精品解析：广东揭阳市普宁市勤建学校2025-2026学年高一下学期第二次调研考试数学试题

勤建学校高一年级下学期第二次调研考试 数学试卷 2026.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于的等式，即可求得实数的值. 【详解】由已知可得，因为，可得，解得. 故选：C. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 6. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 8. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 10. （多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据向量模长公式和数量积公式分别计算各选项，对于恒成立问题利用三角恒等变换证明，对于不恒成立问题通过取特殊值举反例排除即可. 【详解】由题可知，，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，， 当时，，故B错误； 因为，，所以，故C正确； 因为，， 取，，则，，所以，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则点运动轨迹长度为 B. 若，则点运动轨迹长度为 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据线面平行，找到平行平面与已知平面的交线即可；对于B通过球与平面相交的截面圆计算轨迹长度；对于C利用平行线找到平面的截面图形在计算长度；对于D三棱锥外接球问题，计算球的半径，最后计算球的表面积； 【详解】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与平面相交的圆的四分之一周长即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【解析】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 14. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知复数(i为虚数单位). （1）求复数z的模； （2）求复数z的共轭复数； （3）若z是关于x的方程一个虚根，求实数m的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）直接根据模长的定义求解即可； （2）实部相等，虚部相反即可； （3）推导出，由此能求出实数m的值. 【详解】（1）因为复数； 故； （2）； （3）∵z是关于x的方程一个虚根， 故； 因为m为实数，所以. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共轭复数的定义、复数方程的根，考查了计算能力，属于基础题． 16. 已知平面向量，. （1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解； （2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解. 【小问1详解】 ∵，且， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求的体积； （2）求证：平面； （3）求证：平面． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【小问1详解】 因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． 【小问2详解】 证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． 【小问3详解】 取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 19. (本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. （1）连接，证明：平面. （2）设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解证明即可；（2）运用几何法求解线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高一年级下学期第二次调研考试 数学试卷 2026.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 7. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 8. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. （多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则点运动轨迹长度为 B. 若，则点运动轨迹长度为 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数_____________． 13. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 14. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知复数(i为虚数单位). （1）求复数z的模； （2）求复数z的共轭复数； （3）若z是关于x的方程一个虚根，求实数m的值. 16. 已知平面向量，. （1）若，求的值. （2）若，求的值. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求的体积； （2）求证：平面； （3）求证：平面． 19. (本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. （1）连接，证明：平面. （2）设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $