湖北省十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期数学周考试卷(3)

郧阳中学2024级高二下学期数学测试题（3) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知双曲线贮-之 芳-号=1，则顺点到渐近线的距离为() A智 B.6 3 c D.7 2.已知直线l:2x+y+n=0,2:4x+my-4=0互相平行，且4,2之间的距离为V5,则m+九=() A.-3或3 B.-2或4 C.-1或5 D.-2或2 3.直线y=5x+是曲线y=x3+2x+1的一条切线，则实数6-（) A.-1或1 B.-1或3 C.-1 D.3 4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'()的图象如图所 示，则下列结论中一定成立的是() A.f(x)有极大值f(-2) B.f(x)有极小值f(-2) C.f()有极大值f(1) D.f()有极小值f(1) 5.已知数列{an3是等差数列， =则赔=() A品 B时 c D号 6.已知数列{an}满足：41=1，a2=3,a+2+an=2an+1+1,数列{bmnJ满足2abn=1,则数列{bnJ的前50项 为() A贸 B品 c器 D.50 7.已知函数f=axe*-lx-x+1,则“a之君是“f在[1，+o)上单调递增”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果假设电商平台 给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为品从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的相 若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为号，记第m次推送时不购买此商品的概率为P。,当m≥2时， 恒成立，则M的最小值为() A器 B器 二、多选题：本题共3小题，共18分。 9.在数列(anJ中，下列结论正确的是() A若数列[aJ的前n项和Sn=n2+1,则an=2n-1 B.若a1=1,且an+1+an=2,则an=1 C若a4=1,且22=则a=月 an D.若a1=1,a2=2,且an+2=3an+1-2am,则an=2-1 10.若实数x,y满足(x-2)2+y2=1,则() A多s号 B.(x-2y≤号 C.2x+y≤5 D.13x+4y+10|≤21 11.己知数列〔aJ的前n项和为S,且an=cos,bn=n2,Cn=anbn,nE,则下列选项正确的是() A.S15=0 B7=品 C.若pn=c3n-2+c3m-1十c3m,则n为等差数列 D.∑201cn=470 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{a的前n项和Sn=n2+1,则数列[an3的通项公式是 13.双曲线号-景=1Q>0,b>0)的左、右焦点分别为P1、2,P是双曲线右支上一点，且直线P,的斜率为2， △PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为一， 14画法几何的创始人-一法国数学家蒙日发现：椭圆C:兰+苦=10>b>0)的任意两条互相套直的切线的交点都 在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆， 其方程为x2+y=2+2,已知椭圆C的离心率为5，点，B均在椭圆C上，则动点A与椭圆C的蒙日圆上任意 一点的距离最小值为（用含b的式子表示）；若b=1,椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MA1MB,则AB的耶 值范围为一一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3),B(3,3)两点. (1)求圆C的方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0),点2满足PM=3QM,求点2的轨迹. 共2页 16.已知等比数列{a的前n项和为S,数列是公差为1的等差数列，且a4=2b1,a4-a2=12,S4+2S2=3S3 (1)求数列[an},{bn的通项公式； (2)设cn= fnm+2可n为奇数， 2 n为偶数，nE7,为C的前m项和，求T 2 17.如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C,D为底面圆周上的点，且△BCD是正三角形，E为母 上的一动点. B (1)若PA//平面CDE,求PE的长； (②)若直线DB与平面BCD所成角的正弦值为求平面CDE与平面BCD夹角的余弦值， 18.已知函数f(x)=e*+ax2一ax,g()=cosx,其中实数a>0,e为自然对数的底数。 (1)当a=1时，求函数f(x)在x=0处的切线方程； (2)若f(x)≥g(x)恒成立，求a的值。 19.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线， 双曲线兰-发=1与椭圆C是“姊妹”圆锥曲线，e,e2分别为E和C的离心率，e1e2=平 4 (1)求椭圆C的方程， (2)试确定m的取值范围，使得椭圆C上有两个不同的点关于直线y=4x+m对称； (3)若A,B是椭圆C上的两动点(A,B两点不关于x轴对称)，O为坐标原点，OA,OB的斜率分别为k1,飞2 在非零常数入，使得k1·k2=2时，△AOB的面积S为定值？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.高二下数学测试题（3)答案解析 1.【答案】C【解析】解：由双曲线号-号=1可得渐近线方程为y=士，上项点坐标为0,3)， 所以顶点到近线的距离为1“品=学。 2.【答案】A 【解析】解：由2m-4=0,解得m=2.满足l1/l2, 2的方程为2x+y-2=0,有老=是V5,则m+21=3,解得n=1或-5，故m+n=士3. 3.【答案】B 【解析】解：设切点M(m,n),y=3x2+2,则3m2+2=5,解得m=1或m=-1; 若m=1,则n=5+b=13+2×1+1=4→b=-1; 若m=-1,则n=-5+b=(-1)3+2×(-1)+1=-2→b=3;综上所述，b=-1或3， 4.【答案】A 【解析】解：由函数y=(1一x)f'(x)的图象可知， x>1时，(1-x)f′(x)>0,1-x<0,则f′(x)<0; -2≤x<1时，(1-x)f′(x)<0,1-x>0,f1(x)<0; x<-2时，(1-x)f′(x)>0,1-x>0,f'(x)>0. 函数f(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递减.·f(x)有极大值f(- 5.【答案】4【解析】解：。=京得56=3S3,设S=m,m为非零实数，则S6=3m, 因为数列{a是等差数列，所以S3,S6-SSg-S6,S2一Sg,,是以m为首项，m为公差的等差数列， 所以5，-6=3mS2-S=4m,解得S,=6mS2=10m,所以票=疆=品 6.【答案】A【解析】解：由an+2+an=2an+1+1有an+2-an+1=an+1-an+1,令cn=an+1-an,则cn+ 所以数列{cn}是以c1=2-a1=3-1=2为首项，1为公差的等差数列，故cn=2+(n-1)×1=n+ 即a+1-a=n+1,故ah=(a-an-1)+(an-1-an-2)+…+(ag-a2)+(a2-at)+a1 =n+m-1)+饥-2)+…+3+2+1=n+型，当n=1时，符合题意，即a= 2 2 1 11 又由2a·bn=1有bn=2n=nm+五=元t1 设数列b,3的前n项和为，To=4+b2+…+bs=1-+号-+…+品-京=1-京=碧。 7.【答案】C【解析】解：f(x)=axe-lnx-x+1=aenx+x-Inx+x)+1 设t=lnx+x,x≥1，易知t=lnx+x在[1，+o)上单调递增，则t≥1， y=ae-t+1,t≥1，由复合函数的单调性法则：同增异减，可得： 要使f(x)在[1，+oo)上单调递增，只需y=ae-t+1在t≥1上也单调递增， 即y=ae-1≥0对任意t≥1恒成立，即a≥对任意t≥1恒成立， 即a≥（食）x=台由于条件也是“a之”，所以“a≥}”是“f在1，+0)上单调递增”的充要条件 8.【答案】A【解析】解：由题意可知：第n次推送时不购买此商品的概率： P,=（1-)P1+(1-)1-P-0=若P-1+是即P,-是=(P-1-)又因为P1=1-是=是 所以.-是以P,-是=为首项，公比为号的等比数列，既有P,一品=x,即P,=×偏)+品 当n之2时，卫.=×（信+品单调递减，所以P=×(+品-品 所以当m≥2时，P≤M恒成立，则M的最小值为品 9.【答案】BCD【解析】解：A选项：由已知Sn=n2+1,当n=1时，a1=S1=2, 2,n=1 当n≥2时，a,=Sm-S-1=2+1-0m-12+1]=2m-1,综上所述，4={2n-,≥2A选项错误： B选项：由已知a+1+a=2,则an+2十an+1=a++an=2,即an+2=an,又a1=1,a2+a=2,即a2=1, 所以当n为奇数时，an=1,当n为偶数时，an=1,综上所述，a=1,B选项正确； C选项：=品则当n之2时，。产=丹=号导=分等式左右分别相乘可得号=克 又a☑=1，则an=是又a1=1满足上式，故a=是C选项正确； D选项：由己知an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an), 可知数列{a+1-anJ是以a2-a1=1为首项，2为公比的等比数列，即a+1一a=2m-1, 则当n之2时，an-an-1=2m-2,an-1-an-2=2m-3,,2-a41=2°， 等式左右分别相加可得4-4=2-2+2-3+…+20=2-2=2-1-1， 1-2 又1=1，则an=2m-1,又a1=1满足上式，故a=2-1,D选项正确； 10.【答案】ABD【解析】解：如图：(x-2)2+y2=1是以(2,0)为圆心，1为半径的圆. 【.共4页 对于4，兰=号表示圆x-2P+y2=1上的点与坐标原点连线的斜率， 而0C=2,CD=1,则易得∠D0C=客 由图象知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是[-引，故tan(一君s≤tan管 即-号s兰s号放A正确： 对于B,由(-2)2+y2≥2x-2y蜘，x-2y≤2》 当且仅当x=2+竖y=受或x=2-号y-受时取“=”，故B正确： 对于C,设2x+y共t,则直线2x+y-t=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点， 所以≤1，解得4-5≤t≤4+V5,所以2x+y≤4+5，故C错误： 对于D,13x+4y+101=53x+y+10 5 圆上的点到直线：3x+4y+10=0的距离的5倍的最大值等于圆心到直线的距离加半径的5倍， 眼7器×5+1×5=21，故D正确 1.【答案】4CD【解析】解：对于4，因为0g-2=6os2-2=cos(2m-智)=6o9誓=-c0s号=-nEn, 3 同理可得agn-1=-是agn=1,nE,所以agm-2+ag-1tagn=0,n∈W, 所以S15=(a1+a2+a3)+…+(a13+a14+a15)=0,故A正确； 对于B,7=94=0,传-动)=1-+经++结-音=1-京=品nem,故8罐 误； 对于C,p=c3m-2+c3m-1+c3n=-3m-22-3m-1)2+(3m2=9n-多neN, 所以pm1一p=9m+1)-号-(9n-)=9,nEN,所以p,l为等差数列，故C正确； 对于D,由C可知P为等差数列，首项为号，公差为9， 所以数列0,3的前10项的和为：T10=10×号+09×9=470， 所以01Cn=(G1+c2+c3)+…+(c28+c29+c30)=p1+p2+…+p10=T10=470,故D正确. 12.【答案】a.=n-1,n≥2，neN心 2,n=1 第2] 【解析】解：当n之2时，Sm-1=(n-1)2+1=2-2n+2, 所以an=Sm-Sm-1=2n-1(n≥2)，当n=1时，a1=S元=1+1=2，不满足上式， 2,n=1, 所以a={2n-1,n>2,neN", 13.【答案】号-若=1 【解析】解：由题意可知点P在第四象限，∠F1PF2=90,因为直线PP2的斜率为2，所以tan2PFaF:=25 设IPF2l=m,lPP=n(m>0,n>0),则tanzPF2F1=杂=2，则n=2m, 因为△PFF2是面积为8的直角三角形，所以号mn=8,解得：m=2VZ,n=4WZ, 由双曲线的定义可知：m-n=2a,所以a=√2，又m2+n2=4c2,所以c=√10，所以b=yc2-a2=2W2, 所以双曲线的方程为：号-苦=1 14.【答案】(2-V3b[1,3] 【解折】解：因为椭圆C号+发=1，共离心率e=行号则e2=三=1-兰=导所以a=V3动， 故该椭圆的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2=4b2,其半径为2b, 由于原点O到蒙日圆上任意一点的距离为2b,原点0到椭圆上任意一点的距离最大值为a, 故椭圆C上的点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为2b-a=(2-√3)b; 若6=1，则椭圆C的方程为号+2=1，即2+32=3，蒙日圆方程为x2+y2=, 不妨设M(xo,yo),因为其在蒙日圆上，所以x好+y=4,设A(x1y1),B(x2,y2), 又MA⊥MB,由蒙日圆的性质，MA,MB与椭圆相切，A、B分别为切点， 故直线MA的方程为x1x+3y1y=3,直线MB的方程为x2x+3y2y=3, 将Mxo,o)代入MA,MB的直线方程中可得化十3Y0=3, x2x0+3y2y0=3' 所以直线4B的方程为x0x+3yy=3,将其与椭圆C的方程联立ox十3Y0-3, {x2+3y2=3' （,共4页 消去y得（号+3）2-6x0x+9-9y%=0,则有4+2=中31红 6x0 9-9y6 x+30房1 所以AB1=√1+() /+-4k=+9%8.66+33-3 3lyol x始+3y6 2(1+2y62_4y6+2_4y6+2)-6 6 2+y哈 y6+2 =4 y6+2 4-y6+2 %e[-22,“%∈0，刻即%+2∈1，“2e层引故AB1=4-2∈，3 1 15.【答案】解：(1)因为圆C过A,B两点，所以圆心C在线段AB的垂直平分线上. 因为A(1,3),B(3,3),所以线段AB的中点为(2,3)，直线AB的斜率k4B=0, 所以线段AB的垂直平分线斜率不存在，方程为：x=2. 因为圆C的圆心在x轴上，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点为圆心，所以圆心为C(2,0), 又半径r=14C1=√10，所以圆C的方程为：(x-2)2+y2=10. (2)设Qx,y),P(xoyo).由PM=3QM,得(8-x0,-y0)=3(8-岁，-y), 所以8-524-3%即=3x-16, -y0=-3y,即(y0=3y. 因为点P(xo,y0)在圆C上，所以(x0-2)2+y=10,所以(3x-18)2+(3y)2=10, 化简整理得0的轨迹方程为：(x-62+2=号 所以点卫的轨迹是：以(6,0)为圆心，为半径的圆。 16.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为.q,则由a4-a2=12,S4+2S2=3S3,可得a1q3-a19=12,S4-S3 2(S3-S2),即a4=2ag,则q=告=2，将g=2代入a193-a49=12,解得a=2,所以a=2",因为2b1=a4=2 所以b:=1,则是以=1为首项，1为公差的等差数列，所以=m,故b=2. (2)cn={ 0+②n为奇 所，n为偶戴 2 n∈N,即为c%=+,n为奇 n∈N*,则 `21-n,n为偶数 Tm=a+cs++c-0+(e+e4++ce）=[品+头+…+2n-at+侵+++z高)=- 吉+号++点)+空-动+0-别-名-景云 1- 17.【答案】解：(1)取直径AB的中点O,连接PO, 在底面圆所在平面内作0x⊥AB,直线0x,OB,OP两两垂直， 以O为坐标原点，以直线0x,0B,0P所在直线分别为x,yz轴， 由△PAB,△BCD都是正三角形，AB=2,得A(0,-10),B(0,10),P0,03,D(号，-0，C(-号.-0)， 令ABOCD=R,则F(O,-,O),由PA/平面CDE,平面PABn平面CDB=EP,PAc平面PAB, 所以PA/ER,因此唱=铝PB=AF=克所以PB的长号 (2)由(1)知PB=(0,1,-√3)，设P弦=tPE=(0,t,-V3t),0≤t≤1，则E(0,t,√3-√3)， 元=(-号，t+,V3-V3到，平面8CD的法向量元=(0,01)，由直线DE与平面BCD所成角的正弦值为0， 得Q0呢==二器=爱整理得出-5+2=0，又0s1≤1，每得=分 于是D正=(-号，1号)，而c西=(W30,0),设平面CDE的法向量元=化，y2),则 .C而=√3x=0 .i=-竖x+y+9=0 令z=2,得x=0y=-3,故平面cDE的一个法向量为城=(0-3,2)，因此c0s佩动=高赢=号=织 7 所以平面CDB与平面BCD夹角的余弦值为2Y7. 18.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e*+2x-1,f′(0)=0且f(0)=1, 切线的方程为y一1=0 (2):f(x)≥g()恒成立，·e*+ax2-ax-cosx≥0恒成立，令h(x)=e*+axr2-ax-cosx, h (x)=e*+2ax-a+sin x,)=h (x),o (x)=ex+2a+cosx,h()=0,h (0)=1-a, ①当a>1时，p'(x)=e+2a+cosx>0,则hx=e*+2ax-a+sinx在R上单调递增， h(O)=1-a<0,h(1)=e+sin1+a>0,且函数在在R上连续不间断，则存在xo∈(0,1)，使得h(xo)=0, 当x∈(0，xo),h(x)<0,函数h(x)单调递减，h(x)<h(O)=0,不合题意； ②当a=1时，h(x)=e+x2-x-cosx,则h()=e*+2x-1+sinx,令p(x)=h(x) p′(x)=e*+2+cosx>0,则h(x)=e*+2x-1+sinx在R上单调递增， 又h(0)=0,则当x<0时，h(x)<0,函数h()单调递减； 当x>0时，h(x)>0,函数h(x)单调递增；所以函数h(x)在x=0处取得极小值f(O)=0 于是e+ax2-ax-cosx≥0恒成立，符合题意； ③当0<a<1时，p′(x)=e*+2a+cosx,在(-1,0)上单调递增， 则p'(x)>e-1+2a+cos(-1)>0,则h'(x)在(-1,0)上单调递增， 共4页 又h(0)=1=a>0,片(-1)=日-sim1-3a<是-克-3a<0则存在x∈（-1,0)，使得h() 且当x∈(x1,0),h(x)>0,函数(x)单调递增，h(x)<h(0)=0,不合题意； 综上所述：a=1. 19.【答案】解：()已知双曲线号-兰-1，由“姊妹”圆锥曲线的定义， 可设椭圆8的方程为+发=12>b>0, 则2=x空-平，整理得（4+6的4-的=15，解得6=1， 2 2 韩圆C的方程为号+y2=1 (②)设椭圆C:兰+2=1上M(,,NK22,两点关于直线y=4红十m对称， 设W的中点为Q(Gxa,yo),则kww=-子 因为点M,N在椭圆上，所以 俘+好=1 +=1 两式相减名汤粉=一幸 又因为x1+为=2x0,1+2=20,所以(-×治=-脚%=0，所以Q(0,x0), 叉因为点2在直线=4x+m上，所以x=4+m,即为=-空，所以Q(-贺，-驾) 因为点0在椭圆C:学+y2=1内部，所以学+(-罗)<1， 得m<65,即-S<m<5. 5 所以m的取值范围为（一65,6一）。 (3)结论：存在非零常数，使k1·k2=2时，△A0B的面积S为定值. 设存在这样的常数1，使k1·飞2=λ时，S为定值. 设直线4B的方程为y=x+t,且直线AB与号+y2=1的交点坐标分别为4(ay),B4,y, :k1k2=g=入，x3x4-y3y4=0,x3x4-(k3+t0(kx4+t)=0, X3X4 :(2-)x3x4+kt(3+x4)+t2=0. （y=kx+t 径程+P=1'得1+4的2+8x+4-4=0, 联立x2 由市达定理，可得+4=能= 1+4k2 4t2-4 -8kt ǎ02-04+cs+w+=(2-刀1+42+t1+4较+2 =422-4n2-4t2+4-8k2t2+2+422=L-4)2-4+42=0, 1+42 1+4k2 即(1-4)2-4k2+4=0,因此t2=42- 1-42 点0到直线48的距离为d=,场-=√西+对--中子 1+4k2, s=分r48d=登7品微V牛g-刻=2t2-4 1+4k2 ·器- (1+4k2)2 (1+42)1 _（1+4242-421-42)-162-为2=-64k4+(6412+4)k2-4机 1 (1+4k2)(1-4)2 16k4+8k2+1 (1-4)2 要使得△A0B的面积S为定值，只需答=4=华得-4认=822+号 8 即162+81+1=(41+1)2=0，解得1=- 此时(2=-4以a=1'克=录即S=1, 故存在非零常数2=一使得k1·2=-时，△A0B的面积S为定值1 页，共4页 郧阳中学2024级高二下学期数学测试题(3) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知双曲线 则顷点到渐近线的距离为( ) A. B. C. D. 2.已知直线l₁: 2x+y+n=0, l₂: 4x+ my-4=0互相平行,且l₁, l₂之间的距离为 则 m+n=() A.-3或3 B.-2或4 C.-1或5 D.-2或2 3.直线y=5x+b是曲线 的一条切线，则实数b-() A.-1或1 B.-1或3 C.-1 D.3 4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A. f(x)有极大值f(-2) B. f(x)有极小值f(-2) C. f(x)有极大值f(1) D. f(x)有极小值f(1) 5.已知数列是等差数列， 则 A. B. C. D. 6.已知数列满足: 数列满足 则数列的前50项为( ) C. B. D.50 A. 7.已知函数 则 是“f(x)在[1,+∞)上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为 ，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 ，记第n次推送时不购买此商品的概率为 Pn，当n≥2时，恒成立，则M的最小值为( ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题：本题共3小题，共18分。 9.在数列中，下列结论正确的是() A 若数列的前n项和 则 B.若 且 则 C.若 且 则 D.若 且 则 10.若实数x,y满足 则( ) A. B. C.2x+y≤5 D.|3x+4y+10|≤21 11.已知数列{an}的前n项和为 Sn,且 则下列选项正确的是( ) A. S₁₅=0 B. C.若 则为等差数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列的前n项和 则数列的通项公式是 13.双曲线 的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线右支上一点，且直线PF₂的斜率为2，△PF₁F₂是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 . 14.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆 的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其方程为 已知椭圆C的离心率为 点A，B均在椭圆C上，则动点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 (用含b的式子表示)；若b=1，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足MA⊥MB，则|AB|的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知圆C的圆心在x轴上,并且过A(1,3), B(3,3)两点. (1)求圆C的方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足 求点Q的轨迹. 学科网（北京）股份有限公司 16.已知等比数列 的前n项和为 数列 是公差为1的等差数列，且 (1)求数列 的通项公式； (2)设 为奇数，n∈N+, Tn为的前n项和,求T₂n. 17.如图，圆锥的轴截面 PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且 是正三角形，E为母上的一动点. (1)若PA//平面CDE,求PE的长; (2)若直线 DE与平面BCD所成角的正弦值为 求平面CDE与平面BCD夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 18.已知函数 其中实数a>0,e为自然对数的底数。 (1)当a=1时，求 函数f(x)在x=0处的切线方程； (2)若 恒成立，求 a的值。 19.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.双曲线 与椭圆C是“姊妹”圆锥曲线， 分别为E和C的离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)试确定m的取值范围，使得椭圆C上有两个不同的点关于直线y=4x+m对称； (3)若A，B是椭圆C上的两动点(A，B两点不关于x轴对称)，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为 在非零常数λ，使得 时， 的面积S为定值?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $