复数，，则，， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误. 12．（25-26高一下·四川遂宁·期中）已知复数，则______ 【答案】 【分析】根据复数的乘方及复数的模计算即可. 【详解】因为，，，，，， 所以周期为4，则，， 所以. 故. 13．（25-26高一下·广东佛山·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则复数的共轭复数________． 【答案】/ 【分析】由复数对应的点确定，再由共轭复数概念即可求解. 【详解】由点 可得：， . 14．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）设，为虚数单位，，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以. 15．（25-26高一下·广西河池·期中）在复数范围内解方程，解得_______． 【答案】或 【详解】因为， 所以或， 所以或. 16．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值. (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $