17.2.1 配方法 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，通过复习平方根性质及解x²=2等方程导入，结合油漆刷正方体盒子的实际问题引出直接开平方法，再以x²+2x-1=0过渡到配方法，搭建旧知到新知的递进学习支架。 其亮点在于用实际问题培养数学眼光，通过配方法步骤（移项、配方、开方）发展数学思维中的推理与运算能力，以表格总结根的情况体现数学语言的简洁。实例分层且丰富，助力学生掌握转化思想，教师可借助清晰结构提升教学效率。

17.2 一元二次方程的解法 17.2.1 配方法 第十七章 一元二次方程 M A T H 22002 学习目标 1. 理解直接开平方法和配方法，会利用这两种方法熟练地解二次项系数为 1 的一元二次方程； (重点) 2. 会利用配方法灵活地解决二次项系数不为 1 的一元二次方程； 3. 通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想. (难点) M A T H 22002 导入新课 1.什么叫平方根？平方根有哪些性质？ 答：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，用式子表示为：若x2＝a，则x叫作a的平方根．平方根有下列性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数.0的平方根是0，负数没有平方根． M A T H 22002 2.解下列方程： (1)x2＝2；(2)4x2－1＝0. 解：(1)由平方根的定义得x＝±；(2)4x2＝1，x2＝，由平方根的定义得x＝±. M A T H 22002 问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500, 即 x2 = 25． 开平方得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 直接开平方法 1 M A T H 22002 试一试： 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法. (1) x2 = 4； (2) x2 = 0； (3) x2 + 1 = 0. 解：(1) 根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. (3) 移项，得 x2 = -1．∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无解. (2) 根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. M A T H 22002 知识模块一　运用直接开平方法解一元二次方程 探究新知 试一试 求 x2 = 9 中 x 的值. 开平方，得 x=± x = ±3 所以开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根： x1 = 3，x2 = –3. 像这样的求一元二次方程的根的方法，叫作直接开平方法. M A T H 22002 练一练： 用直接开平方法解下列方程： （1）x2 = 36；（2）x2 – 0.81 = 0. 解：（1）开平方，得x=± x = ±6 所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 6. （2）原方程可化为 x2 = 0.81 x = ±0.9 所以原方程的根是 x1 = 0.9，x2 = – 0.9. 开平方，得x=± M A T H 22002 我们已解过一些特殊的一元二次方程,比如求x2=9中x的值.它的解法就是开平方,即x=±3.所以方程x2=9的两个根为x1=3,x2=-3.像这样求一元二次方程x2=9根的方法,叫作直接开平方法. M A T H 22002 例1 用直接开平方法解下列方程. (1) 3x2=12 (2) (x+3)2=5 解:两边同除以3,得x2=4. 开平方,得x=±2. 所以原方程的根是x1=2, x2=-2. 解:开平方，得x+3= x1= ，x2= . M A T H 22002 思考 怎样解17.1节问题1中得到的方程 x2+2x-1=0? 这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式？ 下面，对这个方程进行变形： 把常数项移到等号右边，得 对等号左边配方，得 这时，对上式直接开平方，得 所以原方程的根是 x2+2x=1 x2+2x+1= 1+1 (x+1)2= 2 即 为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数？ 为了使左边配成 x2+2bx+b2的形式 M A T H 22002 (2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0， 所以方程无实数根. 一般地，对于可化为 x2 = p 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 知识要点 M A T H 22002 例1 用直接开平方法解下列方程： (1) 3x² = 12； (2) (x + 3)² = 5. 解： (1) 两边同除以 3 ，得 x² = 4. 开平方，得 x = ±2. 所以原方程的根是 x = 2，x = -2. 典例精析 M A T H 22002 例2 解下列方程： (1) 解得 x1 = 3，x2 = -1. 解：移项，得 ∵ x - 1 是 4 的平方根， ∴ x - 1 = ±2. 解得 x1 = ， x2 = . (2) 解： 移项，得 两边都除以 12，得 ∵ 3 - 2x 是 0.25 的平方根， ∴ 3 - 2x = ±0.5, 即 3 - 2x = 0.5 或 3 - 2x = -0.5. M A T H 22002 练一练： （1）3(x + 1)2 = 48；（2）2(x – 2)2 – 4 = 0. 解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 = 16 开平方，得 x + 1 = ±4 所以原方程的根是 x1 = 3，x2 = – 5. （2）原方程可化为 (x – 2)2 = 2 所以原方程的根是 x1 = + 开平方，得 x – 2 = ± M A T H 22002 归纳总结 对于一元二次方程 (x + n) 2 = p： （1）当 p ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根 x1 = + （2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n； （3）当 p ＜ 0 时，方程无实数根. M A T H 22002 一移常数项；二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 配方法解方程的基本步骤 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． M A T H 22002 p＞0 P=0 P＜0 根的个数 两个不等的实数根： 两个相等的实数根： p的范围 x1=x2= 0 无实数根 形如(x+n)2=p的方程的根的情况 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式， 那么就有： M A T H 22002 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探究交流 M A T H 22002 问题1 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2; (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a - b 配方法 问题2 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1) x2 + 4x + = ( x + )2 (2) x2 - 6x + = ( x - )2 22 2 32 3 (3) x2 + 8x + = ( x + )2 (4) x2 - x + = ( x - )2 你发现了什么规律？ 42 4 2 M A T H 22002 知识模块二　配方法 先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫作配方法． 配方法： 配方法的基本思路： 把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. M A T H 22002 “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方求解的方法，这是一种化归方法. M A T H 22002 解方程：x2 + 2x - 1 = 0. (1) 问题1 方程 (1) 怎样变成 (x + n)2 = p 的形式呢？ x2 + 2x - 1 = 0 x2 + 2x = 1 移项 x2 + 2x + 1 = 1 + 1 两边都加上 1 二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方 探究交流 M A T H 22002 问题2 为什么在方程 x2 + 2x = 1 的两边加上 1？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完全平方式。 要点归纳 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法。 把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解。 “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法。 配方法是将一元二次方程通过配方转化成可用直接开平方法求解的方法，这是一种化归方法。 M A T H 22002 解法提醒 1. 用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解. 2. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方的前提是二次项系数为1. M A T H 22002 归纳总结 用配方法解一元二次方程的步骤： 化二次项系数为 1. 1 2 移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边. 3 配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方. 4 开方，利用平方根的意义开平方. 5 解两个一元一次方程. 最关键的步骤 M A T H 22002 练一练： 解下列方程： （1）x2 = 25；（2）(2x – 2)2 = x2； （5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0. （3）x ； （4）x2 – 3x – 2 = 0； 直接开平方法 配方法 x = ±5 所以原方程的根是 x1 = 5，x2 = – 5. （2）开平方，得 2x – 2 = x 或 2x – 2 = – x 所以原方程的根是 解：（1）开平方，得 x = ± = ， = . M A T H 22002 配方法 定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 直接开平方法 利用平方根的定义求方程的根的方法 M A T H 22002 $