专题12 和、差、积、商的变化规律（能力清单+核心精要+实战演练）-2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训（通用版）

**基本信息** 围绕和差积商变化规律，通过“能力清单-核心精要-实战演练”模块设计，聚焦规律理解、灵活应用与体系构建，题型层次分明，融合生活情境与真题考点。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|13|规律适用条件、运算推理（如小数减法错算分析）|结合错误计算情境考查规律辨析| |填空题|13|规律表达、几何应用（如正方体表面积体积变化）|要求用字母式表示规律（如差不变）| |计算题|2|规律直接应用（如根据56×83写结果）|多方法计算（如25×36的三种算法）| |解答题|8|实际应用（如鱼塘面积扩大）、规律验证（如分数除法推理）|联系生活场景（购物、工程）与真题趋势（找规律）|

2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题12 和、差、积、商的变化规律 （能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出和、差、积、商变化规律的具体内容，明确各规律的适用条件与字母表达式，理解规律在整数、小数、分数四则运算中的通用性，掌握规律之间的关联与区别。 2、能熟练运用和、差、积、商的变化规律进行计算推理，严格遵循规律的适用前提，能准确处理多步运算中的规律应用，避免条件混淆错误，同时掌握通分、约分、小数与分数互化等运算特有规则，灵活选择合适的互化方式简化计算。 3、能根据不同题目要求，灵活选用“规律直接套用法”“逆向推导法”“分步验证法”解决相关问题，能根据题型特点选择最优解题策略，比如复杂情境下先分步梳理数量关系再套用规律，符合规律特征的算式优先运用规律简化计算。 4、进行规律应用前，会习惯性确定“运算类型基座”与“规律适用逻辑”，明确每一步推理对应的实际意义，避免机械套用规律而忽略运算本质，同时关注运算中的细节问题，比如0在运算中的特殊性。 5、做题时，能圈出题目中的“和”“差”“积”“商”“不变”“扩大”“缩小”等关键词，快速定位解题方向，明确计算要求与问题类型。 6、能熟练进行规律应用的验算，掌握逆运算验证、重新推导、举例验证等方法，能准确检查推理过程中的条件混淆、逻辑错误等问题，养成良好的验算习惯。 7、能清晰梳理和、差、积、商变化规律相关概念的逻辑关联，构建完整的知识体系，比如明确整数、小数、分数四则运算与变化规律、实际应用之间的内在联系。 8、能熟练运用和、差、积、商的变化规律进行算式的转化与变形，理解算式在不同情境下的等价表达，比如将复杂的分步算式整合为简洁的综合算式，根据规律对算式进行合理改写。 9、能结合生活实际理解和、差、积、商变化规律的意义，比如用购物账单计算、理财收益计算、商品税率计算、工程进度统计等生活场景中的规律应用，能准确进行相关计算和分析，体会数学在生活中的应用价值。 一、和的变化规律 1、加法中，一个加数不变，另一个加数加上（或减去）一个数，和也要加上（或减去）同一个数。 2、加法中，当一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数减去（或加上）同一个数时，它们的和不变。 二、差的变化规律 1、减法中，被减数加上（或减去）一个数，减数不变，差也要加上（或减去）同一个数。 2、减法中，减数加上（或减去）一个数，被减数不变，差反而要减去（或加上）同一个数。 3、减法中，当被减数和减数都加上（或减去）同一个数时，它们的差不变。 三、积的变化规律 1、乘法中，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，积也要乘（或除以）同一个数。 2、乘法中，当一个因数乘（或除以）一个数（0除外）另一个因数除以（或乘）同一个数时，它们的积不变。 四、积的变化规律 1、除法中，被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，商也要乘（或除以）同一个数。 2、除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），商反而要除以（或乘）同一个数。 3、除法中，当被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外）时，它们的商不变。 一、选择题 1．小明在计算一道小数减法时，把被减数个位上的“9”看成了“6”，把减数十分位上的“2”看成了“5”。错误答案比正确答案（    ）。 A．少了3.3 B．多了3.3 C．少了2.7 D．多了2.7 【答案】A 【分析】把被减数个位上的“9”看成了“6”，此时差少了9－6＝3；把减数十分位上的“2”看成了“5”，此时多减了0.5－0.2＝0.3，差少算了0.3，将少的差加起来即可解题。 【解答】9－6＝3 0.5－0.2＝0.3 3＋0.3＝3.3 所以错误答案比正确答案少了3.3。 2．减数增加4.2，要使差减少3.6，被减数应增加（    ）。 A．4.2 B．3.6 C．0.6 D．7.8 【答案】C 【分析】根据“被减数－减数＝差”，可知减数增加4.2，那么差就减少4.2；要使差减少3.6，用4.2减去3.6，差是几就是被减数应增加多少，列式计算即可。 【解答】4.2－3.6＝0.6 减数增加4.2，要使差减少3.6，被减数应增加0.6。 故答案为：C 3．用计算器计算13.49＋28.37时，按成了13.49＋28.73，要修正错误，可接着输入（    ）。 A．＋0.36 B．－0.63 C．＋0.36 D．－0.36 【答案】D 【分析】一个加数13.49相同，另一个加数由28.37变成28.73，大了28.73－28.37＝0.36，和就变大0.36，要使结果不变，就要减去0.36。 【解答】28.73－28.37＝0.36，要修正错误，需要输入－0.36。 故答案为：D 4． a＋＝b＋，a与b的大小关系是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【答案】B 【分析】设等式的值为1，根据一个加数＝和－另一个加数，分别求出a、b的值，再比较大小即可。 【解答】设a＋＝b＋＝1 a：1－＝ b：1－＝ 因为＜，所以a＜b。 故答案为：B 5．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（    ）。 A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先把分解成，再与相比较，发现它们的被减数相同，减数不同，减数比减数大，根据“被减数相同时，减数越大，差越小”。据此解答即可。 【解答】 因为，所以； 算成了的计算结果比原式的计算结果小。 故答案为：B 6．已知，根据因数和积的变化规律可以知道（    ）。 A．60 B．600 C．50 D．不确定 【答案】B 【分析】积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也要乘或除以相同的数。所以，□×50＝□×（5×10）＝60×10＝600；据此解题即可。 【解答】□×5＝60 □×50 ＝□×（5×10） ＝□×5×10 ＝60×10 ＝600 即：已知，根据因数和积的变化规律可以知道□×50＝600。 故答案为：B 7．算式★×420＝910×◆（★与◆大于0），下面判断正确的是（    ）。 A．★＞◆ B．★＜◆ C．★＝◆ D．无法确定 【答案】A 【分析】根据积的变化规律，可知一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数，积不变，所以比较420和910，谁大，那么另一个乘数就小。 【解答】根据积的变化规律，420＜910，所以★＞◆。 故答案为：A 8．一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律，可知一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大到原来的22倍。 【解答】2×2＝4 一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 9．在比例里，一个内项乘3，要使比例仍然成立，下面说法错误的是（    ）。 A．另一个内项除以3 B．一个外项乘3 C．一个外项乘 D．另一个内项乘 【答案】C 【分析】据比例的基本性质：两内项积等于两外项之积。一个内项乘3，另一个内项不变，则内项的积扩大到原来积的3倍，要使比例仍然成立，即外项的积也要扩大到原来的3倍，一个外项乘3即可。 【解答】A．一个内项乘3，另一个内项除以3，则内项的积不变，比例仍然成立，该说法正确。 B．一个内项乘3，另一个内项不变，则内项的积扩大到原来积的3倍，一个外项乘3，另一个外项不变，则外项的积扩大到原来积的3倍，比例仍然成立，该说法正确。 C．一个内项乘3，另一个内项不变，则内项的积扩大到原来积的3倍，一个外项乘，另一个外项不变，则外项的积缩小为原来积的，比例不成立，该说法错误。 D．一个内项乘3，另一个内项乘，则内项的积不变，比例仍然成立，该说法正确。 故答案为：C 10．两个数相除，商是50，余数是30。如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数分别是（    ）。 A．5，3 B．50，3 C．5，30 D．50，30 【答案】B 【分析】根据商的变化规律：被除数和除数同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一，商不变，余数也同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之一。据此解答即可。 【解答】由分析可知： 两个数相除，商是50，余数是30。如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商是50，余数是3。 故答案为：B 11．已知75×37＝2775，则以下运算不正确的是（    ）。 A．7.5×37＝277.5 B．2775÷370＝7.5 C．277.5÷3.7＝7.5 D．7.5×0.37＝2.775 【答案】C 【分析】积的变化规律：一个因数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），另一个因数不变，积就扩大到原来的几倍（或缩小的原来的几分之一）； 商的变化规律：被除数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），除数不变，商扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一）； 被除数不变，除数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一），商就缩小到原来的几分之一（或扩大到原来的几倍）； 被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，据此解答。 【解答】A．7.5×37＝277.5；75缩小到原来的，37不变，积缩小到原来的，运算正确。 B．2775÷370＝7.5；被除数不变，除数扩大到原来的10倍，商缩小到原来的．运算正确。 C．277.5÷3.7＝7.5；被除数除以10，除数除以10，商不变，商是75，运算不正确。 D．7.5×0.37＝2.775；7.5缩小到原来的，0.37缩小到原来的，积缩小到原来的，运算正确。 运算不正确的是277.5÷3.7＝7.5。 故答案为：C 12．计算和，都可以先想，这里的6表示（    ）。 A．计数单位。 B．计数单位的个数。 C．计数单位相除的商。 D．6个一。 【答案】B 【分析】根据题意，60中的6表示6个十，0.06中的6表示6个百分之一，再结合小数的意义解答即可。 【解答】据分析可知，计算和，都可以先想，这里的6表示计数单位的个数。 故答案为：B 13．同学们在研究分数除法计算时，出现了4种方法。四名同学对这些方法进行了分析和说明，表达不准确的是（    ）。 ① ② ③ ④ A．①②③④都用到了商不变的性质 B．四种方法都把除法运算转化成了已经学过的知识 C．③和④用到了分数的基本性质，改变了被除数和除数的计数单位 D．只要计算结果准确，过程就一定合理 【答案】D 【分析】解答这道题需明确：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。关键是结合“商不变的性质”“分数的基本性质”“转化思想”，逐一验证四个计算方法的逻辑，再判断选项表述的准确性。 ①让被除数和除数同时乘，依据商不变的性质，将除数转化为1，从而简化计算，原理合理。 ②让被除数和除数同时乘12，依据商不变的性质，将分数除法转化为整数除法10÷9，原理合理。 ③先通过分数的基本性质将化为、化为，此时计数单位变为；再拆分为“计数单位×个数”的形式，依据商不变的性质计算，原理合理。 ④先通过分数的基本性质将化为、化为，再依据商不变的性质转化为（5×4）÷（3×6），最终推导为（分数除法的计算法则），原理合理。 【解答】A．四种方法都通过“被除数和除数同乘一个数”，用到了商不变的性质，表述准确。 B．四种方法均将“分数除法”转化为“整数除法”“分数乘法”，表述准确。 C．方法③、④通过分数的基本性质改变了分子分母，将分数拆为“计数单位×个数”的形式，改变了计数单位，表述准确。 D．“计算结果准确，过程就一定合理”，表述错误。 故答案为：D 【点睛】分数除法的计算核心是转化思想：通过商不变的性质、分数的基本性质，将分数除法转化为整数除法或分数乘法。 二、填空题 14．我们学过商不变、积不变等规律，小欢用18÷6＝（18×a）÷（6×a）＝3（a不为0）来表示商不变；小乐用18×6＝（18×a）×（6÷a）＝108（a不为0）来表示积不变；我也会用这样的方式表示“差不变”：（ ）。 【答案】18－6＝（18＋a）－（6＋a）＝12（答案不唯一） 【分析】首先理解差不变规律，然后类比以上商不变、积不变的表达式构造差不变的算式。 【解答】以“18－6＝12”为例： 18－6 ＝（18＋a）－（6＋a） ＝18＋a－6－a ＝12 18－6 ＝（18－a）－（6－a） ＝18－a－6＋a ＝12 （答案不唯一，举例合理即可） 【点睛】差不变规律：被减数和减数同时加上或减去同一个数，差不变。 15．下图是边长为6厘米和边长为3厘米的大小两个正方形，其中有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积差是（ ）。 【答案】27平方厘米/27cm2 【分析】根据题意，左面涂色部分面积＝大正方形的面积－重合部分面积，右面涂色部分面积＝小正方形的面积－重合部分面积。根据差的变化规律（被减数和减数同时减去一个相同的数，差不变），两块没有重合的部分的面积差等于大正方形与小正方形的面积差。 【解答】6×6＝36（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） 36－9＝27（平方厘米） 所以，两块没有重合的阴影部分面积差是27平方厘米。 16．已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是（ ）；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是（ ）。 【答案】 8 14 【分析】如果被减数和减数同时增加几，差不变。一个加数不变，另一个加数增加几，和就增加几。据此解答。 【解答】已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是8；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，8＋3＋3＝14，那么现在的和是14。 17．在一个比例里，两个内项互为倒数，已知一个外项是，则另一个外项是（ ）；在这个比例中，如果外项乘5，另一个外项不变，这时两个内项积是（ ）。 【答案】 / 5 【分析】比例的两内项积＝两外项积，乘积是1的两个数互为倒数，1÷一个数＝这个数的倒数。两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。 【解答】在一个比例里，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，已知一个外项是，1÷＝1×＝，则另一个外项是；在这个比例中，如果外项乘5，另一个外项不变，1×5＝5，这时两个内项积是5。 18．一个棱长为4厘米的正方体，如果把它的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】 4 8 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2（a为棱长），正方体的体积公式：V＝a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积。据此解答。 【解答】2×2＝4 2×2×2＝8 它的表面积扩大到原来是4倍，体积扩大到原来的8倍。 19．根据13×32＝416，可以直接写出下面各题的积。 130×32＝（ ），0.13×3.2＝（ ），130×3.2＝（ ），（ ）。 【答案】 4160 0.416 416 【分析】对于130×32，一个因数13扩大到原来的10倍变为130，另一个因数32不变，则积也扩大到原来的10倍。 因为13×32＝416，所以130×32的积为416×10＝4160。 对于0.13×3.2，一个因数13缩小到原来的变为0.13，另一个因数32缩小到原来的变为3.2，则积缩小到原来的。所以0.13×3.2的积为416×＝0.416。 对于130×3.2，一个因数13扩大到原来的10倍变为130，另一个因数32缩小到原来的变为3.2，则积不变。所以130×3.2＝416。 对于，先将分数乘法转化为整数乘法的形式，。因为13×32＝416，所以。 【解答】因为13×32＝416，416×10＝4160，所以130×32＝4160； 积缩小到原来的。416×＝0.416，所以0.13×3.2＝0.416； 一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小到原来的，则积不变，所以130×3.2＝416； ，因为13×32＝416，所以。 20．根据规律填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×（ ）＝444444444 【答案】36 【分析】积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大多少倍，积也扩大多少倍，12345679这个因数不变，9扩大多少倍，积也跟随扩大多少倍，据此分析解答。 【解答】12345679×（9×4）＝111111111×4＝444444444 因此，12345679×36＝444444444。 21．已知△÷○＝270，那么3△÷○＝（ ），（△×30）÷（○×30）＝（ ）。 【答案】 810 270 【分析】除法运算中除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商就扩大到原来的几倍。被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【解答】①除数不变，被除数乘3，商也要乘3，270×3＝810。 ②被除数和除数都乘30，商不变。 （△×30）÷（○×30）＝270。 22．做除法时，错把除数的小数点点错，结果比原来扩大了100倍，变成335.6，正确的商应该是________。 【答案】3.356 【分析】根据小数点位置移动引起数的大小变化规律可知：把除数的小数点点错，即结果比原来扩大了100倍，则被除数不变，除数缩小100倍，则商扩大100倍，也就变成335.6，求正确的商，只要把335.6缩小100倍即可。 【解答】335.6÷100＝3.356 正确的商应该是3.356。 23．小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285，正确的和是（ ）。他在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是（ ）。 【答案】 353 50 【分析】小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，相当于把78看成10在计算，少加了78－10＝68，现在的和加上少加的数，即可得到原来正确的和；计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，相当于把除数缩小了，商扩大了10倍，要求正确的商，将错误的商缩小即可。 【解答】78－10＝68 285＋68＝353 500÷10＝50 【点睛】本题根据错写的数字情况，找出多加了或者是少减了几，多加的部分减去，少加的部分再加上即可。 24．如图，有一个装有一些果汁的瓶子和一个玻璃杯（玻璃杯装液体的部分是圆锥形）。如果把瓶子中的果汁全部倒入这种玻璃杯中，可以倒满（ ）杯。（瓶子和玻璃杯壁的厚度忽略不计） 【答案】5 【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此分别计算出果汁体积和玻璃杯容积，果汁体积÷玻璃杯容积＝倒满的杯数。计算时可根据商不变的规律进行简算。 【解答】[π×（10÷2）2×（9＋6）]÷[π×（10÷2）2×9÷3] ＝[π×（10÷2）2×（9＋6）÷π÷（10÷2）2]÷[π×（10÷2）2×9÷3÷π÷（10÷2）2] ＝[9＋6]÷[9÷3] ＝15÷3 ＝5（杯） 25．分数除法可以转化成分数乘法来计算，有一种推理方法是这样的：在这个推理过程中，依据的道理是（ ）。请用这样的方法计算：________＝________＝________。 【答案】 商不变的规律 【分析】观察的计算过程，被除数和除数同时乘，也就是同时乘除数的倒数，这样使得除数变为，此时转化为，即将分数除法转化成分数乘法来计算，这一过程应用了商不变的规律。 按此规律计算时，被除数和除数同时乘，使得除数变为1，将转化为，根据分数乘法的计算法则算出结果即可。、 商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。 【解答】在这个推理过程中，依据的道理是（商不变的规律）。请用这样的方法计算：＝＝。 26．如果M÷N＝4.5，那么（M×20）÷（N×20）＝（ ），如果7M＝8N，M和N成（ ）比例关系。（M和N均不为0） 【答案】 4.5 正 【分析】根据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。已知M÷N＝4.5，式子（M×20）÷（N×20）中，被除数M和除数N同时乘20，符合商不变的性质，因此商仍为4.5。 根据正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系。已知7M＝8N（M、N均不为0），两边同时除以7N，得。此时M与N的比值为（固定不变），符合正比例关系的定义，因此M和N成正比例关系。 【解答】M÷N＝4.5，式子（M×20）÷（N×20）中，被除数M和除数N同时乘20，符合商不变的性质，商仍为4.5。（M、N均不为0） 7M＝8N（M、N均不为0） （一定） 因此M和N成正比例关系。 如果M÷N＝4.5，那么（M×20）÷（N×20）＝4.5，如果7M＝8N，M和N成正比例关系。（M和N均不为0） 三、计算题 27．根据56×83＝4648，直接写出下面各题的得数。 56×8.3＝    0.56×0.83＝    5.6×8.3＝ 464.8÷5.6＝    46.48÷0.83＝    4648÷0.56＝ 【答案】464.8；0.4648；46.48 83；56；8300 【分析】根据积的变化规律，两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为零的数，积也同时乘或除以这个数；据此写出3个乘法算式的结果； 根据积÷因数＝另一个因数，可得4648÷83＝56、4648÷56＝83，再根据商不变的性质和商的变化规律，被除数和除数，同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；被除数不变，除数除以几，商反而乘几；据此写出3个除法算式的结果。 【解答】根据56×83＝4648，可得： 56×（83÷10）＝56×8.3＝4648÷10＝464.8； （56÷100）×（83÷100）＝0.56×0.83＝4648÷100÷100＝0.4648； （56÷10）×（83÷10）＝5.6×8.3＝4648÷10÷10＝46.48； 根据56×83＝4648，可得：4648÷83＝56、4648÷56＝83，据此可知： （4648÷10）÷（56÷10）＝464.8÷5.6＝83； （4648÷100）÷（83÷100）＝46.48÷0.83＝56； 4648÷（56÷100）＝4648÷0.56＝83×100＝8300。 28．尝试用三种不同的方法计算25×36。 方法一： 方法二： 方法三： 【答案】见详解 【分析】方法一：先把36拆成4×9，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把25×（4×9）变成（25×4）×9进行简算； 方法二：先把36拆成30＋6，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把25×（30＋6）变成25×30＋25×6进行简算； 方法三：根据积不变的规律，因数25乘4，另一个因数36除以4，把算式变成（25×4）×（36÷4）进行简算。 【解答】方法一： 25×36 ＝25×（4×9） ＝（25×4）×9 ＝100×9 ＝900 方法二： 25×36 ＝25×（30＋6） ＝25×30＋25×6 ＝750＋150 ＝900 方法三： 25×36 ＝（25×4）×（36÷4） ＝100×9 ＝900 四、解答题 29．两个数相乘，如果一个因数增加2，另一个因数不变，那么积增加8；如果一个因数不变，另一个因数减少3，那么积减少9。原来的积是多少？ 【答案】12 【分析】本题考查积的变化规律及乘法各部分间的关系。根据乘法意义，在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数增加几，积就增加几个不变的因数；另一个因数减少几，积就减少几个不变的因数。因此，可以通过积增加或减少的数值除以因数增加或减少的数值，求出对应的不变因数，最后将两个因数相乘即可求出原来的积。 【解答】其中一个因数：8÷2＝4 另一个因数：9÷3＝3 原来的积：4×3＝12 答：原来的积是12。 30．如图，小梅家原有一块占地280平方米的鱼塘，现如今要把宽增加到24米，长不变，扩大后的鱼塘面积是多少？ 【答案】 840平方米 【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的若干倍，得到的积就等于原来的积的若干倍；由长方形面积＝长×宽可知，长方形面积是它的长与宽的乘积，由积的变化规律可知，长方形长不变时，宽扩大为原来的（24÷8）倍，它的面积也扩大到原来的几倍，据此解答即可。 【解答】24÷8＝3 280×3＝840（平方米） 答：扩大后的鱼塘面积是840平方米。 31．丽丽在计算一道三位数除以一位数的题时，把被除数591错写成519，这样商比正确的商少了8，而余数没变。这道题正确的除数与余数分别是几？ 【答案】 9；6 【分析】因为余数不变，被除数减少的部分等于除数乘以商减少的部分，所以用被除数的差除以商的差即可得到除数。用正确的被除数除以求出的除数，计算出商和余数。据此解答。 【解答】 答：正确的除数是9，余数是6。 【点睛】解答本题的关键在于明确被除数的变化量与商的变化量之间的关系，通过被除数变化量与商变化量的关系求除数，再通过正确的被除数和除数求出正确的商和余数。 32．淘气在计算除法时，粗心地把被除数1460错写成1640，所得商比正确商多9，请你计算正确的商是多少？ 【答案】73 【分析】被除数÷除数＝商，商可以表示被除数中包含了多少个除数，错误的商比正确的商多了9，就表示1640比1460多出来的部分中包含了9个除数，用二者之差除以9就能算出除数，再用1460除以除以就能计算出正确的商。 【解答】除数：（1640－1460）÷9 ＝180÷9 ＝20 商：1460÷20＝73 答：正确的商是73。 33．找规律，填一填。 12345679×9＝111111111 12345679×27＝333333333 12345679×9＝111111111 12345679×63＝777777777 12345679×18＝__________________ 12345679×45＝__________________ 12345679×72＝__________________ 【答案】222222222；555555555；888888888 【分析】12345679×9与12345679×18对比，第一个乘数相同，18是9的2倍，所以积就是111111111的2倍，即222222222； 12345679×9与12345679×45对比，第一个乘数相同，45是9的5倍，所以积就是111111111的5倍，即555555555； 12345679×9与12345679×72对比，第一个乘数相同，72是9的8倍，所以积就是111111111的8倍，即888888888。 【解答】根据分析，12345679×18＝222222222 12345679×45＝555555555 12345679×72＝888888888 34．用计算器计算下面各题，你能发现什么规律？ 2424÷101＝       2424÷202＝        2424÷303＝         2424÷404＝ 4848÷101＝       4848÷202＝        4848÷303＝         4848÷404＝ 9696÷101＝       9696÷202＝        9696÷303＝         9696÷404＝ 根据上面发现的规律，直接写出下面各题的得数。 5757÷101＝           8484÷202＝           6060÷505＝           9191÷707＝ 【答案】24；12；8；6 48；24；16；12 96；48；32；24 规律见详解 57；42；12；13 【分析】先利用计算机计算，各算式结果为： 2424÷101＝24，2424÷202＝12，2424÷303＝8，2424÷404＝6，2424÷101＝24，4848÷101＝48，9696÷101＝96，通过观察计算结果，可以发现规律：横看，被除数不变，除数乘几（0除外），商反而除以几；竖看，除数不变，被除数乘几（0除外），商就乘几；然后根据发现的规律，直接解答即可。 【解答】2424÷101＝24       2424÷202＝12        2424÷303＝8         2424÷404＝6 4848÷101＝48       4848÷202＝24        4848÷303＝16         4848÷404＝12 9696÷101＝96       9696÷202＝48        9696÷303＝32         9696÷404＝24 我发现的规律是：在商不为0的除法算式里，当被除数不变时，除数乘几（0除外），商就除以几，除数除以几（0除外），商就乘几；当除数不变时，被除数乘几（0除外），商就乘几，被除数除以几（0除外），商就除以几。 根据上面发现的规律，可得： 5757÷101＝57           8484÷202＝42           6060÷505＝12           9191÷707＝13 35．说理。 验证“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，小明的方法是：÷＝（×）÷（×）＝（×）÷1＝× （1）被除数和除数可以同时乘是利用了（    ）。 （2）请你尝试用自己喜欢的方法验证：a÷b＝a×（b≠0）。 【答案】（1）商不变性质；（2）见详解 【分析】（1）商不变性质：被除数和除数扩大几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），商不变。 （2）因为乘积是1的两个数互为倒数，所以分数的倒数将分子和分母调换位置即可，所以a÷b＝a÷（1÷），去掉括号，a÷（1÷）变为a÷1×，a÷1＝a，所以a÷1×＝a×（b≠0）。 【解答】（1）被除数和除数可以同时乘是利用了商不变性质。 （2）a÷b ＝a÷（1÷） ＝a÷1× ＝a× 所以a÷b＝a×（b≠0）。（方法不唯一） 【点睛】本题主要考查了分数除法的计算方法，掌握倒数的定义以及商不变性质是解答本题的关键。 36．在计算“245÷35”时，为了使计算简便，小薇采取了如下算法： 245÷35 ＝（245×2）÷（35×2） ＝490÷70 ＝7 小慧采取了不同的算法： 245÷35 ＝（245÷5）÷（35÷5） ＝49÷7 ＝7 （1）你认为她们的做法对吗？请说出你的理由。 （2）如果简便计算“350÷25”，你打算怎样去算？写出两种不同的计算过程。 【答案】（1）对，小薇根据商不变的规律进行解答的，商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。 （2）见详解。 【分析】本题利用商不变的规律进行解答的，使计算更简便，商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。 【解答】（1）对，小薇根据商不变的规律进行解答的，商不变的规律是被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。 （2）利用商不变的规律进行解答。使计算更简便。 350÷25 ＝（350×4）÷（25×4） ＝1400÷100 ＝14 350÷25 ＝（350÷5）÷（25÷5） ＝70÷5 ＝14 学科网（北京）股份有限公司 $2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题12 和、差、积、商的变化规律 （能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出和、差、积、商变化规律的具体内容，明确各规律的适用条件与字母表达式，理解规律在整数、小数、分数四则运算中的通用性，掌握规律之间的关联与区别。 2、能熟练运用和、差、积、商的变化规律进行计算推理，严格遵循规律的适用前提，能准确处理多步运算中的规律应用，避免条件混淆错误，同时掌握通分、约分、小数与分数互化等运算特有规则，灵活选择合适的互化方式简化计算。 3、能根据不同题目要求，灵活选用“规律直接套用法”“逆向推导法”“分步验证法”解决相关问题，能根据题型特点选择最优解题策略，比如复杂情境下先分步梳理数量关系再套用规律，符合规律特征的算式优先运用规律简化计算。 4、进行规律应用前，会习惯性确定“运算类型基座”与“规律适用逻辑”，明确每一步推理对应的实际意义，避免机械套用规律而忽略运算本质，同时关注运算中的细节问题，比如0在运算中的特殊性。 5、做题时，能圈出题目中的“和”“差”“积”“商”“不变”“扩大”“缩小”等关键词，快速定位解题方向，明确计算要求与问题类型。 6、能熟练进行规律应用的验算，掌握逆运算验证、重新推导、举例验证等方法，能准确检查推理过程中的条件混淆、逻辑错误等问题，养成良好的验算习惯。 7、能清晰梳理和、差、积、商变化规律相关概念的逻辑关联，构建完整的知识体系，比如明确整数、小数、分数四则运算与变化规律、实际应用之间的内在联系。 8、能熟练运用和、差、积、商的变化规律进行算式的转化与变形，理解算式在不同情境下的等价表达，比如将复杂的分步算式整合为简洁的综合算式，根据规律对算式进行合理改写。 9、能结合生活实际理解和、差、积、商变化规律的意义，比如用购物账单计算、理财收益计算、商品税率计算、工程进度统计等生活场景中的规律应用，能准确进行相关计算和分析，体会数学在生活中的应用价值。 一、和的变化规律 1、加法中，一个加数不变，另一个加数加上（或减去）一个数，和也要加上（或减去）同一个数。 2、加法中，当一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数减去（或加上）同一个数时，它们的和不变。 二、差的变化规律 1、减法中，被减数加上（或减去）一个数，减数不变，差也要加上（或减去）同一个数。 2、减法中，减数加上（或减去）一个数，被减数不变，差反而要减去（或加上）同一个数。 3、减法中，当被减数和减数都加上（或减去）同一个数时，它们的差不变。 三、积的变化规律 1、乘法中，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，积也要乘（或除以）同一个数。 2、乘法中，当一个因数乘（或除以）一个数（0除外）另一个因数除以（或乘）同一个数时，它们的积不变。 四、积的变化规律 1、除法中，被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，商也要乘（或除以）同一个数。 2、除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），商反而要除以（或乘）同一个数。 3、除法中，当被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外）时，它们的商不变。 一、选择题 1．小明在计算一道小数减法时，把被减数个位上的“9”看成了“6”，把减数十分位上的“2”看成了“5”。错误答案比正确答案（    ）。 A．少了3.3 B．多了3.3 C．少了2.7 D．多了2.7 2．减数增加4.2，要使差减少3.6，被减数应增加（    ）。 A．4.2 B．3.6 C．0.6 D．7.8 3．用计算器计算13.49＋28.37时，按成了13.49＋28.73，要修正错误，可接着输入（    ）。 A．＋0.36 B．－0.63 C．＋0.36 D．－0.36 4． a＋＝b＋，a与b的大小关系是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 5．欢欢在计算时，由于粗心没看见小括号，算成了的计算结果比原式的计算结果（    ）。 A．不变 B．小 C．大 D．无法判断 6．已知，根据因数和积的变化规律可以知道（    ）。 A．60 B．600 C．50 D．不确定 7．算式★×420＝910×◆（★与◆大于0），下面判断正确的是（    ）。 A．★＞◆ B．★＜◆ C．★＝◆ D．无法确定 8．一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 9．在比例里，一个内项乘3，要使比例仍然成立，下面说法错误的是（    ）。 A．另一个内项除以3 B．一个外项乘3 C．一个外项乘 D．另一个内项乘 10．两个数相除，商是50，余数是30。如果被除数和除数同时缩小到原来的，所得的商和余数分别是（    ）。 A．5，3 B．50，3 C．5，30 D．50，30 11．已知75×37＝2775，则以下运算不正确的是（    ）。 A．7.5×37＝277.5 B．2775÷370＝7.5 C．277.5÷3.7＝7.5 D．7.5×0.37＝2.775 12．计算和，都可以先想，这里的6表示（    ）。 A．计数单位。 B．计数单位的个数。 C．计数单位相除的商。 D．6个一。 13．同学们在研究分数除法计算时，出现了4种方法。四名同学对这些方法进行了分析和说明，表达不准确的是（    ）。 ① ② ③ ④ A．①②③④都用到了商不变的性质 B．四种方法都把除法运算转化成了已经学过的知识 C．③和④用到了分数的基本性质，改变了被除数和除数的计数单位 D．只要计算结果准确，过程就一定合理 二、填空题 14．我们学过商不变、积不变等规律，小欢用18÷6＝（18×a）÷（6×a）＝3（a不为0）来表示商不变；小乐用18×6＝（18×a）×（6÷a）＝108（a不为0）来表示积不变；我也会用这样的方式表示“差不变”：（ ）。 15．下图是边长为6厘米和边长为3厘米的大小两个正方形，其中有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积差是（ ）。 16．已知☆－▽＝8，如果被减数和减数都增加3，那么现在的差是（ ）；已知○＋□＝8，如果两个数加数同时增加3，那么现在的和是（ ）。 17．在一个比例里，两个内项互为倒数，已知一个外项是，则另一个外项是（ ）；在这个比例中，如果外项乘5，另一个外项不变，这时两个内项积是（ ）。 18．一个棱长为4厘米的正方体，如果把它的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 19．根据13×32＝416，可以直接写出下面各题的积。 130×32＝（ ），0.13×3.2＝（ ），130×3.2＝（ ），（ ）。 20．根据规律填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×（ ）＝444444444 21．已知△÷○＝270，那么3△÷○＝（ ），（△×30）÷（○×30）＝（ ）。 22．做除法时，错把除数的小数点点错，结果比原来扩大了100倍，变成335.6，正确的商应该是________。 23．小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285，正确的和是（ ）。他在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是（ ）。 24．如图，有一个装有一些果汁的瓶子和一个玻璃杯（玻璃杯装液体的部分是圆锥形）。如果把瓶子中的果汁全部倒入这种玻璃杯中，可以倒满（ ）杯。（瓶子和玻璃杯壁的厚度忽略不计） 25．分数除法可以转化成分数乘法来计算，有一种推理方法是这样的：在这个推理过程中，依据的道理是（ ）。请用这样的方法计算：________＝________＝________。 26．如果M÷N＝4.5，那么（M×20）÷（N×20）＝（ ），如果7M＝8N，M和N成（ ）比例关系。（M和N均不为0） 三、计算题 27．根据56×83＝4648，直接写出下面各题的得数。 56×8.3＝    0.56×0.83＝    5.6×8.3＝ 464.8÷5.6＝    46.48÷0.83＝    4648÷0.56＝ 28．尝试用三种不同的方法计算25×36。 方法一： 方法二： 方法三： 四、解答题 29．两个数相乘，如果一个因数增加2，另一个因数不变，那么积增加8；如果一个因数不变，另一个因数减少3，那么积减少9。原来的积是多少？ 30．如图，小梅家原有一块占地280平方米的鱼塘，现如今要把宽增加到24米，长不变，扩大后的鱼塘面积是多少？ 31．丽丽在计算一道三位数除以一位数的题时，把被除数591错写成519，这样商比正确的商少了8，而余数没变。这道题正确的除数与余数分别是几？ 32．淘气在计算除法时，粗心地把被除数1460错写成1640，所得商比正确商多9，请你计算正确的商是多少？ 33．找规律，填一填。 12345679×9＝111111111 12345679×27＝333333333 12345679×9＝111111111 12345679×63＝777777777 12345679×18＝__________________ 12345679×45＝__________________ 12345679×72＝__________________ 34．用计算器计算下面各题，你能发现什么规律？ 2424÷101＝       2424÷202＝        2424÷303＝         2424÷404＝ 4848÷101＝       4848÷202＝        4848÷303＝         4848÷404＝ 9696÷101＝       9696÷202＝        9696÷303＝         9696÷404＝ 根据上面发现的规律，直接写出下面各题的得数。 5757÷101＝           8484÷202＝           6060÷505＝           9191÷707＝ 35．说理。 验证“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，小明的方法是：÷＝（×）÷（×）＝（×）÷1＝× （1）被除数和除数可以同时乘是利用了（    ）。 （2）请你尝试用自己喜欢的方法验证：a÷b＝a×（b≠0）。 36．在计算“245÷35”时，为了使计算简便，小薇采取了如下算法： 245÷35 ＝（245×2）÷（35×2） ＝490÷70 ＝7 小慧采取了不同的算法： 245÷35 ＝（245÷5）÷（35÷5） ＝49÷7 ＝7 （1）你认为她们的做法对吗？请说出你的理由。 （2）如果简便计算“350÷25”，你打算怎样去算？写出两种不同的计算过程。 学科网（北京）股份有限公司 $