17.2.4因式分解法（课件）2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，课堂导入先回顾因式分解方法（提公因式、平方差公式等），再通过方程x²-9=0引导学生用因式分解转化为一元一次方程，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与数学语言，通过错误辨析（如方程(x-5)(x+2)=18的正误对比）培养推理意识，步骤归纳（“右化零，左分解，两因式，各求解”）强化数学表达，帮助学生形成有条理的思维，教师可利用分层练习提升教学效率。

17.2.4 因式分解法 第十七章 一元二次方程 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学习目标 1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点) 2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点) 知识回顾 把下列各式因式分解： 一提 二套 三分组 平方差公式： 多项式因式分解的一般步骤： (1) 2x3-32x 知识回顾： a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2 十字相乘法 : x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b) (2) x2+14x+49 2x(x2-16) =2x 解：原式= (x+4) (x-4) =2x(x2-42) 解：原式= (x+7)2 (1) 2x3-32x (2) x2+14x+49 把下列各式因式分解： 知识回顾 导 学 学过的因式分解的方法有哪些？ （1）提取公因式法： （2）公式法： （3）十字相乘法： 导 学 你会用因式分解相关知识去求一元二次方程 的解吗? 将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。 解：把方程左边分解因式，得 解方程得 如果 a • b = 0 那么 a = 0 或 b = 0 探究新知 (3) y2-7y-18 解：原式= (y+2)(y-9) (4) 2x2 + 5x - 3 x 2x 3 -1 -x 6x = (x+3) (2x-1) 把下列各式因式分解： 探究新知 对于一些特殊的一元二次方程， 一个一元二次方程用公式法总可以求解. 如解一元二次方程： x2＝9 问：除了用直接开平方法，你还能用其它方法解吗？ 还可以有别的解法吗? 解：开平方，得 x=±3 ∴ x1=3， x2=-3 推进新课 你会用什么方法解方程 x2 = 9？ 直接开平方法 知识点 用因式分解法解一元二次方程 先变形为一般形式 x2 – 9 = 0 分解因式 (x + 3)(x – 3) = 0 如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；反过来，如果两个因式中有一个等于 0，那么它们的积就等于 0. 例 1 (x + 3)(x – 3) = 0 因此，有 x – 3 = 0 或 x + 3 = 0. x2 = 9 解这两个一次方程，得 x1 = 3，x2 = – 3. 这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 方程的一边为 0； 另一边能分解成两个一次因式的积. 化归方法 公式法 互学 知识点一：因式分解法解方程 （1） 提公因式法 （2） 解：原方程化为一般式 把方程左边分解因式，得 ∴x=0或x-7=0 所以原方程的根是 1.用因式分解法解下列方程 解：把方程左边分解因式，得 所以原方程的根是 ∴2x+1=0 或 2x-1=0 平方差公式法 互 学 知识点一：因式分解法解方程 （3） 解：原方程化为一般式 把方程左边分解因式，得 所以原方程的根是 完全平方公式法 十字相乘法 （4） 解：把方程左边分解因式，得 （x-1)(x-2)=0 ∴x-1=0或x-2=0 所以原方程的根是 探究新知 至少有一个等于0 ; 如解一元二次方程： x2＝9 除了用直接开平方法外，还可以把它变形为 x2-9＝0 再将方程左边因式分解，得 (x-3)(x+3)＝0 那么它们的积就等于 0. 如果两个因式的积等于0， 那么这两个因式中 反过来， 如果两个因式中有一个等于0， 即 ab=0 a=0 或 b=0 知识归纳 转化为两个一元一次方程， 如解一元二次方程： x2＝9 除了用直接开平方法外，还可以把它变形为 x2-9＝0 再将方程左边因式分解，得 (x-3)(x+3)＝0 因此，有 x-3=0 或 x+3=0 解这两个一次方程，得 x1=3， x2=-3 想一想：这里用到了什么数学思想方法 利用因式分解把一个一元二次方程“降次”， 我们把这种思想称为“降次转化思想.” 概念学习： 转化为两个一元一次方程来求解的方法， 因式分解法. 这种通过因式分解， 将一个一元二次方程 叫做 例 2 解方程： x2 – 2x = 0. 分析：方程右边为 0，左边有公因式 x，可直接用提公因式法分解因式. 解：提取公因式，得 因此，有 x = 0 或 x – 2 = 0. 所以原方程的根是 二次方程 ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) 的根： 把左边分解因式 x(ax + b) = 0. x(x – 2) = 0. x1 = 0，x2 = 2. 提公因式法 例 3 解方程：(x + 4)(x – 1) = 6. 分析：方程右边不为 0，左边为两个多项式相乘，先将方程化为一般形式，再尝试因式分解. 解：将原方程化为一般形式，得 x2 + 3x – 10 = 0. – 10 = (– 2)×5，3 = (– 2) + 5 把方程左边分解因式，得 (x + 5)(x – 2) = 0. 因此，有 x + 5 = 0 或 x – 2 = 0. 所以原方程的根是 x1 = – 5，x2 = 2. 十字相乘法 知识点一：因式分解法解方程 因式分解法的基本步骤： 一移--------方程的右边=0； 二分--------方程的左边因式分解； 三化--------方程化为两个一元一次方程 四解--------解出方程两个解 归纳总结 简记： 右化零左分解 两因式各求解 2、下列方程用因式分解法解答正确吗？ 如果不正确请改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18 解：原方程化为： (x-5)(x+2)=18 ① 由x-5=3,得x=8 ② 由x+2=6,得x=4 ③ 所以原方程的解为 互学 知识点二：因式分解法的应用 巩固练习 (1) x2-2x=0 ∴ x＝0 解： 或 x-2=0 ∴ x1=0， x2=2 因式分解，得 x(x-2)=0 例 用因式分解法解下列方程. 利用因式分解法解一元二次方程的条件是： 方程左边易于分解， 右边等于零 知识拓展 (2) x2=x ∴ 因式分解，得 x (x-1)＝0 x＝0 解： 或 x-1=0 ∴ x1=0， x2=1 移项，得 x2-x=0 巩固练习 例 用因式分解法解下列方程. (3) (x+4)(x-1)=6 ∴ 因式分解，得 (x-2)(x+5)＝0 x-2=0 解： 或 x+5=0 ∴ x1=2， x2=-5 整理，得 x2+3x-10＝0 (4) x2-5x+6＝0 ∴ 解：因式分解，得 (x-2)(x-3)＝0 x-2=0 或 x-3=0 ∴ x1=2， x2=3 3.用适当的方法解下列一元二次方程 （1）（3x-2）²-49=0 （2)3x2-7x+2=0 解：（3x-2）²=49 3x-2=±7 ∴x1=3，x2= 解：a=3,b=-7,c=2 ∵b2﹣4ac=（-7）2-4×3×2=25＞0 ∴带入求根公式得 x= ∴x1=2，x2= （3) 4y=1- y² （4）(x+1)(x+2)=6 解：y2+4y=1 y2+4y+4=1+4 （y+2)2=5 y+2= ∴y1=-2+ ，y2=-2- 解：x2+3x+2=6 x2+3x-4=0 （x-1）（x+4）=0 x-1=0或x+4=0 ∴x1=1 ，x2=-4 例 4 解方程： x2 = x. 分析：方程左右两边都有 x，可先移项，再用提公因式法分解因式. 解：移项、提取公因式，得 因此，有 x = 0 或 x – 1 = 0. 所以原方程的根是 x(x – 1) = 0. x1 = 0，x2 = 1. 方程两边同除以 x，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样做对吗？为什么？ 方程两边不能除以含有未知数的整式，否则会失根. 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 1 2 因式分解，将方程左边分解为一次因式相乘的形式. 3 将方程降次为两个一元一次方程的形式 mx + n = 0 (m ≠ 0) 4 解两个一元一次方程，求出方程的根. 提公因式法 公式法 十字相乘法 方法 巩固练习 ② 将方程的左边分成两个一次式的积的形式 用因式分解法解一元二次方程的基本步骤： ① 移项，将方程的右边化为 0； ③ 根据 a·b=0， 则 a=0 或 b=0， 将解一元二次方程 转化为 解两个一元一次方程； ④ 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次 方程的根. 右化零，　　　　 简记： 左分解， 两因式， 各求解 巩固练习 1、用因式分解法解下列方程. (1) (x-5)(x-6)=x-5 因式分解，得 解： 移项，得 (x-5)(x-6)-(x-5)=0 (x-5)(x-6-1)=0 ∴ 即 (x-5)(x-7)＝0 x-5=0 或 x-7=0 ∴ x1=5， x2=7 知识拓展 方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法. (1) x2-6x-7＝0 ∴ 解：因式分解，得 (x+1)(x-7)＝0 x+1=0 或 x-7=0 ∴ x1=-1， x2=7 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b); a2±2ab + b2 = (a±b)2; a2 - b2 = (a + b)(a - b). 感谢聆听! $