专题05解三角形（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高一数学下学期沪教版

专题05解三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01正弦定理：已知两角一边/两边一对角（注意解的个数） 题型02 余弦定理：已知三边/两边夹角 题型03面积+定理综合 题型04形状判断：锐角/钝角/等腰/直角三角形 题型05最值：边或角的最值、面积最值 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 掌握三角形内角关系与面积计算 基础送分题，选填、大题首问高频，公式直接套用，必考。 掌握正弦定理，可求边、求角、判三角形 高频考点，适配两角一边、SSA题型；存在“多解易错陷阱”。 掌握余弦定理，熟练边角计算、判角类型 大题核心考点，适用于三边、两边夹角；常考综合计算、求最值。 边化角： 角化边： 掌握边角互化，化简三角关系式 中档综合题必考，用于化简边角混合式，结合三角恒等变换。 锐角，直角，钝角 利用余弦值判定三角形形状 选填高频，易错点：忽略内角范围导致错判形状 正、余弦定理+基本不等式角度归一化为单三角函数求值域 掌握三角形周长、面积最值与范围问题 章节压轴小问，难度偏高，期末拉分点，考频稳定。 仰角、俯角、方位角建模，拆分多三角形联立正、余弦定理求解 掌握解三角形实际应用建模 期末大题必考应用题，重在建模转化，计算常规。 知识点01 三角形基础关系与面积公式 内角和定理： 诱导公式（三角形专用）： 三角形面积公式： ·示例：在中，已知，求三角形面积。 解：代入面积公式： . ·易错点：① 误用角度制计算，未将角度转化为弧度； ② 记错面积公式，遗漏系数； ③ 错用非夹角正弦值计算面积。 知识点02 正弦定理 正弦定理： （为外接圆半径） 常用变形： 比例性质： ·示例：在中，，求角。 解：由正弦定理 因为，，故或。 ·易错点：① SSA题型忽略“两解、一解、无解”分类讨论，漏解或多解； ② 忽略大边对大角原则，求出超范围角度； ③ 比例变形错误，边角对应关系混乱。 知识点03 余弦定理 边公式（求边长）： 角公式（求角度）： . ·示例：在中，，求角。 解：由余弦定理： 又，故。 ·易错点：① 公式符号记错，混淆加减项； ② 求角时分母漏乘2，计算失误； ③ 钝角余弦值为负，忽略符号导致角度判断错误。 知识点04 边角互化与三角形形状判定 边角互化规则： 边化角： 角化边： 形状判定依据： 锐角，直角，钝角 ·示例：在中，满足，判断三角形形状。 解：角化边得： 化简得： 整理得：或 结论：等腰三角形或直角三角形。 ·易错点：① 化简过程随意约去因式，遗漏零解情况； ② 只判定单一形状，忽略多解可能性； ③ 忽略三角形内角范围，错判钝角、锐角。 知识点05 三角形最值与取值范围问题 基本不等式： 周长范围：结合两边之和大于第三边、角度范围约束 面积最值：固定边角，利用不等式或三角函数最值求解 ·示例：在中，，求三角形面积最大值。 解：由余弦定理： ，即 故面积最大值为。 ·易错点：① 忽略三角形三边关系、角度范围，导致范围偏大； ② 基本不等式使用未验证取等条件； ③ 三角函数值域求解忽略内角范围限制。 知识点06 解三角形实际应用 仰角：视线向上与水平线夹角；俯角：视线向下与水平线夹角； 方位角：以正北、正南为基准的水平角度。 ·示例：在地面上相距的两点，观测山顶，在点测得山顶仰角为，在点测得山顶仰角为，且地面，求山的高度。 解：设山高，为山脚地面垂足。 由仰角定义：，且平面 在中： 在中： 在地面中，已知，由余弦定理： 代入对应表达式： 展开化简： ，化简得： 解一元二次方程： 高度为正，舍去负根： 答：山的高度为。 ·易错点：① 方位角、仰角、俯角几何转化错误； ② 不会拆分复合图形，无法建模； ③ 单位不统一、计算过程近似值保留出错。 题型一 正弦定理：已知两角一边/两边一对角（注意解的个数） 解｜题｜技｜巧 （1）两角一边无需讨论解的个数，直接计算即可； （2）SSA题型先算正弦值：无解，一解（直角），需结合边长大小判断双解； （3）始终遵循“大边对大角”，快速排除超范围角度。 易｜错｜点｜拨 （1）SSA题型默认唯一解，遗漏双解、无解情况； （2）忽略大边对大角，出现小边对大角的逻辑错误； （3）未根据内角范围取舍角度，导致多解错误 【典例1】在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 【典例2】的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于_______. 【答案】 【分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中， 由正弦定理， 即，解得， 故答案为：. 【变式1】判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________. ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【答案】①④ 【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确. 【详解】对于①，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，①正确； 对于②，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，②错误； 对于③，由正弦定理得：，无解，③错误； 对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确. 故答案为：①④. 【变式2】在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 【答案】当的时，；当的时，. 【分析】由于给的条件是边边角，又因为，则该三角形具有两解，先根据正弦定理求出的大小，再利用内角和可求解，最后利用正弦定理分别求出两个边 【详解】因为，则该三角形具有两解， 由正弦定理可得：， 解得，则或， 当时，， 又因为， 由正弦定理可得， 当时，，， 同上可得， 则可得， 综上，当的时，； 当的时，. 题型二 余弦定理：已知三边/两边夹角 答｜题｜模｜板 1：判断题型为三边求解/两边夹角求解； 2：对应边角关系，代入余弦定理公式； 3：分步计算，求出边长或角度余弦值； 4：结合内角确定角度，整理答案。 【典例1】在中，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得：， 即， 所以，即 故答案为：. 【典例2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用余弦定理，建立方程，可得答案. （2）由正弦定理和三角形面积公式直接计算可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即， 整理可得，分解因式可得，由，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 解得，所以. 【变式1】在中，已知，，． (1)求的值及外接圆半径 (2)求中最大角的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）根据余弦定理得， 解得，由正弦定理得， 即． （2）的最大边为，对应的角为最大角， 由余弦定理得， 又，因此． 【变式2】在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果，再由正弦定理即可得到外接圆的半径. 【详解】（1）由余弦定理可得. （2）由（1）可知，且，则， 则， 由正弦定理可得，即，则. 题型三 面积+定理综合 答｜题｜模｜板 1：由已知角的余弦/正弦值，利用同角公式互化； 2：代入两边夹角面积公式，计算三角形面积； 3：选用余弦定理，求解未知边长； 4：分步书写公式+计算，规范大题步骤得分点 易｜错｜点｜拨 （1）面积公式遗漏系数； （2）误用非夹角正弦值计算面积； （3）大题无公式、无步骤，直接写结果扣分 【典例1】设的内角、、的对边长分别为、、，. (1)若，求角的大小； (2)若，求的值和的面积. 【答案】(1) (2)，的面积为 【分析】（1）当时，求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用诱导公式结合两角和与差的余弦公式可得出的值，利用正弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解：因为，当时，则有，可得， 因为，故. （2）解：因为 ， 所以，， 因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 所以，的面积为. 【典例2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形； （2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积； 【详解】（1）证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 （2）由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 【变式1】（25-26高一下·上海青浦·期末）已知在中，、、所对边分别为、、，且，. (1)若，求的面积； (2)若且为锐角，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理，列出方程，求得，得到，结合面积公式，即可求解； （2）由和，结合，求得，结合正弦定理，求得的长，即可得到三角形的周长. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由余弦定理得，即， 整理得，因为，所以，则， 所以的面积为. （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则， 因为为锐角，可得，， 因为，可得， 所以，则 所以得周长为. 【变式2】在△ABC中，角所对的边分别为，其中. (1)若，且，求A； (2)若，且，求△ABC的面积S△ABC. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得. 由正弦定理，结合，得. 又， 故. 即. 化简得. 提取公因式：. 因为是三角形内角，，所以. 两边同时除以得. 由，得. ， 所以， 又，所以. （2）由正弦定理，因为，，得， 即，故. 由，得，又为三角形内角，故为锐角，所以. 所以，. 由正弦定理，，，， 所以 所以 题型四 形状判断：锐角/钝角/等腰/直角三角形 答｜题｜模｜板 1：对题干等式边角互化，统一为纯边或纯角； 2：化简整理式子，提取边角等量关系； 3：结合余弦定理判断最大角正负或边角关系； 4：准确判定三角形形状，不遗漏多解。 易｜错｜点｜拨 （1）随意约分等式，丢失隐藏特殊三角形解； （2）只看单一角判定整体三角形形状； （3）混淆锐角、钝角判定标准。 【典例1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 【典例2】中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____. 【答案】等腰三角形 【分析】利用正弦定理边角互化，由结合三角函数和差公式和角的范围即可得，即可得到结果. 【详解】因为，所以由正弦定理可得， 又在中, 所以， 所以即， 由，故，则此三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 【变式1】已知的内角所对的边分别为，且满足． (1)判断的形状； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】（1）通过正弦定理边化角，结合，得到，即可判断； （2）由余弦定理结合（1）求得，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得，， 代入 得： ， 又，故， 代入上式整理得： ， 因为，所以，即， 则是等腰三角形 （2）因为， 所以 ，​ 由（1）知， 根据余弦定理， 代入得： ，​ 解得， 故三角形面积. 【变式2】在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)等腰三角形或直角三角形. 【分析】（1）利用韦达定理，结合和角的正切公式及诱导公式求解即得. （2）利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】（1）在中，与是方程的两个实根， 则，，， ，又， 所以. （2）在中，由正弦定理及，得，即， 则，即，而， 因此或，即或,所以为等腰三角形或直角三角形 题型五 最值：边或角的最值、面积最值 答｜题｜模｜板 1：由余弦定理建立边角关系式； 2：利用基本不等式或三角恒等变换构造最值结构； 3：结合三角形内角范围、三边关系约束取值； 4：验证取等条件，求出最值或取值范围。 易｜错｜点｜拨 （1）未验证基本不等式取等条件，答题不完整扣分； （2）忽略三角形内角、三边关系，导致最值范围偏差； （3）不会边角转化，无法构造不等式求最值。 【典例1】如图，在平面四边形中，，，. (1)求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数可得； （2）设，，根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）， 由同角三角函数关系式可得， 则， 所以， 所以. （2）设，，，, 在中，由余弦定理可得， 代入可得. 由基本不等式可知，即， 当且仅当时取等号，由三角形面积公式可得. 在中，由勾股定理可得， 所以， 所以四边形面积的最大值为. 【典例2】已知内角的对边分别为，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理，移项得. 已知，所以，故. 因为，所以 （2）三角形面积 又由，当时，. 由，得. 故，于是. 当时取等号，所以面积最大值为 【变式1】（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，得到，即可证得为等腰三角形； （2）设的周长为，由（1）知，由题意得到，且，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形. （2）解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为. 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. （3）， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26高一下·上海·期末）在中，，则三角形的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性及余弦定理推理判断. 【详解】在中，，则，即， 因此，即， 由余弦定理，得，则是锐角，而是最大角， 所以是锐角三角形. 2．已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先化为，将切化弦，结合正弦定理得到，再利用余弦定理求出，得到答案. 【详解】因为，所以 即， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 整理得：， 所以 故选：C 二、填空题 3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，c＝2，A＝120°，则该三角形的面积为______． 【答案】 【分析】根据余弦定理可得，再根据面积公式求解即可 【详解】因为，，，又， 所以，化为，因为，解得， 所以． 故答案为：． 4．已知的外接圆半径是2，，，边长______. 【答案】2或4/4或2 【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理列方程可求出. 【详解】因为的外接圆半径是2，， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， ，化简得， 解得或， 故答案为：2或4 三、解答题 5．（24-25高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据倍角公式结合三角形内角和关系分析求解； （2）由（1）可知：，由题意可知，利用余弦定理可得，代入面积公式即可得结果. 【详解】（1）因为，则， 即，解得. （2）由（1）可知：，且，可得， 由题意可知，即， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 2．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件等式，结合余弦定理可得，进而有，将其代入公式，应用二次函数的性质求最值即可. 【详解】由题设，结合余弦定理知：，即，而， ∴，， ∴当时，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得，再由面积公式求最值. 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期末）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是_________. 【答案】等腰三角形 【分析】利用余弦定理将等式化为边之间的关系，进而求解三角形形状即可. 【详解】由余弦定理可得 整理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形. 三、解答题 4．在中，已知. (1)求； (2)若，判断的形状. 【答案】(1) (2)等腰的钝角三角形 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角的余弦值. （2）利用三角形内角和关系计算出B、C角，根据角度判断三角形形状. 【详解】（1）由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 所以，而为三角形内角，所以； （2）由（1）知，且， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以，所以是等腰的钝角三角形. 5． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解； （2）根据题意结合余弦定理分析求解； （3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. （3）由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 二、填空题 2．已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是__________. 【答案】/ 【分析】利用余弦定理和均值不等式来求面积的最大值. 【详解】由题意得：， 由余弦定理得： 即，当且仅当时取等号. 故答案为：. 三、解答题 3．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c．若a＝8，，求面积的最大值；并指出面积取最大时是什么三角形？ 【答案】面积的最大值为，面积最大时是正三角形. 【分析】直接运用余弦定理与基本不等式得到，则求出，利用面积公式即可求出面积最大值，最后根据最值取等条件判断三角形形状即可. 【详解】 当且仅当时取等号; 则，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为，面积最大时是正三角形. 4．已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，求的面积； (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理将已知等式变形可得； （2）由向量的线性运算两边平方后结合正弦定理得到方程①，再由余弦定理和角度关系得到方程②，解方程求出，然后再由三角形的面积公式可得； （3）设，在中，由正弦定理得，再由中，由正弦定理得，利用二倍角的正弦公式，降幂公式，辅助角公式最后结合正弦函数的值域可得. 【详解】（1）由题意得 根据正弦定理可得：， 根据余弦定理可得：，即； （2）由知， 两边同时平方得， 即，化简得.① 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 而，， ，即，② 由①②得，由于，得，代入②得. 的面积为. （3）如图， 设，则， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得： ， 是锐角三角形，， ，当时，可得的最大值是. 5．如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. (1)若在距离点处，求的长度； (2)为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用直角三角形边角关系，确定角度与边长，再借助余弦定理求出线段长度； （2）先设出角，结合正弦定理表示线段，再利用三角形面积公式列式，通过三角恒等变换化简，最后结合三角函数的取值范围，找到使面积取最小值，并求出最小面积即可. 【详解】（1）在 中， ， ，， 由勾股定理得 ，则 ， 在 中，已知 ，，， 由余弦定理： ，故 . （2）设 ，则 ， 在 中，由正弦定理得： 在 中，， ， 由正弦定理得：， 的面积：， 令 ，则： ， ， 当 ，即 时， 取得最大值 ， 此时 取得最小值：， 所以当 时， 的面积最小，最小面积为 . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05解三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01正弦定理：已知两角一边/两边一对角（注意解的个数） 题型02 余弦定理：已知三边/两边夹角 题型03面积+定理综合 题型04形状判断：锐角/钝角/等腰/直角三角形 题型05最值：边或角的最值、面积最值 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 掌握三角形内角关系与面积计算 基础送分题，选填、大题首问高频，公式直接套用，必考。 掌握正弦定理，可求边、求角、判三角形 高频考点，适配两角一边、SSA题型；存在“多解易错陷阱”。 掌握余弦定理，熟练边角计算、判角类型 大题核心考点，适用于三边、两边夹角；常考综合计算、求最值。 边化角： 角化边： 掌握边角互化，化简三角关系式 中档综合题必考，用于化简边角混合式，结合三角恒等变换。 锐角，直角，钝角 利用余弦值判定三角形形状 选填高频，易错点：忽略内角范围导致错判形状 正、余弦定理+基本不等式角度归一化为单三角函数求值域 掌握三角形周长、面积最值与范围问题 章节压轴小问，难度偏高，期末拉分点，考频稳定。 仰角、俯角、方位角建模，拆分多三角形联立正、余弦定理求解 掌握解三角形实际应用建模 期末大题必考应用题，重在建模转化，计算常规。 知识点01 三角形基础关系与面积公式 内角和定理： 诱导公式（三角形专用）： 三角形面积公式： ·示例：在中，已知，求三角形面积。 ·易错点：① 误用角度制计算，未将角度转化为弧度； ② 记错面积公式，遗漏系数； ③ 错用非夹角正弦值计算面积。 知识点02 正弦定理 正弦定理： （为外接圆半径） 常用变形： 比例性质： ·示例：在中，，求角。 ·易错点：① SSA题型忽略“两解、一解、无解”分类讨论，漏解或多解； ② 忽略大边对大角原则，求出超范围角度； ③ 比例变形错误，边角对应关系混乱。 知识点03 余弦定理 边公式（求边长）： 角公式（求角度）： . ·示例：在中，，求角。 ·易错点：① 公式符号记错，混淆加减项； ② 求角时分母漏乘2，计算失误； ③ 钝角余弦值为负，忽略符号导致角度判断错误。 知识点04 边角互化与三角形形状判定 边角互化规则： 边化角： 角化边： 形状判定依据： 锐角，直角，钝角 ·示例：在中，满足，判断三角形形状。 ·易错点：① 化简过程随意约去因式，遗漏零解情况； ② 只判定单一形状，忽略多解可能性； ③ 忽略三角形内角范围，错判钝角、锐角。 知识点05 三角形最值与取值范围问题 基本不等式： 周长范围：结合两边之和大于第三边、角度范围约束 面积最值：固定边角，利用不等式或三角函数最值求解 ·示例：在中，，求三角形面积最大值。 ·易错点：① 忽略三角形三边关系、角度范围，导致范围偏大； ② 基本不等式使用未验证取等条件； ③ 三角函数值域求解忽略内角范围限制。 知识点06 解三角形实际应用 仰角：视线向上与水平线夹角；俯角：视线向下与水平线夹角； 方位角：以正北、正南为基准的水平角度。 ·示例：在地面上相距的两点，观测山顶，在点测得山顶仰角为，在点测得山顶仰角为，且地面，求山的高度。 ·易错点：① 方位角、仰角、俯角几何转化错误； ② 不会拆分复合图形，无法建模； ③ 单位不统一、计算过程近似值保留出错。 题型一 正弦定理：已知两角一边/两边一对角（注意解的个数） 解｜题｜技｜巧 （1）两角一边无需讨论解的个数，直接计算即可； （2）SSA题型先算正弦值：无解，一解（直角），需结合边长大小判断双解； （3）始终遵循“大边对大角”，快速排除超范围角度。 易｜错｜点｜拨 （1）SSA题型默认唯一解，遗漏双解、无解情况； （2）忽略大边对大角，出现小边对大角的逻辑错误； （3）未根据内角范围取舍角度，导致多解错误 【典例1】在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【典例2】的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于_______. 【变式1】判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________. ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【变式2】在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 题型二 余弦定理：已知三边/两边夹角 答｜题｜模｜板 1：判断题型为三边求解/两边夹角求解； 2：对应边角关系，代入余弦定理公式； 3：分步计算，求出边长或角度余弦值； 4：结合内角确定角度，整理答案。 【典例1】在中，若，则的长为_____． 【典例2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 【变式1】在中，已知，，． (1)求的值及外接圆半径 (2)求中最大角的值． 【变式2】在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 题型三 面积+定理综合 答｜题｜模｜板 1：由已知角的余弦/正弦值，利用同角公式互化； 2：代入两边夹角面积公式，计算三角形面积； 3：选用余弦定理，求解未知边长； 4：分步书写公式+计算，规范大题步骤得分点 易｜错｜点｜拨 （1）面积公式遗漏系数； （2）误用非夹角正弦值计算面积； （3）大题无公式、无步骤，直接写结果扣分 【典例1】设的内角、、的对边长分别为、、，. (1)若，求角的大小； (2)若，求的值和的面积. 【典例2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)证明：为等腰三角形． (2)若D是边BC的中点，，求的面积． 【变式1】（25-26高一下·上海青浦·期末）已知在中，、、所对边分别为、、，且，. (1)若，求的面积； (2)若且为锐角，求的周长. 【变式2】在△ABC中，角所对的边分别为，其中. (1)若，且，求A； (2)若，且，求△ABC的面积S△ABC. 题型四 形状判断：锐角/钝角/等腰/直角三角形 答｜题｜模｜板 1：对题干等式边角互化，统一为纯边或纯角； 2：化简整理式子，提取边角等量关系； 3：结合余弦定理判断最大角正负或边角关系； 4：准确判定三角形形状，不遗漏多解。 易｜错｜点｜拨 （1）随意约分等式，丢失隐藏特殊三角形解； （2）只看单一角判定整体三角形形状； （3）混淆锐角、钝角判定标准。 【典例1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【典例2】中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____. 【变式1】已知的内角所对的边分别为，且满足． (1)判断的形状； (2)若，，求的面积． 【变式2】在中， (1)若与是方程的两个实根，求角的值； (2)若，判断的形状． 题型五 最值：边或角的最值、面积最值 答｜题｜模｜板 1：由余弦定理建立边角关系式； 2：利用基本不等式或三角恒等变换构造最值结构； 3：结合三角形内角范围、三边关系约束取值； 4：验证取等条件，求出最值或取值范围。 易｜错｜点｜拨 （1）未验证基本不等式取等条件，答题不完整扣分； （2）忽略三角形内角、三边关系，导致最值范围偏差； （3）不会边角转化，无法构造不等式求最值。 【典例1】如图，在平面四边形中，，，. (1)求； (2)求四边形面积的最大值. 【典例2】已知内角的对边分别为，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【变式1】（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（25-26高一下·上海·期末）在中，，则三角形的形状一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 二、填空题 3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，c＝2，A＝120°，则该三角形的面积为______． 4．已知的外接圆半径是2，，，边长______. 三、解答题 5．（24-25高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期末）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是_________. 三、解答题 4．在中，已知. (1)求； (2)若，判断的形状. 5． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 二、填空题 2．已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是__________. 三、解答题 3．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c．若a＝8，，求面积的最大值；并指出面积取最大时是什么三角形？ 4．已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上一点，，求的面积； (3)若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 5．如图所示，公路一侧有一块空地，其中 ， ，，规划局设计在中间开挖人工湖，、都在边上，（、不与、重合，在、之间），且. (1)若在距离点处，求的长度； (2)为节省投入资金，要让人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $