17.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 课件-2024-2025学年沪科版数学八年级下册

第17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 沪科版八年级下册 第1课时 直接开平方法 1.理解一元二次方程降次的转化思想。 2.会利用直接开平方法解形如 x2 =p或 (mx+n)2 =p(p≥0)的方程。 学习目标 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2=1500 ①， 由此可得 x2=25 根据平方根的意义，得 即x1= 5，x2=－5. x=±5， 可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． 探究新知 一般地,对于形如 x2=p(p≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 ,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 思考1 当 p=0时,方程 x2=p的解又怎样？ 此时方程有两个相等的解x1=x2=0. 思考2 当 p<0时,方程 x2=p 的解又怎样？ 此时方程无解. 归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 知识归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) 2x2=12； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 x=± , ∴x1=30, x2=－30. ∴ x1= , x2=－ . （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=± 30， 例题 2. 解下列方程： 解： － 把x+3看作整体，将方程左边“降次”， 转化为两个一元 一次方程 1. 想一想 例2 解方程： （x－ ）2 = （ －1）2 . 解析：两边都是完全平方形式，可直接开平方. 解：直接开平方，得 ∴原方程的解为 x=- 知识点1　形如x2＝p（p≥0）的一元二次方程的解法 1. （教材P23练习变式）一元二次方程9x2＝4的解是　（　C　） A. x＝ B. x＝－ C. x1＝ ，x2＝－ D. x1＝ ，x2＝－ C 巩固练习 2. （2023·蚌埠龙子湖区月考）用直接开平方法解下列一元二次方程， 其中无解的方程为（　A　） A. x2＋9＝0 B. －2x2＝0 C. x2－3＝0 D. （x－2）2＝0 A 3. 若x1，x2是方程x2－ ＝0的两个根，则x1x2＝ 　－ 　. － 　 4. 解方程： （1）x2－0.69＝1； 解：（1）∵x2－0.69＝1，∴x2＝1.69. 开平方，得x＝±1.3， ∴x1＝1.3，x2＝－1.3. （2）4x2－10＝0. 解：（2）∵4x2－10＝0，∴x2＝ . 开平方，得x＝± ， ∴x1＝ ，x2＝－ . 知识点2　形如（mx＋n）2＝p（m≠0，p≥0）的一元二次方程的解 法 5. （链接教材）解方程：（2x＋1）2＝9. 开平方，得2x＋1＝ ⁠， 即2x＋1＝ 或2x＋1＝ ⁠， 所以x1＝ ，x2＝ ⁠. ±3　 3　 －3　 1　 －2　 6. 一元二次方程（x＋6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个 一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（　D　） A. x－6＝－4 B. x－6＝4 C. x＋6＝4 D. x＋6＝－4 D 7. 若关于x的方程（x＋3）2＝a＋1有实数根，则a的取值范围是 （　B　） A. a≥0 B. a≥－1 C. a＞－1 D. a≠－1 B 8. （教材P30习题T1变式）解方程： （1）（x－1）2＝－3； 解：∵（x－1）2＝－3＜0， ∴该方程无实数根. （2）3（2x－1）2＝27； 解：整理，得（2x－1）2＝9. 开平方，得2x－1＝±3. ∴x1＝2，x2＝－1. （3）20（1＋x）2＝28.8； 解：整理，得（1＋x）2＝1.44. 开平方，得1＋x＝±1.2. ∴x1＝0.2，x2＝－2.2. （4）4（x＋3）2－6＝0. 解：整理，得（x＋3）2＝ . 开平方，得x＋3＝± . ∴x1＝－3＋ ，x2＝－3－ . 9. 一个简单的数值运算程序如图所示，由此可知输入x的值为 （　C　） 输入x （x－1）2 ×（－3） 输出－9 A. ＋1 B. － ＋1 C. ＋1或－ ＋1 D. 无法确定 C 10. （2024·池州月考）若x＝2是关于x的方程x2－c＝0的一个根，则这 个方程的另一个根是（　A　） A. x＝－2 B. x＝ C. x＝2 D. x＝4 [变式] 若关于x的一元二次方程x2＝a（a＞0）的两个根分别是2m－1 与m－5，则m＝ ⁠. A 2　 11. 【整体思想】（2024·合肥期中）已知关于x的方程a（x＋m）2＋ b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的根是x1＝2，x2＝－1，那么关于x 的方程a（x＋m＋2）2＋b＝0的根是（　D　） A. x1＝2，x2＝－3 B. x1＝4，x2＝1 C. x1＝0，x2＝－1 D. x1＝0，x2＝－3 D 12. （易错）若（x2＋y2－1）2＝4，则x2＋y2＝ ⁠. 3　 13. 解方程： （1）x2－8x＋16＝5； 解：整理，得（x－4）2＝5. 两边开平方，得x－4＝± . ∴x1＝4＋ ，x2＝4－ . （2）（易错）（x－2）2＝（2x＋5）2； 解：两边开平方，得x－2＝±（2x＋5）. ∴x－2＝2x＋5或x－2＝－（2x＋5）， ∴x1＝－7，x2＝－1. （3）（x－5）4＝ . 解：由题意，得（x－5）2＝ （负值舍去）. 两边开平方，得x－5＝± . ∴x1＝ ，x2＝ . 14. 对于实数p，q，我们用符号min{p， 表示p，q两数中较小的 数.如min{1，2}＝1.若min{（x－1）2，x2}＝1，求x的值. 解：∵min{（x－1）2，x2}＝1， ∴（x－1）2＝1或x2＝1. ①当（x－1）2＝1时，解得x＝2或x＝0. 当x＝0时，x2＝0，（x－1）2＞x2，不符合题意； 当x＝2时，x2＝4，（x－1）2＜x2，符合题意. ②当x2＝1时，解得x＝1或x＝－1. 当x＝1时，（x－1）2＝0，x2＞（x－1）2，不符合题意；当x＝－1 时，（x－1）2＝4，x2＜（x－1）2，符合题意. 综上所述，x的值为2或－1. 概念 步骤 基本思路 关键要把方程化成x2=p(p ≥0)或（x+n)2=p（p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 直接开平方法 利用平方根的定义求方程的根的方法 课堂小结 $$