专项10 全等三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年七年级下册数学期末试卷精选（北师大版·新教材）河南专版

期末复习第2步·攻专项 专项10全等三角形的综合探究 满分：40分得分： 编者按：本专项精选期末高频考法，以综合探究的方式呈现全等三角形的常见模型、动点问题 等核心压轴题，助力学生集中突破期末难点， 1.〔郑州市改编〕(8分)下面是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并引发的 思考，请帮助小方完成以下学习任务： (1)如图1，点M,N分别是∠AOB的边OA和OB上的点，OM=ON,点P是射线OC上一点， 测得PM=PN.请说明OP平分∠AOB. (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,点P为DC的中点，连接PA,PB.将四边形 ABCD沿着AP翻折，点D刚好与AB上的点E重合，请判断AD与BC的位置关系，并说明 理由. D N 图1 图2 期末复习第 2.(10分)等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=,点D为底边BC上一点，连接AD,在AD左 侧作∠EAD=,使AE=AD,连接DE,BE.请解答下列问题 步 【问题发现】(1)如图1，若a=60°，通过说明△BAE≌△CAD,可得出BE与CD的数量关 攻 系是 ;∠C与LABE的数量关系是 项 【类比探究】(2)如图2，若α=90°，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由， 【拓展延伸】(3)在(2)的条件下，若点A到BC的距离为2，请直接写出点A到直线BE的距离 E 图1 图2 备用图 河南专版数学七年级下册北师 31 3.〔保定市〕(11分)直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C. (1)当AC=BC时，如图1，分别过点A,B作AD⊥U于点D,BE⊥U于点E.试说明：△ACD≌△CBE. (2)当AC=8,BC=6时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF,CF.动点M从点A出 发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3 个单位长度的速度沿F→C→B→C→F向终点运动，点M,N到达相应的终点时停止运动. 过点M作MG⊥l于点G,过点N作NH⊥于点H,设运动时间为ts. ①CM= ;当点N沿F→C路径运动时，CN= .（用含t的代数式表示) ②请直接写出当△MGC与△CHN全等时t的值， M G E 图) 图2 4.(11分)【背景问题】如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=3,AD=2,若AC边的 长度为奇数，求AC的长 小明的解决方法如下：延长AD至点E,使AD=DE,连接BE.由已知和作图能得到△EDB≌ △ADC,所以AC=BE.请根据小明的方法思考，然后直接写出AC可能的长（写出一个即可） 期末复习第 【感悟方法】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,AC=BF.请判断 ∠AFE与∠EAF的关系，并说明理由 【深入探究】如图3，在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,且∠ACB=∠DCE=90°，连接AD, 2步 BE,Q为AD中点，连接0C并延长交E于点K,C0=3,CK=,则△BCE的面积为 攻专项 B E 图1 图2 图3 32 河南专版数学七年级下册北师专项10全等三角形的综合探究 1.解：(1)因为OM=ON,PM=PN,OP=OP, 所以△OPM≌△OPN. 所以∠MOP=∠NOP. 所以OP平分∠AOB. (3分) (2)AD∥BC. (4分) 理由如下：由折叠的性质，得PD=PE,∠PDA= ∠PEA,AD=AE. 因为AB=AD+BC,AB=AE+BE, 所以BE=BC. 因为点P为DC的中点， 所以PD=PC. 所以PE=PC. 因为PB=PB, 所以△PEB≌△PCB. 所以LPEB=∠PCB. (6分) 所以LPDA+∠PCB=∠PEA+∠PEB=180° 所以AD∥BC. (8分) 2.解：(1)BE=CD∠C=∠ABE (4分) (2)(1)中的结论仍然成立. (5分) 理由：因为LBAC=∠EAD=90°， 所以∠CAD+∠BAD=∠BAE+∠BAD. 所以LBAE=∠CAD: 又因为AE=AD,AB=AC, 所以△ABE≌△ACD. 所以BE=CD,∠ABE=∠C. (8分) (3)点A到直线BE的距离为2. (10分) 【解析】过点A作AFLBC于点F,ANL直线BE于 点N 因为点A到BC的距离为2，所以AF=2. 因为AB=AC,∠BAC=90°， 所以∠ABC=∠ACB=45°. 与(2)同理得△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACB=45°. 所以∠ABE=∠ABC. 又因为AN⊥BE,AF⊥BC, 所以AN=AF=2. 所以点A到直线BE的距离为2. 3.解：(1)因为AD⊥l,BE⊥1， 所以∠BEC=∠CDA=90°. 河南专版数学 七 所以∠DAC+∠ACD=90°. (2分) 因为∠ACB=90°， 所以LECB+∠ACD=90°. 所以LDAC=LECB. 因为AC=BC, 所以△ACD≌△CBE. (6分) (2)①8-t6-3t (8分) ②当△MGC与△CHN全等时，t的值为3.5,5或 6.5 (11分) 【解析】由轴对称的性质可知，∠BCH=∠FCH.因 为∠MCG+∠CMG=90°，∠MCG+∠BCH=90°，所 以∠FCH=∠BCH=∠CMG.因为∠MGC=∠CHN= 90°，所以当CM=CN时，△MGC与△CHWN全等.当 点N沿F→C路径运动时，8-t=6-3t,解得t=-1 (不合题意).当点V沿C→B路径运动时，8-t=3t -6,解得t=3.5.当点N沿B→C路径运动时，8- t=18-3t,解得t=5.当点N沿C→F路径运动时， 8-t=3t-18,解得t=6.5.综上所述，当 △MGC与△CHW全等时，t的值为3.5,5或6.5. 4.解：【背景问题】AC的长可能为3.（或AC的长可能 为5.) (3分) 【感悟方法】∠AFE=∠EAF. (5分) 理由：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图①. M 图① 因为AD是△ABC的中线， 所以CD=BD 因为∠ADC=∠MDB, 所以△ADC≌△MDB. 所以AC=BM,∠EAF=∠M. 因为BF=AC,所以BF=BM 所以∠M=∠BFM. 因为∠BFM=∠AFE,所以∠M=∠AFE. 所以LAFE=∠EAF. (9分) 【深入探究】号 (11分) 年级下册北师 8 【解析】延长CQ到点R,使得CQ=QR,连接AR, DR,如图②. 图② 因为点Q是AD的中点，所以AQ=QD. 又因为RQ=CQ,∠AQR=∠CQD, 所以△AQR≌△DQC. 所以AR=CD,∠ARC=∠RCD. 所以AR∥CD. 所以∠RAC+∠ACD=180° 因为LACB=∠DCE=90°，CE=CD 所以∠BCE+∠ACD=180°，AR=CE. 所以LRAC=∠BCE. 因为AC=BC, 所以△ACR≌△CBE. 所以LACR=∠CBE,BE=CR=2CQ=6. 因为∠ACR+∠BCK=180°-∠ACB=90°， 所以∠CBE+∠BCK=90° 所以LCKB=90°.所以CK⊥BE. 所以5%=7B-CK=7X6x39 x22 期末复习第3步·练真题 试卷1郑州市中原区 一、选择题 1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.C 8.A【解析】由题可得，第1次输出的结果为27× 号=9，第2次输出的结果为9×}=3，第3次输出 的结果为3×了=1，第4次输出的结果为1+2 3,第5次输出的结果为3×号-1，.所以从第2 次开始，输出的结果以3,1为一个循环组依次循 环.因为(2025-1)÷2=1012，所以第2025次 输出的结果为1.故选A 9.B【解析】连接PA,AD.因为MW垂直平分AC,所 以PA=PC.所以LPAC=∠PCA,CAPn=PC+PD 河南专版数学 +CD=PA+PD+CD≥AD+CD.因为CD长为定 值，所以当A,P,D三点共线时，CAPCD最小，如图. A B D 因为AB=AC,点D是边BC的中点，所以∠BAC= 2∠PAC.因为∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180° -2∠PAC,所以∠CPD=180°-∠APC=2∠PAC.所 以∠CPD=∠BAC=50°.故选B. 10.B【解析】因为AD,BE分别为BC,AC边上的 高，所以LBDF=∠ADC=∠BEA=90°.所以 ∠DBF+∠DFB=90°，∠DAC+∠AFE=90°.因为 ∠DFB=∠AFE,所以∠DBF=∠DAC.因为BD= AD,所以△DBF≌△DAC.所以BF=AC.①正确. 因为BF=2EC,BF=AC,所以AC=2EC.所以 AE+EC=2EC.所以AE=EC.因为∠BEA=90°， 所以BE垂直平分AC.所以AB=CB,AF=CF.因 为AD=BD,所以CArDG=DF+CF+CD=DF+AF +CD=AD+CD=BD+CD=CB=AB.②正确. 设CF的延长线交AB于点H.因为∠BDF=90°， AD=BD,所以LABD=∠BAD=I80°-∠BDFP)= 45°.因为△DBF≌△DAC,所以DF=DC.ADC= 90,所以LFCD=180-乙ADC)=45°，所以 ∠BHC=180°-∠ABD-∠FCD=90°.所以CF⊥ AB.③正确.因为∠ACD=∠FCD+∠ACF,所以 ∠ACD大于45°.因为在Rt△DAC中，∠DAC=90° -∠ACD,所以∠DAC小于45°.所以∠FCD不等于 ∠DAC.④不正确.综上所述，正确的结论是①② ③.故选B. 二、填空题 11.ab12.15°13.温度时间14.100 15.90°或115°【解析】因为AB=AC,∠A=80°，所 以∠B=∠C=180-A)=50.根据题意，分 为两种情况：①当AC∥B'D时，如图①. E B(F) 图① 年级下册北师