22.2函数的表示 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦人教版八年级下册“函数的表示”，核心内容包括函数的解析式法、列表法、图象法及描点法画函数图象的步骤。课堂导入通过提问“除了解析式还能用哪些方式表示函数”，引导学生回忆列表和图象，搭建从函数解析式到多种表示方法的学习支架。 其亮点在于以自主探究（如画y=2x-3图象）和实际情境问题（花坛面积、小明骑车等）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界（发现数量关系）、用数学思维思考（推理画图步骤）、用数学语言表达（列表描点连线）的核心素养。采用“导入-探究-练习-小结”流程，学生能提升函数图象绘制与应用能力，教师可直接使用实例与步骤指导教学。

22.2 函数的表示 人教版八年级下册 1 列表 表中给出一些自变量的值以及对应的函数值； 01 描点 在直角坐标系中，以自变量为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中的数值对应的各点； 02 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来. 03 旧知巩固 描点法画函数图象的一般步骤 画出函数y=2x-3的图象. x y … -1 0 1 2 3 … … … -3 1 -5 -1 3 4 5 自主探究 3 2.函数图象的画法步骤 （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 22.2.2 函数图象的应用 教学过程幻灯片内容 第1页：回顾导入——衔接旧知，明确目标 1. 旧知回顾：提问学生“上节课我们学习了函数的图象，谁能说说函数图象的定义是什么？画函数图象的三步法是哪三步？”（引导学生回答：函数图象是由自变量与函数对应值组成的坐标点构成的图形；三步法为列表→描点→连线） 2. 情境导入：呈现问题“小明从家骑车去图书馆，中途休息了一段时间，之后骑车返回，其离家距离随时间变化的图象如下（文字描述图象特征：横轴为时间t，纵轴为离家距离s，图象先上升、再水平、最后下降），你能从图象中看出小明什么时候出发、什么时候到达图书馆、休息了多久吗？” 3. 导入目标：明确本节课核心任务——学会从函数图象中提取关键信息，能利用函数图象解决实际问题和简单的函数相关问题。 第2页：核心讲解——从图象中提取信息 1. 信息提取维度梳理：结合导入情境的图象，引导学生总结从函数图象中可提取的核心信息： （1）特殊点信息：与坐标轴交点、图象转折点的意义（如导入情境中，图象起点对应出发时间和初始距离，上升终点对应到达图书馆的时间和距离，水平线段的起点和终点对应休息的起止时间）； （2）变化趋势信息：图象上升、下降、水平分别对应函数值随自变量的增大而增大、减小、不变（如导入情境中，上升段表示离家距离随时间增大而增大，水平段表示距离不变即休息，下降段表示距离随时间增大而减小）； （3）对应值信息：根据自变量取值找函数值，或根据函数值找自变量取值（如已知某时间t，可从图象中找对应离家距离s；已知离家距离s，可找对应时间t）。 第3页：例题讲解——图象应用实战 1. 例题1（实际问题应用）：如图是某电动车行驶时，剩余电量y（单位：%）随行驶时间x（单位：h）变化的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）电动车出发时的剩余电量是多少？（2）行驶3小时后，剩余电量是多少？（3）剩余电量为50%时，电动车行驶了多久？（4）该电动车行驶多少小时后，剩余电量为0？ 2. 解题过程示范： （1）找出发时的剩余电量：出发时x=0，对应图象起点的纵坐标，由图象可知y=100，故出发时剩余电量100%； （2）行驶3小时后剩余电量：找x=3对应的y值，由图象可知x=3时y=40，故剩余电量40%； （3）剩余电量50%时的行驶时间：找y=50对应的x值，由图象可知y=50时x=2，故行驶了2小时； 第4页：进阶例题与巩固练习 1. 例题2（函数关系应用）：已知函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(0,2)和(3,8)，求该函数的解析式。 解题步骤：（1）明确图象上的点满足函数解析式，将(0,2)代入y=kx+b得2=k×0+b，解得b=2；（2）将(3,8)和b=2代入得8=3k+2，解得k=2；（3）故函数解析式为y=2x+2。 2. 巩固练习（分组完成）： 第一组：某商场销售某种商品，销售量y（件）随销售单价x（元）变化的图象如下，根据图象回答：销售单价为50元时，销售量是多少？销售量为30件时，销售单价是多少？ 第二组：已知一次函数的图象经过点(1,3)和(-1,-1)，求该函数的解析式，并判断点(2,5)是否在该函数的图象上。 3. 点评总结：核对练习答案，强调“图象上的点与函数解析式的对应关系”是解决此类问题的核心，提取信息时要准确对应横纵坐标。 4. 易错点提醒：读取图象信息时，注意区分横纵坐标对应的变量；利用图象求解析式时，确保代入点的坐标准确，计算无误。 5. 学生实践：第一组动手分析图象，第二组根据点的坐标求解析式，教师巡视指导。 第5页：课堂小结——梳理脉络，深化理解 1. 师生共同回顾核心内容： （1）函数图象的应用方向：提取特殊点、变化趋势、对应值等信息；解决实际问题；求函数解析式；判断点是否在函数图象上； （2）核心方法：利用“图象上的点与函数对应值一一对应”“图象特征反映变量变化规律”的本质，将图形信息转化为数学信息； （3）解题关键：准确识别横纵坐标对应的变量，仔细读取图象信息，规范代入计算。 2. 重难点强调：从图象中提取有效信息是基础，利用图象与函数解析式的关系解决问题是核心，要始终牢记“数形结合”思想； 3. 思想升华：总结“数形结合”思想的价值——图象能直观呈现变量关系，解析式能精准描述变量关系，二者结合可更高效地解决函数问题，为后续复杂函数应用奠定基础。 通过前几节课的学习，同学们知道要表示一个具体的函数，除了可以写出函数解析式，还可以用哪些方式表示吗？ 还可以列表格 还可以画函数图象 课堂导入 解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法，其中的等式叫做函数解析式. 我们之前是怎么求函数解析式的？ 知识点1：解析式法 新知探究 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 +0.3 +0.3 +0.3 +0.3 +0.3 6个点在一条直线上. 在这个时间段中水位可能是始终以同一速度匀速上升的. 归纳总结 描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑曲线连接起来. 例题练习 在下列式子中，对于 x 的每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是 x 的函数.画出这些函数的图象： (1) y=x+0.5； (2) 解：(1)从式子 y = x+0.5可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数. 从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表(计算并填写下表中空格) . x … 3 2 1 0 1 2 3 … y … 0.5 0.5 1.5 2.5 … 2.5 1.5 3.5 如图，要做一个面积为12m2的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m. （1）变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围； （2）能求出这个问题的函数解析式吗？ （3）当x的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系； （4）能画出函数的图象吗? < 针对训练 > x （3）列表 x 1 2 3 4 5 6 y 26 16 14 14 14.5 16 （4）函数图象如图所示. 小明同学骑自行车去郊外春游,如图表示他离家的 距离y(km)与所用的时间x(h)之间关系的函数图象. (1)根据图象回答：小明到达离家最远的地方 需___h； (2)小明出发2.5 h后离家______km； (3)小明出发_________h后离家12 km. 3 22.5 2.5 12 0.8或5.2 13 解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图象信息为数字信息. 主要步骤如下： (1)了解横、纵轴的意义； (2)从__________上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图象中端点,拐点等特殊点的实际意义. 图象形状 14 跟踪训练2　小刚从家骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校，如图是他本次所使用的时间与离家距离的关 解　由图象可知，小刚一共行驶的路程为1 200+(1 200-600)+(1 500-600)=2 700(米)，一共用了14分钟. 系示意图.根据图中信息，回答下列问题： (2)本次上学途中，小刚一共行驶了　　米，一共用了　　分钟；  跟踪训练2　小刚从家骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校，如图是他本次所使用的时间与离家距离的关系示意图.根据 解　由图象可知，0~6分钟的速度为1 200÷6=200(米/分钟)， 6~8分钟的速度为(1 200-600)÷(8-6)=300(米/分钟)， 12~14分钟的速度为(1 500-600)÷(14-12)=450(米/分钟)， ∴在整个上学的途中小刚骑车的最快速度是450米/分钟，该速度不在安全限度内. 图中信息，回答下列问题： (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超过了安全限度，问：在整个上学的途中小刚骑车的最快速度是多少？该速度在安全限度内吗？ 观察两个函数图象，随着x由小变大时，函数图象是怎样变化的？ 随着x的增加，y的值也增加. 随着x的增加，y的值下降. 新课探究 新课导入 随堂练习 课后作业 课后小结 思 考 描点法画函数图象的一般步骤 第一步：列表 第二步：描点 第三步：连线 表中给出一些自变量的值以及对应的函数值； 在直角坐标系中，以自变量为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中的数值对应的各点； 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来. 新课探究 新课导入 随堂练习 课后作业 课后小结 函数 y=0.3t+3(0≤t≤5) 是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h 水位上升 0.3t m，即水位 y 为(0.3t+3) m. 其图象是图中点 A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段 AB. 如果在这 5 h内，水位一直匀速上升，即升速为 0.3 m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升 0.3m 是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律. （3）据估计这种上涨规律还会持续 2 h，预测再过 2 h 水位高度将达到多少米？ 如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过 2 h，即 t=5+2=7(h) 时，水位高度y=0.3×7+3=5.1(m). D 20 3800 练习3 某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况.下列说法正确的是( ) A.正午12点时，该地气温最高 B.这一天早上6点之后，该地气温一直在升高 C.该地这一天只有一个时刻的气温达到 D.该地这一天的最高与最低气温差大约是 解析：A.15点时，该地气温最高，故选项错误； B.这一天早上6点之后，该地气温先下降，然后再升高，然后在下降，故选项错误； C.该地这一天有两个时刻的气温达到 ， 故选项错误； D.该地这一天的最高与最低气温差大约是 ，故选项正确.故选：D. (4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 ，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里.） 解：当 时， ， ， ， 事故发生时，汽车是超速行驶. 答：推测刹车时车速是 ，所以事故发生时，汽车是超速行驶. 练习4 随着我国人工智能科技的快速发展,智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作,它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作,甲机器人工作一段时间后、停工保养.保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示. (1)甲机器人停工保养的时间为______分钟, ______； (2)求 所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件, 则乙机器人工作时间为分钟. $