精品解析：广东省普宁市兴文中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

兴文中学2024－2025年度高一第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】因为，则由题意可得. 故选：B. 2. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的知识，结合正弦函数的定义即可得解. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，假设，显然此时有，矛盾， 所以假设不成立，即必有，即必要性成立； 综上，是的必要非充分条件. 故选：B. 3. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部的概念求解. 【详解】由可得， 故虚部为， 故选：A 4. 已知向量，向量满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解. 【详解】设，则， 由，得， 又，得，即， 联立，解得. . 故选：C. 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 6. 向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 7. 在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正三棱锥的性质，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高. 【详解】正三棱锥中，点在平面射影是点，即为等边的中心， 已知，可得， 由底面，底面，可得， 则由勾股定理可得高. 故选：D. 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，分别求得圆柱和球的表面积，即可得答案. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为． 圆柱的表面积， 球的表面积， 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为. 故选：C 二、多选题（每道题至少有两个选项是正确的，答对部分答案得部分分，答错0分，答全对得6分，共18分） 9. 设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. 是方程的一个根 D. 若复数z满足，则最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算律即可判断A选项，根据复数在复平面内的性质即可判断B选项，将代入方程即可判断C选项，先设出，根据圆的相关知识即可判断D选项. 【详解】因为，所以，故A错误； 在复平面内对应的点在第一象限，故B正确； 因为，所以， 是方程的一个根，故C正确； 设，则， 则， 所以，所以复数可看做复平面内的点， 该点在圆心为，半径的圆上， 连接原点与圆心并延长，与圆的交点即为的最大值， 此时. 故D正确. 故选：BCD. 10. 设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若l上有两点到的距离相等，则 C. ，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则 D. 若，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面平行的判断定理及性质定理，逐一分析各选项即可求解. 【详解】解：对A：若，，则或，故选项A错误； 对B：若l上有两点到的距离相等，则或或与相交，故选项B错误； 对C：，，两两相交于三条直线l，m，n，若，由线面平行的判断定理及性质定理可得，故选项C正确； 对D：若，，，，则或与相交，故选项D错误. 故选：ABD. 11. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，确定、的关系及范围，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及诱导公式求解即得. 【详解】由，得，由，所以，即， 显然，而，则， 对于A：，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】∵四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形， ∴原图形为平行四边形，一组对边长为1，且该边上的高为， ∴原图形的面积为. 故答案为： 13. 科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则根据以上信息可得里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的______倍. 【答案】100 【解析】 【分析】由题意列式，利用指数幂运算求解即可. 【详解】由题意得，所以， 即里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的100倍. 故答案为：100 14. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正三棱锥性质求得外接球半径后可得表面积． 【详解】如图，是的外心，是高，在上，设， ，， 所以由得，解得， 表面积为． 故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则得到，从而利用向量数量积的坐标表示即可得解； （2）由题意到得，且与不平行，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 由，则， 即， 即，得. 【小问2详解】 若为钝角，即且不共线， 即，得，且， 得且，综上解得且. 16. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模； （2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 ∵，∴， ， 为纯虚数， ，解得， 故，则 【小问2详解】 ， ， 复数所对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 17. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证. （2）只需证明，即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直的性质以及判定定理即可得证. （3）利用转换法，只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识即可求解. 【小问1详解】 如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又面， 平面. 【小问3详解】 由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上是递减函数，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. 【小问3详解】 由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 19. 在中，，，分别为内角，B，的对边，且. （1）求的大小； （2）若，试判断的形状； （3）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2）等腰钝角三角形 （3）最大值为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可求得角的值，由此可得出结论； （3）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值． 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得，整理得 由余弦定理可得 又，所以 【小问2详解】 由（1）知，又得， 即， 因为，则， ，即，， 则为等腰钝角三角形； 【小问3详解】 由，及余弦定理知 则，知，当且仅当时等号成立 所以 因此周长的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴文中学2024－2025年度高一第二学期期中考试 数学试卷 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，向量满足，，则（　　） A. B. C. D. 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 6. 向量在向量上投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ） A B. 2 C. D. 二、多选题（每道题至少有两个选项是正确的，答对部分答案得部分分，答错0分，答全对得6分，共18分） 9. 设复数，其中是虚数单位，下列判断中正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. 是方程一个根 D. 若复数z满足，则最大值为2 10. 设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若l上有两点到的距离相等，则 C. ，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则 D. 若，，，，则 11. 已知，且，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题（每道题5分，共15分） 12. 如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为______. 13. 科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则根据以上信息可得里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的______倍. 14. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若为钝角，求实数的取值范围. 16. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 17. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 在中，，，分别为内角，B，的对边，且. （1）求大小； （2）若，试判断的形状； （3）若，求周长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $