第五章分式与分式方程综合练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦分式与分式方程，以2026春晚吉祥物等时代情境为载体，覆盖基础定义到创新应用，适配单元复习，提升数学抽象、运算及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|分式定义、性质、方程解法|如第1题考分式识别，第10题引入“十字分式方程”新定义| |填空题|6小题|分式意义、优界数等创新概念|如第16题结合“优界域”考查分式有意义条件| |解答题|8小题|化简求值、方程应用、新定义探究|如第24题“可存异分式”定义，第19题春晚吉祥物购物情境应用题|

第五章分式与分式方程综合练习 一．选择题（共10小题） 1．下列式子中，是分式的是（　　） A．2x B． C． D． 2．如果分式中的x、y的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 3．要使分式有意义，x需满足的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1 4．解分式方程，去分母后的结果是（　　） A．1+（1+2x）＝x﹣2 B．1﹣（1+2x）＝x﹣2 C．1﹣（1+2x）＝1 D．1+（1+2x）＝1 5．用A，B两个机器人搬运化工原料，A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，A机器人搬运1200kg所用时间与B机器人搬运900kg所用时间相等，设A机器人每小时搬运xkg化工原料，那么可列方程（　　） A． B． C． D． 6．已知，则的值等于（　　） A． B． C． D． 7．化简的结果是（　　） A． B．﹣2 C． D．2 8．关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣6且m≠2 B．m＞6且m≠2 C．m＜6且m≠﹣2 D．m＜6且m≠2 9．关于x的分式方程的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数a的绝对值之和为（　　） A．14 B．16 C．18 D．21 10．我们定义：形如：（m、n不为零），且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程为“十字分式方程”． 例如为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝2，x2＝3． 再如为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣1，x2＝﹣7． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则x1＝﹣3，x2＝﹣4． （2）若十字分式方程x的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值为． （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞3，x1＞x2），则的值为2． 正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题） 11．当x满足　 　 条件时，分式有意义． 12．请写出一个分式使它满足：①只含有字母x；②最简分式；③x取任意实数，分式有意义，这样的分式可以是　 　 （只写一个）． 13．若分式的值为零，则x的值为　 　 ． 14．关于x的分式方程有增根，则m的值为　 　 ． 15．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是　 　 ． 16．对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称b是a的一个“优界数”，并规定a的所有优界数b的取值范围叫做a的“优界域”，例如：当a＝6时，由且b≠0，解得0＜b＜6，所以6的“优界域”为0＜b＜6，当a＝﹣4时，﹣4的“优界域”为　 　 ；已知实数m，关于x的分式方程的解为x0，若x0是m的优界数，则m的取值范围为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．先化简：，再从0，1，2中选一个适当的数代入求值． 18．解下列分式方程： （1）； （2）． 19．列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 20．已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求分式方程的解． （2）若该分式方程有增根，求a的值． 21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，不属于“和谐分式”的是　 　 （填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； （3）应用：若x为正整数，且分式值为整数，则x＝　 　 ． 22．【探究任务】关于分式有一个应用广泛的定理——等比定理：若，则．“善思小组”与“智慧小组”从两个方面来论证等比定理． （1）善思小组用生活常识的方法来验证等比定理： 如图，调制两杯浓度相同的糖水分别为a1g，a2g，其中含糖量分别为b1g，b2g，那么两杯糖水的浓度分别为，，则；把它们倒入同一个大烧杯，得到大烧杯糖水浓度为　 　 ＝　 　 ＝　 　 ． 得出结论：无论多少杯浓度相同的糖水合并后，糖水浓度不变．利用这一试验就说明了等比定理成立． （2）智慧小组用代数推理的方法来证明等比定理： 设，那么b1＝ka1，b2＝ka2，…，bn＝kan． … 请你补充完成智慧小组的证明过程． 【拓展应用】 （3）已知，求的值． 23．新定义：如果两个实数a（a≠0）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：a＝2，b＝﹣3使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣3]就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①[2，1]（　 　 ）；②[3，﹣4]（　 　 ）． （2）请判断数对[n，n﹣3]是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． （3）若数对[﹣4，kn]（k＜﹣3，n≠0），是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 24．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与；因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式 　 　 （填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． （2）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． （3）若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求m+n的值． 第五章分式与分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A．2x是整式，不是分式，故不符合题意； B．的分母是常数3，属于整式，不是分式，故不符合题意； C．是分式，故符合题意； D．的分母π是常数，属于整式，不是分式，故不符合题意； 故选：C． 2．【解答】解：， 3． 故选：C． 3．【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣1≠0， ∴x≠1． 故选：B． 4．【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2），得1﹣（1+2x）＝x﹣2． 故选：B． 5．【解答】解：∵A机器人比B机器人每小时多搬运40kg，且A机器人每小时搬运xkg化工原料， ∴B机器人每小时搬运（x﹣40）kg化工原料， 根据题意得：． 故选：A． 6．【解答】解：∵， ∴b﹣a＝3ab， ∴a﹣b＝﹣3ab， ∴， 故选：B． 7．【解答】解：原式 ＝2． 故选：D． 8．【解答】解：3， 方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m＝3x﹣6， 解得，x， ∵2， ∴m≠2， 由题意得，0， 解得，m＜6， 实数m的取值范围是：m＜6且m≠2． 故选：D． 9．【解答】解：解分式方程两边同乘（x﹣4）得： ﹣（ax﹣2）+6＝﹣3（x﹣4）， 整理得：（3﹣a）x＝4， 解得：， ∵分式方程的解为正数，且x≠4（x＝4时分母为0，是增根）， ∴且， ∴a＜3且a≠2， 解不等式组： ， 解第二个不等式得：a+x≥2x﹣7，即x≤a+7， ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解， ∴a+7＞1，解得a＞﹣6， 综上，a的取值范围是﹣6＜a＜3且a≠2，范围内的整数a为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1， 计算绝对值之和：|﹣5|+|﹣4|+|﹣3|+|﹣2|+|﹣1|+|0|+|1|＝5+4+3+2+1+0+1＝16． 故选：B． 10．【解答】解：（1）可化为x3+（﹣4）， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣4．故正确； （2）由条件可知ab＝﹣6，a+b＝﹣5， ∴ 1 1， 1 1 .故错误； （3）由题意，“十字分式方程”可化为x﹣1k+2k﹣3 ∵关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1，x2（k＞3，x1＞x2）， ∴x1﹣1＝2k﹣3，x2﹣1＝k． ∴x1＝2k﹣2，x2＝k+1． ∴2．故正确． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：∵分式有意义， ∴2x﹣2≠0， 解得x≠1． 故答案为：x≠1． 12．【解答】解：符合条件的分式为． 故答案为：． 13．【解答】解：由条件可知分子为零：9﹣x2＝0， 解得x＝3或x＝﹣3； 分母不为零：x﹣3≠0，解得x≠3． 综上，x的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 14．【解答】解：去分母得x﹣5＝m， ∴x＝m+5， ∵原方程有增根， ∴x+2＝0， 解得x＝﹣2， 当x＝﹣2时，即﹣2＝m+5， ∴m＝﹣7． 故答案为：﹣7． 15．【解答】解：原方程去分母得3x﹣2＝m+x+1， 移项得3x﹣x＝m+1+2， 合并同类项得2x＝m+3， 系数化为1得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴m＜﹣3且m≠﹣5． 故答案为：m＜﹣3且m≠﹣5． 16．【解答】解：（1）当a＝﹣4时， ∵， ∴b＜0， ∴b＞﹣4， 又∵b≠0， ∴﹣4＜b＜0， ∴﹣4的“优界域”为﹣4＜b＜0； 故答案为：﹣4＜b＜0； （2）解分式方程得x＝9﹣m， ∵分式方程的解为x0， ∴x0＝9﹣m，且x0﹣3≠0， ∴x0＝9﹣m≠3， ∴m≠6， ∵x0是m的优界数， ∴，且x0≠0， ∴，且9﹣m≠0， 当m＞9时，m＜9﹣m，解得：，不符合题意； 当m＜9时，m＞9﹣m，解得：，此时； ∴m的取值范围为，且m≠6． 故答案为：，且m≠6． 三．解答题（共8小题） 17．【解答】解：原式＝（） • ， 根据分式有意义的条件可得x≠0且x≠1， ∴当x＝2时，原式 18．【解答】解：（1）， 方程可化为， 方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得3+（x+3）（x﹣3）＝x（x+3）， 解得x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，（x+3）（x﹣3）≠0， 所以原分式方程的解是x＝﹣2； （2）， 方程两边同乘（x﹣1）（x﹣2），得x（x﹣1）﹣（x﹣1）（x﹣2）＝2， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x＝2不是分式方程的解， 所以分式方程无解． 19．【解答】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是x元，则第二次购进的玩具套装每套的进价是（1﹣20%）x元， 根据题意得：20， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意． 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是30元． 20．【解答】解：（1）当a＝1时，原分式方程为：， 两边同乘以（x﹣3），得： 4+1＝2（x﹣3）， 解这个整式方程，得： ． 检验：当时，x﹣3≠0， ∴是原分式方程的解． （2）， 两边同乘以x﹣3，得： 4+a＝2（x﹣3）， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴x﹣3＝0，即x＝3， ∴， 解得：a＝﹣4， ∴当a＝﹣4时，该分式方程有增根． 21．【解答】解：（1）1，则①是“和谐分式”， ，则②不是“和谐分式”， ，则③是“和谐分式”， ，则④是“和谐分式”， 故答案为：②； （2） ＝a﹣1； （3） ＝x﹣2， 若x为正整数，且分式值为整数， 则x＝9， 故答案为：9． 22．【解答】解：（1）由题知， 大烧杯糖水浓度为：， 所以． 故答案为：； （2）设， 那么b1＝ka1，b2＝ka2，…，bn＝kan， 所以， 所以； （3）设k， 则k． 当a+b+c≠0时，k， 即， 所以b+c＝2a， 则； 当a+b+c＝0时， b+c＝﹣a， 则， 综上所述，的值为或2． 23．【解答】解：（1）关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对[2，1]不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对[3，﹣4]是关于x的分式方程的“友好数对”， 故答案为：①×；②√； （2）结论：n＝1时，数对[n，n﹣3]是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴n（n+n﹣3）﹣1＝n﹣3， ∴n2﹣2n+1＝0， ∴（n﹣1）2＝0， ∴n＝1， 即n＝1时，数对[n，n﹣3]是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）∵数对[﹣4，kn]（k＜﹣3，n≠0）是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴﹣4（﹣4+kn）﹣1＝kn， ∴kn＝3， 即， ∴ ，， ∴， ∵k＜﹣3， ∴2k+3＜0，k+1＜0，k+2＜0， ∴（k+1）（2k+3）＞0，2（k+2）＜0， ∴， ∴M﹣N＞0， ∴M＞N． 24．【解答】解：（1）， ∴分式是分式的“可存异分式”， 故不是的“可存异分式”， 故答案为：不是； （2）①∵A﹣B＝AB， ∴（1﹣B）A＝B， ∴A2； ②∵A为正整数， ∴2为正整数， ∴2，且为整数， ∴x＝1或3或﹣3， 当x＝1时，A＝25； 当x＝3时，A＝23； 当x＝﹣3时，A＝21； 综上，A的值为5或3或1； （3）由题可知B，A， 1+A， ∵A﹣B＝AB， ∴B•， ∴， ∴m﹣n＝3， m2﹣n2﹣（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n﹣1）＝﹣1， ∴3（m+n﹣1）＝﹣1 ∴m+n． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/21 17:16:47；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $