湖北武汉市第十五中学2025-2026学年高二下学期数学周考十三（五班）

**基本信息** 高中数学周测试卷，涵盖集合、概率、立体几何等知识，以汕头暴雨排水安排、出行方式调查等真实情境设计问题，突出数学应用与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|集合、复数、向量、概率|结合气象灾害情境（第4题）考查排列组合| |填空题|3题|等比数列、概率、导数几何意义|基础与能力结合，如第11题切线综合| |多选题|3题|正态分布、解三角形、统计|多角度辨析，如第14题考查独立性与回归| |解答题|5题|解三角形、统计回归、立体几何、概率分布、导数|分层设计，如第16题含独立性检验与回归预测，第19题导数单调性与极值证明|

周考十三（五班） 一、选择题 1．已知集合,,则(      ) A. B. C. D. 2．复数的实部与虚部的和为(      ) A. B. C. D.3 3．已知向量在上的投影向量的坐标为,,则(      ) A. B. C. D. 4．根据汕头市气象灾害风险提示,5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式,城乡积涝和质灾害风险极高,全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队）,其中甲、乙施工队不在同个易涝路口,则不同的安排方法有(      ) A.86 B.100 C.114 D.136 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.75，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为不优良的概率是(      ) A.0.85 B.0.8 C.0.2 D.0.15 6．袋子中有大小相同5个球,标号为0的球1个,标号为1、2的球各两个,从中任取2个,已知有一个标号为1,求另外一个标号也为1的概率(      ) A. B. C. D. 7．如图,某建筑物的高度,一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为,地面某处A的俯角为,且,则此无人机距离地面的高度为(      ) A. B. C. D. 8．已知,则(      ) A. B.1792 C. D.5376 二、填空题 9．已知等比数列{an}的前n项积为,若则__________ 10．袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则_____________. 11．若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则________. 三、多项选择题 12．若随机变量服从正态分布,则,现已知两个随机变量,,则(      ) A.B. C. D. 13．在中,内角所对的边分别为,则(      ) A.若,则 B.若C为钝角,则 C.当时,若,且是钝角三角形,则 D.若,则满足条件的三角形有两个 14．下列说法正确的是(      ) A.若随机变量满足：,,则相互独立 B.已知随机变量,若,则. C.在线性回归分析中,样本相关系数r的值越大,变量间的线性相关性越强 D.一组数据,,,,的经验回归方程为,则当时,残差为1 四、解答题 15．在中,角的对边分别为. （1）若,求A; （2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围. 16．飞机与高铁是人们远距离出行的两种方式,交通大学某班学生为了调查人们选择的远距离出行方式是否与年龄相关,随机抽取该市1000名市民进行调查,得到如下列联表：     低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100         选择高铁出行     300     总计 500     1000 (1)补全表中数据,依据小概率值的独立性检验,是否能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联? (2)调查小组统计高铁站某处今天的客流量,从开始,每小时作为一个时间段（为第1个时间段,为第2个时间段,……）,得到如下数据： 时间段x 1 2 3 4 5 客流量y（千人） 1 1.5 2.5 3 3.5 若y与x线性相关,建立每个时间段客流量y与时间段x的经验回归方程,并预测的客流量. 附：,其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 对于一组数据,,…,,其经验回归方程的斜率,. 17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,平面ABCD,且,点E为线段PD的中点. （1）求证:平面AEC; （2）求证:平面PCD; （3）求三棱锥的体积. 18．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及均值. 19．已知函数,． (1)若,求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调增区间； (3)若存在极大值点,求证：． 参考答案 1．答案：D 解析：. 2．答案：D 解析：由可知:实部为2,虚部为1,故和为3. 3．答案：B 解析：. 向量在上的投影向量为,投影向量为,且. 可知投影向量与共线,即,解得. 因此,代入,得. 4．答案：C 解析：若将5个施工队分成3组,则有如下两种情况, 第一种,按照3,1,1模式分组,则有种分组方法, 第二种,按照2,2,1模式分组,则有种分组方法, 所以将将5个施工队分成3组,共有种分组方法, 其中,如果甲、乙施工队和另外一个队构成一个组,则有种分组方法, 如果甲、乙施工队单独构成一个组,则有种分组方法, 所以将甲、乙两个施工队放在一个组,共有种分组方法, 所以将5个施工队分成3组,甲、乙两个施工队不在一个组的分组方法有种, 现将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口,则有种安排方法, 所以符合题意的安排方法共有种. 故选:C. 5．答案：C 解析：设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B， 依题意，，，则， 即某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率0.8， 所以某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为不优良的概率是0.2. 6．答案：C 解析：记取出的2个球中,有一个标号为1为事件A,另一个标号为1为事件B, 则,, 则. 7．答案：B 解析：由题意,在中,,,所以. 在中,,, 所以, 由正弦定理,. 又为等腰直角三角形,所以. 故选项B正确. 8．答案：D 解析： , 所以 故选:D 9．答案：/0.25 解析：设等比数列{an}的公比为q, 由可得, 即,则得,因,则, 于是. 10．答案：1 解析：由取出的两个球都是红球的概率为, 根据题意可得：, 解得：或（舍去）, 再由一红一黄的概率为,可得：, 所以,即, 故答案为：1. 11．答案：2 解析：由,则,则在点处的切线的斜率为, 所以切线方程为,即, 设切线与曲线的切点为, 又,得, 则切点处的斜率必为1,且切点在切线上, 则,解得, 所以. 12．答案：AD 解析：由于,正态分布的均值,正态曲线关于直线对称,因此,故A正确; 由于,,,因此,故B错误; 由于,,,因此,故C错误,D正确. 13．答案：ABD 解析：对A：由题意可得,又在上单调递减, 若,则,故A正确； 对B：若C为钝角,则,故, 故,故B正确； 对C：由,则,故, 设,则,,, 故, 即,化简得, 则,又,有,则,故C错误； 对D：由余弦定理可得, 即,解得, 即c有两解,故满足条件的三角形有两个,故D正确. 故选：ABD. 14．答案：ABD 解析：A选项,,, 故,即,则相互独立,A正确； B选项,由正态分布曲线的对称性可知,和关于对称, 故,B正确； C选项,r的绝对值越大,变量间的线性相关性越强,故C错误； D选项,,, 故数据,,,,的样本中心点为, 将代入中得,解得, 所以经验回归方程为,当时,,故残差为,D正确. 故选：ABD. 15．答案：（1） （2） 解析：（1）已知,且,因此, 由正弦定理,结合得, 即,展开 , 因为,,所以, 又因为,故,所以可得,即, 因此. （2）已知,,由正弦定理, 可得:,又, 再由正弦定理,则, 故三角形的周长: 因为为锐角三角形,三个角均为锐角: ,可得,即, 所以. 16．答案：(1)表格见解析,与年龄有关联 (2),客流量约为4.25千人 解析：(1)列联表如下：     低于40岁 不低于40岁 总计 选择飞机出行 100 200 300 选择高铁出行 400 300 700 总计 500 500 1000 零假设为：市民选择的远距离出行方式与年龄没有关联. 由列联表中的数据, 得. 依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立, 所以能够认为市民选择的远距离出行方式与年龄有关联. (2),, 所以, , 所以每个时间段客流量y与时间段x的经验回归方程为. 当时,, 所以预测的客流量约为4.25千人. 17．答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 解析：（1） 连结,交于点O,连结, O是正方形对角线交点,O为的中点, 由已知为线段的中点,, 又平面,平面, 平面; （2）,E为线段的中点,, 平面,平面,, 在正方形中,,又,,平面, 平面,又平面, ,又,,平面, 平面; （3）平面,三棱锥的体积. 18．答案：（1）0.5 （2）0.8 （3）分布列见解析， 解析：设事件A表示“进入商场的1名顾客购买甲、乙两种商品中的一种”， 事件B表示“进入商场的1名顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”， 事件表示“进入商场的1名顾客购买甲商品”， 事件表示“进入商场的1名顾客购买乙商品”， 依题意，有，. （1） ， 所以进入商场的1名顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率是0.5. （2）， 所以进入商场的1名顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率是0.8. （3）依题意，随机变量的所有取值为0，1，2，3. 所以， ， ， . 综上，可得的分布列如下表： 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以. 19．答案：(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 解析：(1)若,则,,, 曲线在处切线的斜率, 曲线在处的切线方程为； (2),定义域为, , 当时,令,得或, 函数的单调增区间为和； 当时,,函数的单调增区间为； 当时,令,得或, 函数的单调增区间为和． 综上,当时,函数的单调增区间为和； 当时,函数的单调增区间为； 当时,函数的单调增区间为和； (3)当时,函数在和上单调递增,在上单调递减, 的极大值为； 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减, 的极大值为, ,,,； 当时,在单调递增,此时无极值,不合题意； 综上,若存在极大值点,则． 学科网（北京）股份有限公司 $