第五章：分式与分式方程 单元练习卷 山东省滕州市南沙河中学2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为八年级数学第五章“分式与分式方程”单元练习，全面覆盖分式性质、方程解法及应用，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|分式方程去分母、自变量取值范围、分式值变化|结合表格信息（题3）考查分式意义，体现抽象能力| |填空题|6|分式无解、值为正/0的条件、比例性质|分层设置基础（题11比例）与综合（题12无解）问题| |解答题|7|方程求解、化简求值、实际应用、规律探究|含机器人搬运应用题（题6）培养模型意识，新定义运算（题23）发展创新意识|

山东省滕州市南沙河中学2025-2026学年第二学期单元练习卷 八年级数学第五章：分式与分式方程 一、单选题 1．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 2．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 4．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 5．如果把分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的 6．智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 7．若为正整数，则分式的值可能为（） A．0 B． C．1 D． 8．已知且，则的值为（） A． B． C． D． 9．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 10．关于x的方程的两个解为，，的两个解为，，的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．若，则_______． 12．关于的方程无解，则的值为___________． 13．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 14．当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 15．已知，，求__________． 16．若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 三、解答题 17．解分式方程： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．已知，求代数式的值． 20．若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围． 21．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； (2)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 22．阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 23．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D A B B A B D 1．A 【分析】先观察分母的关系，对分母变形后确定最简公分母，给方程两边同乘最简公分母即可得到所求整式方程． 【详解】解：将原方程变形为， 将方程两边同时乘以最简公分母得． 2．A 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 3．C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 4．D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 5．A 【分析】将x，y扩大后的数值代入原分式，化简后与原分式比较，即可得到分式值的变化情况． 【详解】解：∵把分式中的和都扩大到原来的倍后 ∴新的分式为 ∴分式的值扩大到原来的倍． 6．B 【分析】根据“时间相等”建立等量关系，利用公式“时间=搬运总重量÷每小时搬运重量”列方程求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运材料，则B型机器人每小时搬运材料，根据题意得， ， 解得， 检验：当时，，故是原方程的解， 即A型机器人每小时搬运材料． 7．B 【分析】先对分式因式分解约分，再根据x为正整数的条件，结合选项验证得到正确结果． 【详解】解：原式， A．若，解得，不符合x为正整数，排除； B．若，∴，解得，是正整数，符合条件； C．若，整理得，方程无解，排除； D．若，∴，解得，不是正整数，排除． 8．A 【分析】对已知等式两边平方，求出的值，再计算所求式子的平方，最后根据的条件判断结果的符号，得到最终答案． 【详解】解：∵， ∴对等式两边同时平方，得， 展开得，整理得， ∵， 代入，得， 又∵， ∴，即， ∴． 9．B 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 10．D 【分析】先观察已知方程及其解的规律，将所求方程变形，凑出与已知规律形式一致的方程，再根据规律求解得到x的值． 【详解】解：对所求方程变形： 原方程 ， 方程两边同时加1得：， 设，则方程变形为， 根据已知规律，该方程的解为，， 当时： ∵ ， ∴ ， 当时： ∵ ， ∴ ， 因此方程的两个解为 ，． 11． 【分析】根据，设，，代入计算求值即可． 【详解】解：， 设，， 则有． 12． 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解确定整式方程的解为增根，代入增根即可求出参数的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 13． 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 14． 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． 15． 【详解】解：∵ ∴即 ∵， ∴ ∴ 16． 【分析】根据题意，得到，原式化简为，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵且a，b，c均不为0， ∴ ∴原式 . 17．(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）、（2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同乘：， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴为原方程的解； （2）解： ， 两边同乘：， ， ， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴原分式方程无解． 18．； 【分析】原式先计算括号内的通分，再把除法转换为乘法，进行约分，同时根据单项式乘以多项式、完全平方公式将括号展开，再合并得最简结果，求出的值代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴原式． 19．1 【分析】先对所求式进行化简，再利用整体法求解即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， 代入得，原式． 20．且 【详解】解：， 方程的两边都乘以，得， 解得． ∵方程的解为正实数， ∴， ∴． ∵分式的分母， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是且． 21．(1)一，分式的基本性质 (2)见解析 【分析】（1）根据通分的定义进行解答即可； （2）根据分式混合运算的法则，进行计算得出正确答案即可． 【详解】（1）解：以上化简过程中，第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． （2）解：原式 ． 22．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 23．(1) (2) (3)或或或或或或或 (4)满足条件的两位数为 【分析】（1）根据“假分式”的定义直接进行求解即可； （2）根据分式的性质进行化简即可； （3）由题意可把原分式化简为，然后根据是整数进行求解即可； （4）设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则有，进而根据，，且，均为整数，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：根据“假分式”的定义可知：①③④都为假分式； （2）解：； （3）解：， 是整数，分式的值也是整数， 是整数， 或或或或或或或． （4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ，， = = ． 由题意可得，，，且，均为整数． 这个三位数的平方能被这个两位数整除， 为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，， 当时， ，没有满足题意的值， 综上，满足条件的两位数为． 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $