6.3三角形的中位线 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以“基础巩固-综合应用-探究拓展”分层设计，覆盖三角形中位线定义、性质及综合应用，通过梯度题型培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中位线定义及性质直接应用|单选1-5题、填空9-12题，如填空9直接考查中位线周长关系，强化概念理解| |中档|中位线与平行四边形、等腰三角形结合|单选6-8题、填空13-16题、解答17-21题，如解答18结合中位线与勾股定理，培养推理能力| |提升|中位线在动态几何、旋转及探究问题中应用|解答22-25题，如24题梯形中位线探究，发展空间观念与创新意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《6.3三角形的中位线》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．4 4．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（    ） A．15 B．12 C．10 D．3 6．如图，在中，D，E分别是的中点，过点D作，交的延长线于点F，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 7．如图，在四边形中，M是上一动点，N是上一定点，连接，，E，F分别是，的中点．当点M从点A向点D移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 8．如图，在中，，，，点是边上一点．点为边上的动点（不与点重合），点分别为的中点，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 二、填空题（满分24分） 9．若三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是______． 10．如图，在中，点为上一点，，平分，交于点，点为的中点．若，则_____． 11．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点M，点N为的中点，连接，若，则的长为_________．    12．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 13．如图，已知四边形满足，，、分别为和的中点，则______． 14．如图，的对角线，相交于点的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为________________． 15．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，那么的度数为______． 16．如图，为等腰三角形，，点M，N分别为中点，点D、E在边上，且，连接，则图中阴影部分的面积为________________． 三、解答题（满分72分） 17．（7分）已知：如图，在中，，点是边的中点，连接． (1)尺规作图：在上求作一点，使得为的中位线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 18．（7分）如图，在四边形中，点E、F分别是边的中点，，，，．求的度数． 19．（7分）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点M，点E、F是对角线、的中点，若，求证：． 20．（7分）如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． 求证：四边形是平行四边形． 21．（8分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 22．（8分）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 23．（8分）如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 24．（10分）如图（1），在梯形中，，与不平行，E，F分别是，的中点． (1)如图（2），通过画辅助线，可将梯形变成三角形，由此得到与，之间的关系是______； (2)也可以通过画辅助线，将梯形变成平行四边形，从而得到（1）中的结论，请在图（3）中画出辅助线，并证明该结论． (3)当图（1）中的与不平行，其他条件不变时，如图（4），写出与的大小关系并证明． 25．（10分）观察下面图形，解决问题： (1)用数学的眼光观察 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； (2)用数学的思维思考 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：； (3)用数学的语言表达 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 参考答案 1．D 【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定和性质，根据作图得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于D选项，∵根据作图，可知， ∴， ∴．故D选项正确． 对于A选项，得不出，故A选项错误； 对于B选项，只有当F为中点时，才成立，故B选项错误； 对于C选项，点不与点重合，没有条件证明，故C选项错误． 2．D 【分析】根据三角形中位线定理得出，利用平行线的性质得出，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ． 3．A 【分析】证明，三角形的中位线定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形中，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是和的中点，，， ∴， ∴. 4．B 【分析】取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 5．D 【分析】由条件可知是的中位线，可得，再由线段的中点定义得到进一步可得． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， 点是边的中点， ， 是的中点， ． 6．D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理求出的长即可． 【详解】解：∵是的中点， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ， ∵， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 7．C 【分析】根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵E，F分别是，的中点．， ∴， ∵点是上一定点，C是定点，的长度不变， ∴的长度不改变． 8．A 【分析】根据三角形中位线定理可得，当时，最短，即最小，利用勾股定理和等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点分别为的中点， 是的中位线， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， 的最小值为． 9． 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，因此三条中位线组成的三角形的周长为原三角形周长的一半，代入原三角形周长计算即可得到结果． 【详解】解：设原三角形三边长分别为，，，由题意得原三角形周长为， 根据三角形中位线定理，可得新三角形的三边长分别为，，， 因此新三角形的周长为：． 10． 【分析】本题主要考查了三线合一，中位线的性质．根据，平分，可得，再由点为的中点可知，为的中位线，从而得出答案． 【详解】解：，平分， ，即点为中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ． 11．4 【分析】由平行四边形的性质得到，，证明，得到，由三角形中位线定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 12． 【分析】取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得， ∴， 在 中， ． 13． 【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据平行线的性质证明，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，则， ∵为的中点， ∴， ，， 同理可得： ， ，， ∴， 即， ∵， ∴， ． 14． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理. 根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证得，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵是的中点， ， ∴是的中位线 ， ∴． 15． 【分析】由三角形中位线定理结合题意得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵P是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．6 【分析】过点作，勾股定理求出的长，根据三角形的中位线定理，求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵点M，N分别为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 观察可知，阴影部分的面积等同于底边为，高为的三角形的面积， ∴阴影部分的面积． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用作垂直平分线的方法作出的中点，则为的中位线； （2）根据中位线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）证明：∵为的中位线， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴． 18． 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 19．见解析 【分析】取的中点N，连接，，利用三角形中位线的性质得到，，，，得到，利用三角形内角和定理求出，证明为等边三角形，即可得到． 【详解】证明：取的中点N，连接，， ∵点E、N是、的中点， ，， 同理可得，，， ∵， ， ， ． ∵，， ， ∴， ， 为等边三角形， ∴． 20．证明见解析 【分析】根据中位线的性质可得，，，，再结合平行四边形的判定和性质即可求证． 【详解】证明：分别是，，，的中点， 为的中位线，为的中位线． ，，，． ． 四边形是平行四边形， ． ． 四边形是平行四边形． 21．(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； （2）首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 又， 是的中位线， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 24．(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先证，推出，，得出是的中位线，进而可得； （2）过点F作，交于点G ，交的延长线于点H ，先证四边形是平行四边形，得出，，再证，得出，，再证四边形是平行四边形，得出，最后可得 ； （3）取中点G，连接，，可得是的中位线，是的中位线，推出,，进而可得，结合，可得，当点G，E，F三点共线时等号成立． 【详解】（1）解：与，之间的关系是：．理由如下： 梯形中，， ，， 又 F是的中点， ， ， ，， F是的中点， 又 E是的中点， 是的中位线， ， 即； （2）解：过点F作，交于点G ，交的延长线于点H ， 梯形中，， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 又 F是的中点， ， ， ，， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 证明：如图，连接，取中点G，连接，， 又 E，F分别是，的中点， 是的中位线，是的中位线， ,， ， ， ，当点G，E，F三点共线时等号成立． 25．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)是直角三角形，证明见解析 【分析】（）利用三角形中位线的性质可得，进而即可求证； （）利用三角形中位线的性质可得，，进而根据（）的结论即可求证； （）取的中点，连接，利用三角形中位线的性质可证，进而得到 ，即得到是等边三角形，即可得，得到，进而得 ，即可求证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， 同理可证，， 由（）知，， ∴； （3）解：是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴，， 同理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $