17.1 一元二次方程 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的判断，通过复习方程、一元一次方程等旧知，结合蔬菜产量增长率、长方形空地修路等实际问题，搭建新旧知识桥梁，引导学生从具体情境抽象出方程模型。 其亮点是以实际问题培养数学眼光，如从产量增长和面积问题抽象数量关系，通过对比辨析发展数学思维，如比较一元一次与二次方程异同，规范表达强化数学语言，如一般形式及根的验证。帮助学生建立知识体系，提升抽象与推理能力，为教师提供结构化教学资源，便于高效授课。

沪科版-数学-八年级下册 第17章 一元二次方程及其应用 17.1 一元二次方程 1 知识回顾 没有未知数，不是方程 1.下列式子哪些是方程？如果是，是什么类型的方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 不是等式，不是方程 一元一次方程 二元一次方程 不是等式，是不等式 分式方程 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 课堂引入 1.什么叫作一元一次方程，它有什么特点？ 2.下列式子哪些是方程？ 2＋6＝8；2x＋3；5x＋6＝22； x＋3y＝8；x－5<18；－2＝9. 获取新知 问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为100t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为200t），要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 知识点1：一元二次方程的概念 思考： 1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？ 方程 dell (d) - 通过实际问题让学生经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元二次方程，让学生认识一元二次方程来源于实际，体会学习方程的意义和作用. 2.如图：假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x, 去年的产量为100t， 那么今年无公害蔬菜产量为 t， 明年无公害蔬菜产量为 t. 100+100x=100(1+x) 100(1+x)+100(1+x)x=100(1+x)2 100 100 100（1+x） 100（1+x）. x 100x 去年 今年 明年 知识模块一　一元二次方程 探究新知 问题1：某蔬菜队去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%） x 今年无公害蔬菜产量： 100 + 100x = 100(1 + x) (t) 明年无公害蔬菜产量： 100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t) 今年 100 100x 明年 100(1+x) 100(1+x)·x 100 去年 根据题意，得 100(1 + x)2 = 200. 化简，得 (1 + x)2 = 2. 整理，得 x2 + 2x – 1 = 0. 它是一 元一次方程吗？它有什么特点？ 只含一个未知数 x 且其次数是 2 知识梳理 一元二次方程的概念 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫作一元二次方程. 一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，其中ax2叫作 ，a是 ； bx叫作 ，b是 ；c叫作 . 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式. 注意点：只要满足a≠0即可，b，c可以为0. 一 2 整式 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 例1　当m＝　　　　时，方程(m＋3)x|m|-1＋3x－2＝0是关于x的一元二次方程.  3 解析　∵(m＋3)x|m|-1＋3x－2＝0是关于x的一元二次方程， ∴∴ ∴m＝3. 问题2：如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？ 20 32 (单位：m) x x 横向小路的面积： 32x m2 纵向小路的面积： 2×20x m2 重叠部分的面积： 2x2 m2 32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570 整理，得 x2 – 36x + 35 = 0 12 有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？ 思考： 20 32 (单位：m) x 32 (单位：m) x 20 请观察前面得到的三个方程并回答问题： x2-x-56=0 x2+2x-1=0 x2-36x+35=0 （1）它们是一元一次方程吗？ （2）它们与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2 特点： 一起观察 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程，叫做一元二次方程． 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax²+bx+c=0 （ a≠0 ） 的形式. 一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0） ——一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）. 概念学习 跟踪训练1　(1)下列方程中，是一元二次方程的是 A.2x2＝1 B.x2＋＝1 C.ax2＋2x＋3＝0 D.x2－y－2＝0 解析　A项，2x2＝1，是一元二次方程，符合题意； B项，x2＋＝1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C项，当a≠0时，ax2＋2x＋3＝0是一元二次方程，a＝0时，ax2＋2x＋3＝0不是一元二次方程，不符合题意； D项，x2－y－2＝0，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意. √ (2)将一元二次方程5x2－4x＝1化成一般形式后(二次项系数为正)，二次项系数和一次项系数分别是 A.5，－1 B.5，－4 C.5，1 D.5，4 √ 解析　∵一元二次方程5x2－4x＝1， ∴5x2－4x－1＝0， ∴二次项为5x2，一次项为－4x， ∴二次项系数和一次项系数分别是5，－4. x2 – 36x + 35 = 0 这两个方程有什么共同点？ 等号两边都是整式； 思考： x2 + 2x – 1 = 0 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是 2. 归纳总结 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程. 一元 二次 a x 2 + b x + c = 0 二次项系数 二次项 一次项 常数项 一次项系数 (a ≠ 0) 一元二次方程的结构 下列方程中哪些是一元二次方程？ 是一元二次方程的有：____________ 可能为0 是分式 是二次根式 两个未知数 针对训练 例2　(课本P21例题)已知方程3x(x－1)＝2(x＋2)＋4. (1)把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； (2)判断－1是否为该方程的根. 解　(1)去括号，得3x2－3x＝2x＋4＋4. 移项、合并同类项，得方程的一般形式：3x2－5x－8＝0. 它的二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－8. (2)把x＝－1代入原方程的左右两边，得左边＝3×(－1)×(－1－1)＝6.右边＝2×(－1＋2)＋4＝6. 因为左边＝右边，所以－1是该方程的根. 反思感悟 判断一个数是不是方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根. 什么是一元二次方程？举例说明． 答：像x2＋2x－1＝0，x2－36x＋35＝0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程． 典例精析 范例1：下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 ( ) A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0 C．x2－1＝y D．x2＋2x＝x2－1 A 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 想一想 例3　某地举行一次乒乓球比赛，在女子单打的第一轮比赛中，每一个选手都和其他选手进行一场比赛，优胜者将参加下一轮比赛. (1)如果第一轮有10名选手参加比赛，则一共要进行多少场比赛？ 解题方案：第1个人分别与其他 　 个人比赛；第2个人分别与其他　 个人比赛，…，依次类推，共10个人，如此共有　　次比赛，但此时每两个人之间都是按比了两次赛进行计算的.因此，10个人每两人之间比一次赛，共比了　　次赛，即　 　　　.  解　9　9　90　45　×10×(10－1)＝45(场) 例3　某地举行一次乒乓球比赛，在女子单打的第一轮比赛中，每一个选手都和其他选手进行一场比赛，优胜者将参加下一轮比赛. (2)如果第一轮有n名选手参加比赛，则一共要进行多少场比赛？ (3)如果第一轮共进行300场比赛，则参加这次乒乓球女子单打比赛的选手共有多少人？(只需设未知数，根据题意列出方程，并化为一般形式) 解　(2)一共要进行n(n－1)场比赛. (3)设参加这次乒乓球女子单打比赛的选手共有x人， 由题意得x(x－1)＝300， 整理得x2－x－600＝0. 归纳总结 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax2 + c = 0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax2 = 0(a ≠ 0) a 0 0 一元二次方程的特殊形式： 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件 使方程左右两边相等的 未知数的值 概念 一般形式 一元二次方程 的根 一元二次方程 课堂小结 $