湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二下学期数学周考（10）

**基本信息** 以“幸福大食堂”好评率分析、李明年收入与电子产品花销预测等现实情境为载体，通过函数导数、概率统计、回归分析等知识的综合应用，考查数学建模与数据分析能力，体现用数学语言表达现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|函数导数、概率、排列组合|基础计算与概念辨析，如导数求值（题1）、相关关系判断（题4）| |选择题（多选）|3/18|统计案例、期望方差、函数性质|多角度考查知识综合，如线性相关与残差（题9）、概率期望计算（题10）| |填空题|3/15|切线方程、回归方程|基础与能力结合，如切线垂直求参数（题12）、双切线问题（题14）| |解答题|5/77|独立性检验、回归模型、函数零点、概率递推|情境化与综合性强，如食堂好评率独立性检验（题15）、导数零点与恒成立证明（题17、19）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 湖北曾都一中2025至2026学年高二下数学周考（10） 考试时间：18：30-20：30 2026.06.02 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．随机变量，，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（   ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 4．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（    ） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 5．根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% D．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 6．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 7．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 8．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C．回归直线方程为，则样本点的残差为0.1 D．一组数，，…，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变 10．小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为 B．在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为 C．当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18 D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为 11．已知函数．则下列结论正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数有极大值 D．函数在上的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ． 13．由样本数据，，，，，得到的回归方程，已知如下数据：，，，则实数的值为______． 14．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.“政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评． (1)完成上面：列联表，并依据小概率值的的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联； (2)现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16．随着科技的进步及人民生活水平的提高，人们对于智能化生活的需求逐渐增加.李明统计了他在2011年至2020年的年收入与他购买电子产品的花销的数据. 为了预测他在2021年年收入为20万元时，在电子产品上花销为多少，建立了关于的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对年收入做变换，令.则，且有，，，. (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； (2)分别利用这两个回归模型，预测李明年收入为20万元时的电子产品花销为多少百元？（结果保留两位小数）. 附：样本的最小二乘估计公式为，； 参考数据：，. 17．已知函数 ． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 18．为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，求证明：. 19．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有1个零点，求证：； (3)若在上恒成立，求正整数的最大值. 湖北曾都一中2025至2026学年高二下数学周考（10） 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D B D C D A B ABC ABD BC 12. 【答案】2 13．【答案】 14. 8.【详解】函数的定义域为．由，得，则不等式恰有1个整数解．设，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，又，所以当时，，当时，，易知为过原点的一条直线， 在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示．要使不等式恰有1个整数解，则，解得，即实数a的取值范围为. 14.函数在处的切线斜率为，则切线方程为， 函数在处的切线斜率为，则切线方程为， 即，由题意有①且②，故，， 从而，整理得， 所以，即.代入式②，得，即. 好评 非好评 合计 更换厨师前 400 1600 更换厨师后 3200 800 4000 合计 4400 5600 15．【答案】(1)列联表见解析，该食堂的好评率和更换厨师有关联(2)分布列见解析， 【解析】（1）由题可得列联表， 记零假设为：该食堂的好评率和更换厨师无关． 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该食堂的好评率和更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不超过． （2）由题可知，抽样调查的8位老人中， 好评的人数为人，非好评的人数为2人，则的可能取值为． x 1 2 3 P 而；；； 从而X的分布列为： 则数学期望． 16．【详解】（1）由题意，知，，可得， 又由， 则，所以，模型②中关于的回归方程..........7分 （2）当时，模型①的电子产品花销的预测值为（百元）， 当时，模型②的电子产品花销的预测值为 （百元）...........15分 17．【详解】（1）.由可得. 因为，所以当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为................7分 （2）由（1）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意；当时， 函数的最小值为， 且当时，，当时，， 因为有两个零点，所以，. 因为函数为上的增函数，且， 所以的解为.故当有两个零点， 的取值范围为.........15分 18．【答案】(1)处取得最大值，.(2)(3)证明见解析 【解析】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为.   所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. （2）已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为，所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. （3）已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为.那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次是乙投篮且投进，概率为. 所以.则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当为奇数时，，，单调递增，，且. 当为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 19.【答案】(1)的单调增区间为，减区间为(2)证明见解析(3)3 【详解】（1）当时，，，则，令，得，令，得，所以的单调增区间为，减区间为. （2）由，当时，由，得，所以，在上是单调增函数，且图象不间断，又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意.当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，，又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意．     综上所述，. （3）由在上恒成立，即， 由，则，对上恒成立，令，则， 设，则，所以在是单调增函数， 又，，所以存在唯一的实数，使得， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即， 所以，所以，又，，所以的最大值为3. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $