精品解析：上海理工大学附属储能中学2025-2026学年高三下学期5月数学测试卷

2026年五月阶段练习 一、填空题： 1. 设全集，集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义与公共元素的筛选即可解答. 【详解】因为，是由4个整数构成的集合； ，则满足“大于等于2且小于3”的实数构成的集合，其中整数只有 ， 所以：. 2. 二项式的展开式中，系数为______． 【答案】 【解析】 【详解】展开式通项公式为，且为整数. 令，则， 则系数为. 3. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案. 【详解】是等差数列，且， 设等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前项和公式： 可得： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二倍角公式求解. 【详解】根据二倍角公式，. 故答案为： 5. 已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得. 6. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】 ， 所以原不等式的解集为. 7. 随机变量X服从二项分布，且，，则p的值为___________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】由题知：. 故答案为： 8. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则. 所以. 9. 设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421    6606580562    6165643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 【答案】43 【解析】 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 10. 已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的外接圆半径和正三棱柱的外接球半径，再根据勾股定理求出，即可求出正三棱柱的高，然后利用柱体的体积公式计算体积即可. 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 正中，，由正弦定理可得，. 又正三棱柱的外接球体积为，. 在中，. 所以正三棱柱的高. 所以正三棱柱的体积. 11. 已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得抛物线方程为，直线的方程为，联立方程组可求得，结合，可求得，可求离心率. 【详解】由双曲线，可得左、右焦点为，， 可得以为焦点的抛物线方程为， 因为，不妨设点P在第一象限，所以直线的方程为， 联立方程可得，消去，可得，解得，所以， 所以， 又，. 故答案为：. 12. 定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数m的最大值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】确定函数解析式，得到时，，考虑和两种情况，得到不等式，解得答案. 【详解】依题意，， 当时，，则， 当时，，，，于是， 当时，恒成立；当时，，，即， 由，解得或，即或， 观察图象知，当时，恒有，依题意，， 所以实数m的最大值为. 故答案为： 二、选择题： 13. ，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 14. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 又， 所以向量在向量上的投影向量为． 15. 已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出扇形的半径和圆心角，当扇形面积最大的时候求出圆心角，然后求出圆锥的底面半径和高，最后利用体积公式计算体积即可. 【详解】设扇形半径（即圆锥母线长）为，扇形的圆心角为. 由题意，，. 扇形的面积. ，当且仅当，即时取等号. 故扇形面积最大时，，. 由，可得圆锥的底面半径. 所以圆锥的高. 圆锥的体积. 16. 设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法根据关系可求，再求，，，根据余弦定理求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立，消可得， 方程的判别式，故， 设，，不妨设， 由已知为方程的根， 所以，， 设点，在准线上的投影分别为，， 因为，所以， 故，所以， 即为方程的根， 故，， 所以，， 又， 由余弦定理，. 故选：B. 三、解答题： 17. 已知点是函数的一个对称中心． （1）求的值； （2）若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 【答案】（1） （2）的最小值为，单调递增区间为 【解析】 【分析】(1)利用余弦函数的对称中心性质即可求出的值.(2)先利用二倍角公式和辅助角公式化简,即可求解最值和单调性. 【小问1详解】 已知点是对称中心，则有， 解得，又因为，所以当时，. 【小问2详解】 由(1)知， 则 即 因为，所以的最大值为 由题意可知. 所以，所以的最小值是. 解得， 所以单调递增区间为 18. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，应用公式即可求点B到平面DCF的距离. 【小问1详解】 取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，， 因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形， 所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF； 【小问2详解】 因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直， 以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设， ， 则，，，，所以，，， 设平面DCF的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以，所以，即， 因为，所以点B到平面DCF的距离 19. 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)由条件事件的概率进行求解； (2) 依题意，可取，计算出对应的概率，即可列出分布列． 【小问1详解】 设事件A为“第一次检测出合格零件”，事件B为“第二次检测出不合格零件”， 则． 【小问2详解】 依题意，可取， 得表示前5次检测出的均为合格零件，表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 20. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． （1）求曲线的方程； （2）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； （3）过的直线与相交于点、、三点，求证：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率乘积以及，求得，可得椭圆方程和双曲线方程 （2）先联立双曲线与过点的切线方程，由判别式列方程求斜率，再结合筛选有效效率确定切点，进而得到切线方程. （3）设出直线方程，联立椭圆方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合的斜率之和为零，即可求证. 【小问1详解】 由题意可得，交点在椭圆和双曲线上， 代入可得 ，故 ， 椭圆离心率​​， 双曲线离心率​​，结合，， ​​ 解得 ，因此曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线的方程为：， 又因为切点在双曲线 ，所以直线是双曲线 的切线， 设切线的斜率为，根据斜截式可得切线的方程：， 又因为切线过点，所以 ，得出， 所以切线的方程化为，联立切线方程和双曲线可得， 化简可得 ，即 ， 进一步整理可得 ， 所以时，对应直线与双曲线相切， 所以 ， 化简得 ，则，即， 由图可知，，所以切线方程为：，即， 联立切线方程和双曲线可得， 化简得，得出， 将代入，得，所以. 【小问3详解】 由题意可得的斜率存在且不为零，所以设方程为， 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得 ， 所以，即且， 解得或，即 ， 联立直线与椭圆方程可得， 整理可得： ， 所以， 解得或，即 ， 所以 ，所以， 所以 . 21. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比三角函数的三个性质：①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围； （3）若，，证明：． 【答案】（1）答案见解析，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递增，再设，利用导数得其单调性及，从而，得证. 【小问1详解】 平方关系：； 倍角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系: ； 倍角公式：； 导数：，； 以上三个结论，证对一个即可． 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， ①当时，由， 又因为，故，等号不成立， 所以，故为严格增函数， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数k的取值范围为； 【小问3详解】 因为， 所以原式变为， 即证， 设函数，即证，， 设，， 时，在上单调递增，即在上单调递增， 设，（），则， 由于在上单调递增，， 所以，即，故在上单调递增， 又，所以时，， 所以，即， 因此恒成立，所以原不等式成立，得证． 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年五月阶段练习 一、填空题： 1. 设全集，集合，，则______． 2. 二项式的展开式中，系数为______． 3. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 4. 若，则______． 5. 已知复数（i为虚数单位），则______． 6. 不等式的解集是______． 7. 随机变量X服从二项分布，且，，则p的值为___________. 8. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 9. 设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421    6606580562    6165643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 10. 已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 11. 已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________. 12. 定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数．设，且是的2倍伸缩周期函数．若对于任意的，都有，则实数m的最大值为__________ 二、选择题： 13. ，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 15. 已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 16. 设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题： 17. 已知点是函数的一个对称中心． （1）求的值； （2）若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 18. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 19. 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 20. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． （1）求曲线的方程； （2）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； （3）过的直线与相交于点、、三点，求证：． 21. 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比三角函数的三个性质：①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； （2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围； （3）若，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $