第五章 分式与分式方程 单元卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦“分式与分式方程”，涵盖选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分），注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式概念、性质、运算及方程基础|第9题考查分式方程无解，体现推理意识| |填空题|6/18|分式意义、比例式及方程解的范围|第16题规律探究，发展创新意识| |解答题|8/72|计算、解方程、新定义及应用题|新定义“真假分式”（20题）培养抽象能力，航行（23题）等应用题体现模型意识|

第五章 分式与分式方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、代数式，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、当时，分式没有意义，则的值为（    ） A． B． C． D． 3、四条线段，，，成比例，其中，，，则等于 A. B. C. D. 4、下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 5、下列说法正确的是（     ） A．分式是最简分式 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变 D．分式的值为零，则的值为 6、计算：的结果为（    ） A．1 B． C． D． 7、下列式子中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 8、已知，则代数式的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．前面几个答案都不对 9、若关于的方程无解，则的取值为（     ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 10、 某市生态园计划种植一批梨树，原计划总产量万公斤，现改换梨树品种，改换后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，且种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？若设原来平均每亩产量为万公斤，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、当时，分式无意义，则 ． 12、已知，则 ． 13、 关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 14、浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 15、已知，则的值为 ． 16、如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 三、解答题：本题共8小题，17-22，每题8分, 23-24，每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 计算 (1)； (2)． 18、解分式方程 (1)； (2)． 19、先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 20、阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是______分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 21、列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 22、荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 23、 已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 24、用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、代数式，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，分母中不含字母，不是分式； ，是已知数，分母中不含字母，不是分式； ，分母中含有字母，是分式； ，分母中不含字母，不是分式； ，分母中含有字母，是分式； ，分母中含有字母，是分式； ∴分式有3个， 2、当时，分式没有意义，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 3、四条线段，，，成比例，其中，，，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：四条线段、、、成比例，  ，  ，，，  ，  解得：  4、下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.是最简分式，故此选项符合题意； B．，则不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则不是最简分式，故此选项不合题意； D．，则不是最简分式，故此选项不合题意． 5、下列说法正确的是（     ） A．分式是最简分式 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中的，都扩大为原来的3倍，分式的值不变 D．分式的值为零，则的值为 【答案】A 【详解】选项A，正确，符合题意； 选项B，当时，x不能出现在分母上，B选项错误，不符合题意； 选项C，当，都扩大为原来的3倍时，分式的值也扩大为原来的3倍，所以C选项错误，不符合题意； 选项D，当分式的值为零时，，所以D选项错误，不符合题意； 6、计算：的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式 ， 7、下列式子中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 8、已知，则代数式的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．前面几个答案都不对 【答案】C 【详解】 9、若关于的方程无解，则的取值为（     ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【详解】解： (1)∵原分式方程无解， ∴， 解得， ，该方程无解； (2)当m+1≠0时,原分式方程有增根 当x=0时，该方程无解，m不存在； 当x=2时，2（m+1）=6,； ∴的取值为或2， 10、 某市生态园计划种植一批梨树，原计划总产量万公斤，现改换梨树品种，改换后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，且种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？若设原来平均每亩产量为万公斤，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵改换梨树品种后平均每亩产量是原来的1.5倍，且原来平均每亩产量为x万公斤， ∴改换梨树品种后平均每亩产量为万公斤. 根据题意得： 即： 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、当时，分式无意义，则 ． 【答案】 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母为零，即， 解得． 故答案为：． 12、已知，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为． 13、 关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：， 解得：， ， ， ， ， 方程的解是负数， ， ，即， 的取值范围为且． 故答案为：且． 14、浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【答案】 【详解】解：设中客车的载客x人，则大客车的载客人， 由题意得：， 整理得， 故答案为：． 15、已知，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：3． 16、如果记 并且表示当时y的值， 即 那么 （结果用含n的代数式表示， n为正整数）． 【答案】 【详解】解：∵， 故． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，17-22，每题8分, 23-24，每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 18、解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：两边同乘，得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解：两边同乘，得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 则原方程无解． 19、先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式． 20、阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是______分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 21、列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米? 【答案】李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米 【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以． 答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米． 22、荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天； (2)方案③最省钱 【详解】（1）解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天； （2）解：方案①的费用为万元， 方案②的费用为万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意； 方案③的费用为万元， ∵， ∴方案③最省钱． 23、 已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时； （2）解：，理由如下： 设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 根据题意得：， ， ， 即． 24、用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解析】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $