17.3一元二次方程根的判别式课件2025-2026学年沪科版数学八年级数学下册

沪科版-数学-八年级下册 第17章 一元二次方程及其应用 17.3 一元二次方程根的判别式 1 导入新课 1.平方根的性质是什么？ 答：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 2.解下列方程： (1)x2－3x＋2＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)x2＋3＝0. 解：(1)(x－2)(x－1)＝0，x1＝2，x2＝1； (2)(x－1)2＝0，x1＝x2＝1； (3)∵x2＝－3，∴x取任何数，其平方都不为负数，此方程无解． 3.思考：一元二次方程根的情况有几种？ 答：有三种．有两个不等根；有两个相等根；无实根． 知识模块　一元二次方程根的判别式 探究新知 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. b2 – 4ac 的值有三种情况： ① b2 – 4ac > 0 ② b2 – 4ac = 0 ③ b2 – 4ac < 0 (x+)2= ① 当 b2 – 4ac > 0 时，＞0 因此，方程有两个不相等的实数根： (x+)2= x+= x1＝，x2＝. ② 当 b2 – 4ac = 0 时， = 0 (x+)2= x+= x1＝x2＝. ③ 当 b2 – 4ac < 0 时， ＜ 0 x 取任何实数都不能使(x+)2 ＜ 因此，方程没有实数根. (x+)2= (x+)2 ＜ b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即 Δ = b2 – 4ac. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由 b2 – 4ac 来确定. 归纳总结 一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中 Δ = b2 – 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. 此结论 反过来成 立吗？ 反过来也成立 例 用根的判别式判别下列方程根的情况： （1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y； （3）2x2 +x+1=0. 分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入判别式. 解：（1）因为 Δ = (–3)2 – 4×5×(–2) = 49 > 0， 所以原方程有两个不相等的实数根. （2）原方程可变形为 25y2 – 20y + 4 = 0. 因为 Δ = (–20)2 – 4×25×4 = 0， 所以原方程有两个相等的实数根. （1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y； （3）2x2 +x+1=0. 所以原方程没有实数根. （3）因为Δ =()2－4×2×1=－5＜0， 典例精析 范例1：下列方程没有实数根的是 ( ) A．x2＋4x＝10　　　　B．3x2＋8x－3＝0 C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12 仿例：当4c＞b2时，方程x2－bx＋c＝0的根的情况是( ) A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．没有实数根 D．不能确定 C C 范例2：一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是( ) A．m＞1　　B．m＝1　　C．m＜1　　D．m≤1 仿例1：已知一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k≥且k≠1 D C 仿例2：已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y＝(2m－3)x－4m＋7能否通过点A(－2，4)，并说明理由． 解：Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋2)＞0，∴m＞，把(－2，4)代入直线表达式得m＝＜，∴不经过． 练一练： 1. 用根的判别式判别下列方程根的情况： （1）2x2 – 5x – 4 = 0；（2）7t2 – 5t + 2 = 0； （3）x(x + 1) = 3； （4）3y2+25=10y. 解：（1）因为 Δ = (–5)2 – 4×2×(–4) = 57 > 0， 所以原方程有两个不相等的实数根. （2）因为 Δ = (–5)2 – 4×7×2 = – 31 < 0， 所以原方程没有实数根. （3）x(x + 1) = 3； （4）3y2+25=10y. （3）原方程可变形为 x2 + x – 3 = 0. 所以原方程有两个不相等的实数根. 因为 Δ = 12 – 4×1×(–3) = 13 > 0， 所以原方程有两个相等的实数根. 因为Δ =(－10y) 2－4×3×25=0， （4）原方程可变形为3y2－10y + 25=0. 2. 已知关于 x 的方程 x2 – 3x + k = 0. k 取何值时，这个方程： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：根据题意，得 Δ = (–3)2 – 4×1×k = 9 – 4k. （1）若方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0. 所以 9 – 4k > 0. 解得k＜. 即当k＜时，方程有两个不相等的实数根. （2）若方程有两个相等的实数根，则 Δ = 0. 所以 9 – 4k = 0. 解得k =. 即当k =时，方程有两个相等的实数根. （3）若方程没有实数根，则 Δ < 0. 所以 9 – 4k < 0. 解得k ＞. 即当k ＞时，方程没有实数根. 随堂练习 1. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根，则 b2 – 4ac 满足的条件是（ ） A. b2 – 4ac = 0 B. b2 – 4ac ＞ 0 C. b2 – 4ac ＜ 0 D. b2 – 4ac ≥ 0 D 2. 已知一元二次方程：① x2 + 2x + 3 = 0，② x2 – 2x – 3 = 0. 下列说法正确的是（ ） ①②都有实数解 ①无实数解，②有实数解 ①有实数解，②无实数解 ①②都无实数解 B 3. 用根的判别式判别下列方程根的情况： （1）16x2 – 24x + 9 = 0；（2）3x2 + 10 = 2x2 + 8x； 解：（1）因为 Δ = (–24)2 – 4×16×9 = 0， 所以原方程有两个相等的实数根. （2）原方程可变形为 x2 – 8x + 10 = 0. 所以原方程有两个不相等的实数根. 因为 Δ = (–8)2 – 4×1×10 = 24 > 0， （3）2x2 －3x－ = 0 ；（4）x2 －x+9=0. 所以原方程有两个不相等的实数根. （3）因为Δ = (－3)2－4×2×(－)=21＞0， 所以原方程没有实数根. （4）因为Δ = (－)2－4×1×9=－4＜0， 4. 无论 p 取何值，方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 总有两个不相等的实数根吗？说明你的理由. 解：原方程可变形为 x2– 5x + (6 – p2) = 0. 所以 Δ = (–5)2 – 4×1× (6 – p2) = 1 + 4p2 因为 4p2 ≥ 0，所以 1 + 4p2 ≥ 1 > 0. 所以无论 p 取何值，Δ > 0 都成立，即方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 有两个不相等的实数根. 5. 求证：关于 x 的方程 x2 + (2k + 1)x + k – 1 = 0 有两个不相等的实数根. 证明：根据题意，得 Δ = (2k + 1)2 – 4×1×(k – 1) = 4k2 + 5. 因为 4k2 ≥ 0，所以 4k2 + 5 ≥ 5 > 0. 所以无论 k 取何值，Δ > 0 都成立，即方程 x2 + (2k + 1)x + k – 1 = 0 有两个不相等的实数根. 6. k 取什么值时，关于 x 的方程 4x2 – (k + 2)x + k – 1 = 0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根. 解：根据题意，得 Δ = (k + 2)2 – 4×4×(k – 1) = k2 – 12k + 20. 因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ = 0. 所以当 k 取 10 或 2 时，方程 4x2 – (k + 2) x + k – 1 = 0 有两个相等的实数根. 即 k2 – 12k + 20 = 0. ① 当 k1 = 10 时，原方程为 4x2 – 12x + 9 = 0. 将方程左边分解因式，得 (2x – 3)2 = 0. 开平方，得 2x – 3 = 0. 所以原方程的根是x1＝x2＝ ② 当 k2 = 2 时，原方程为 4x2 – 4x + 1 = 0. 将方程左边分解因式，得 (2x – 1)2 = 0. 开平方，得 2x – 1 = 0. 所以原方程的根是x1＝x2＝ 4. 关于 x 的一元二次方程 (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 有实数根，求 m 的取值范围. 解：根据题意，得 Δ = (–2m)2 – 4×(m – 1)×m = 4m. 因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0. 所以当 m ≥ 0 且 m ≠ 1 时，一元二次方程 (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 有实数根. 即 m ≥ 0. 又因为方程为一元二次方程，所以 m – 1 ≠ 0. 解得 m ≠ 1. 课堂小结 b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即 Δ = b2 – 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根. $