专题30 线和角（能力清单+核心精要+实战演练）-2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训（通用版）

**基本信息** 以“能力清单—核心精要—实战演练”为框架，聚焦线和角知识的系统梳理与能力分层训练，通过生活情境（如河道改直、钟表夹角）和几何综合题（如旋转作图、平行线间等腰直角三角形）实现知识应用与思维进阶。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|线的性质、角的分类、位置关系|结合生活实例（河道改直、钟表旋转）考查概念辨析| |填空题|10|线段计算、角的度量、平行线性质|涉及多步推理（如线段中点计算、折叠角推导）| |作图题|10|旋转、放大、垂线/平行线作图|综合空间观念（如绕点旋转、比例尺作图）与实际应用（最短路径设计）|

2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题30 线和角（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出线（直线、射线、线段、平行线、垂线）和角（锐角、直角、钝角、平角、周角）的定义与核心特征，能准确区分不同类型线和角的差异，掌握线与线的位置关系，牢记各类角的度数范围。 2、能熟练运用线和角的相关知识解决各类基础与综合问题，包括线的计数、角的度量与计算、过点画平行线/垂线、判断线的位置关系，能准确使用量角器度量和画角，避免概念混淆、度数看错的问题。 3、能根据不同题目要求，灵活选用“工具度量法”“公式计算法”“推导法”解决线和角问题，比如已知平角/周角求未知角用推导法计算，直接画角用量角器工具度量，线的类型判断直接用定义推导。 4、进行线和角问题解题前，会习惯性确定“线/角的类型”与“已知条件对应关系”，明确每一步推导对应的几何意义，避免盲目判断，同时关注隐藏条件梳理，比如“三角形内角和”“对顶角相等”这类常用推导依据。 5、能分辨“概念判断类/度量计算类/作图类”问题，抓住“定义特征、度数范围、位置关系”这一关键，熟练运用相关知识解决实际几何问题，比如生活中线段长度测量、钟表夹角计算、墙体垂直判断等场景。 6、做题时，能圈出题目中的“直线”“射线”“线段”“平行”“垂直”“锐角”“钝角”“度数”“画角”“量角”等关键词，快速定位解题方向，明确问题类型与要求。 7、能熟练进行线和角问题的验算，掌握重新度量、反向推导、定义核对等方法，能准确检查概念判断错误、量角读数错误、度数计算错误、作图错误等问题，养成良好的验算习惯。 8、能清晰梳理线和角相关概念的逻辑关联，构建完整的几何知识体系，比如明确线是角和平面图形的基础，不同角的度数关系，以及线和角与后续三角形、四边形知识的内在联系。 9、能根据不同题型要求，灵活选用“三角板拼角法”“等式推导法”解决拓展问题，比如利用三角板拼特殊度数角、结合折叠性质求未知角、多条直线相交的角度推导，推导得出正确结果。 10、遇到线和角相关的问题时，会先判断线角类型，再匹配对应的方法求解，养成先明确概念再推导作图的习惯，特别注意射线、直线不可度量的特性，以及结果推导的几何合理性。 11、能熟练运用线和角知识进行几何分析与表达，理解不同概念在几何图形中的等价转化，比如将文字描述的位置关系转化为规范的几何作图，根据需求对推导过程进行合理改写。 12、能结合生活实际理解线和角知识的意义，比如用线的知识测量物体长度、判断道路平行垂直，用角的知识计算钟表时针分针夹角、设计图案角度，体会几何知识在生活中的应用价值。 一、直线、射线和线段。 1、直线 （1）直线的定义。 直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。直线可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如图 （2）直线的性质。 a.经过一点，可以画无数条直线;经过两点，只能画一条直线，即两点确定一条直线。 b.两条直线相交，只有一个交点。 c.直线没有端点，它可以向两端无限延伸，不可以度量长度。 2、射线。 （1）射线的定义。 在直线上某一点起朝向一边的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线用表示它的端点和射线上任意一点的两个大写字母表示，并把表示端点的字母写在前面，如下图， （2）射线的性质。 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不可以度量长度。 3、线段。 （1）线段的定义。 直线上任意两点之间的部分叫作线段。这两点叫作线段的端点。线段有长短，可以度量长度。线段可以用表示它的两个端点的大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如下图 （2）线段的性质. 在连接两点的所有连线中，线段最短(如下图)。简单地说，两点之间，线段最短。 4、直线、射线和线段的区别与联系。 二、相交与平行。 1、相交。 一般相交，如: 互相垂直(两条直线相交成直角)，如: 2、互相平行。 两条直线在同一平面内不相交，如: 三、平行线。 1、平行线的定义。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、平行线的性质。 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。 （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、平行线间的距离。 两条直线互相平行时，从一条直线上的任意一点向另一条直线画垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度叫作这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。 4、平行线的画法 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺， （1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。 （2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺， （3）平移后，沿三角尺的直角边画出另一条直线。 四、垂直和垂线。 1、垂直和垂线的定义。 如果两条直线相交成直角，那么就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 2、垂线的基本性质。 （1）经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 （2）从直线外一点到这条直线上的所有线段中，垂直线段最短。(如下图) 3、垂线的画法。 （1）过直线上一点画已知直线的垂线 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合。 c.从三角尺直角的顶点起，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的乖线。 （2）过直线外一点画已知直线的垂线。 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 c.沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。 五、角的认识。 1、角的定义。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 2、角的表示方法 角通常用符号“∠”表示。下图中的角可记作∠AOB(读作“角 AOB”)或∠BOA(读作“角 BOA”)。当以 O点为顶点的角只有一个时，也可记作∠O。还可以在角的顶部标注上数字或希腊字母，用弧线表示角的范围，下图中的角也可记作∠1。 六、角的分类。 角的分类 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特征 大于0°小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360° 七、角的度量。 1、度量角的工具是量角器。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。量角器为半圆形，被平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度，记作1° 2、用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 八、角的画法。 1、用量角器画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线与射线重合。然后根据所要画的角的度数在量角器上对应的刻度线的地方点一个点。最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 一、选择题 1．整理“垂线与平行线”这个单元的知识时，下面4个同学的对话中，正确的是（    ）。 小丽：“一条直线长6厘米，它的一半长3厘米”。 芳芳：“用一副三角尺可以拼出任意一个角”。 小陈：“黑板相邻的两条边互相垂直，不是相交”。 丁丁：“把一张长方形纸对折再对折，打开后，折痕可能互相垂直，也可能互相平行”。 A．小丽 B．芳芳 C．小陈 D．丁丁 2．山西七河五湖水生态治理，是我国的重大水利工程建设项目，其中有些地方要把弯曲的河道改直，这样就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．线段比直线短 3．下面说法中正确的是（    ）。 A．一件商品原价50元，先提价20%，再降价20%后比原价便宜。 B．将一条1厘米长的线段向两端分别延长100米，就能得到一条直线。 C．把6.9改写成6.900，此时这两个数的大小相同，计数单位也相同。 D．一辆汽车从甲地开往乙地，去时用了6小时，返回时只用了4小时，这辆汽车往返的速度比是3∶2。 4．下面四种说法中正确的有（    ）种。 （1）0没有倒数。 （2）正比例图象上所有点所对应的两个数的积都相等。 （3）线段是直线的一部分。 （4）非0自然数中，不是质数，就是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下面四个生活场景，可以用“两点之间，线段最短”来解释的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 6．下面哪个图形的对角线互相垂直且长度相等？（    ） A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 7．观察下面的钟面，下列说法错误的是（    ）。 A．时针从12时绕点O顺时针旋转30°到1时 B．时针从2时绕点O顺时针旋转60°到4时 C．时针从3时绕点O顺时针旋转90°到6时 D．时针从6时绕点O顺时针旋转120°到11时 8．物理学中，入射光线经过平面镜会有光线反射出去，并且遵循光的反射定律，反射角等于入射角（入射角是入射光线与平面镜垂线的夹角，反射角是反射光线与平面镜垂线的夹角）。已知一条光线在垂直的两面镜子中反射路径如图所示，那么的度数为（    ）。 A．40° B．75° C．80° D．90° 9．下图中时针从“3”逆时针旋转150°，这时时针指向（    ）。 A．8时 B．9时 C．10时 D．11时 10．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到B点，乙从A点出发向南偏西15°方向走到C，则∠BAC的度数是（    ）。 A．85° B．105° C．125° D．160° 二、填空题 11．如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之和是23厘米，线段AC的长度与线段CB的长度都是整数，则线段AC的长度为（ ）厘米。 12．不在同一条直线上的5个点可以连成（ ）条线段，10个点可以连成（ ）条线段。 13．高铁是我们重要的交通工具，往返于梅州西站和广州南站的高铁，除起点站和终点站外，中间还要停靠4个站，那么要准备（ ）种车票。 14．如图，已知L1平行于L2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在L1，L2上，当时，（ ）°。 15．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，如果∠AOC＝40°，那么∠BOD的度数为（ ）。 16．图中，直线和的位置关系是（ ），直线和的位置关系是（ ），直线和的位置关系是（ ），，那么（ ）。 17．如图，图（2）是图（1）的侧面展开图。一只昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中（ ）的位置（填序号）。 18．同一平面内，不在同一条直线上的4个点最多可以连（ ）条线段，10个点最多可以连（ ）条线段。 19．如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么（ ）°，∠2＝（ ）°。 20．如图，阴影部分是个等腰三角形，一个底角是（ ）°。 三、作图题 21．小鸭擅长游泳，走路却很吃力。现在它要先从点A走到岸边，再游到对岸，最后走到点B。请你为它设计最快的路线，并画出来。 22．按要求完成。 （1）在下图中画出线段AB，两点位置分别是A（2，1），B（6，1）。 （2）画出线段AB绕点B顺时针旋转90°扫过的图形，并求出图形的面积。 单位：厘米 23．按要求填一填，画一画。 （1）如图，点D的位置用数对（11，2）表示，那么点A的位置用数对（    ）表示。 （2）画出三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出三角形ABC按2∶1的比放大后的图形。 （4）以点D为端点向北偏东45°方向画出一条射线。 24．文化宫周围的环境如图所示。 （1）这幅图的数值比例尺是（ ）。 （2）文化宫北边200米处，有一条商业街与人民路互相平行。在图中画直线表示这条街，并标上“商业街”。 （3）体育馆在文化宫的（ ）偏（ ）45°方向大约（ ）米处。 25．按要求做题。 （1）求知书店到龙川路的实际距离是多少米？ （2）障山路穿过龙川路，在河滨路北面并与河滨路平行，与河滨路相距1500米，在图上画出障山路。 26．以琴湖广场为观测点，按要求操作。 （1）北沿江高铁黄桥站在琴湖广场的北偏东方向6千米处，请在图上标出。 （2）黄桥镇政府在琴湖广场的正东2千米处。王大伯从琴湖广场出发沿城黄路步行去镇政府，每分钟走85米，20分钟后他在镇政府（ ）方向（ ）米处。 （3）盐靖高速位于琴湖广场的正西方向1.4千米处，与城黄路垂直，请用直线在图上表示出来。 27．清代画家吴友如用“只凭风力健，不假羽毛丰”来描述风筝。在一场放风筝比赛中，选手们所用的风筝线一样长，且都把线放到了最长。 （1）请你量一量，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 （2）想一想，风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么联系？ 28．直角三角形ABC中的阴影部分是正方形，AE＝5cm，EB＝8cm，A、E、B三点在同一条直线上。 （1）∠1＋∠2＝（    ）°。 （2）将三角形BEF绕点E顺时针旋转90°，画出旋转后得到的图形。 （3）空白部分的面积＝（    ）cm2。 29．如图，方格图是某小学的一块地，现在要进行改建，请按要求画图。 （1）图中长方形是原来的劳动教育实践基地，现在要将它按放大，且位置改在这块地的西北角，请画出放大后的劳动教育实践基地。 （2）在空地上建一个底是4，高是3的平行四边形花坛，其中一个顶点的位置用数对表示为，请画出这个平行四边形。 （3）方格外的这条线段是一条主水管，点D处有一个水龙头，从点D接一条分水管与主水管连通，怎样接这条分水管最短，请画出来。 30．按要求画图。（如图中每个小方格的边长是1厘米） （1）先画出将圆A向上平移4格后的图形，平移后A点的位置用数对表示是（    ），再按2∶1画出圆A放大后的图形。 （2）过B点作直线a的垂线。 （3）以P点为顶点画一个直角三角形，然后将它绕P点顺时针方向旋转90°。（把旋转后的图形涂上阴影） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题30 线和角（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出线（直线、射线、线段、平行线、垂线）和角（锐角、直角、钝角、平角、周角）的定义与核心特征，能准确区分不同类型线和角的差异，掌握线与线的位置关系，牢记各类角的度数范围。 2、能熟练运用线和角的相关知识解决各类基础与综合问题，包括线的计数、角的度量与计算、过点画平行线/垂线、判断线的位置关系，能准确使用量角器度量和画角，避免概念混淆、度数看错的问题。 3、能根据不同题目要求，灵活选用“工具度量法”“公式计算法”“推导法”解决线和角问题，比如已知平角/周角求未知角用推导法计算，直接画角用量角器工具度量，线的类型判断直接用定义推导。 4、进行线和角问题解题前，会习惯性确定“线/角的类型”与“已知条件对应关系”，明确每一步推导对应的几何意义，避免盲目判断，同时关注隐藏条件梳理，比如“三角形内角和”“对顶角相等”这类常用推导依据。 5、能分辨“概念判断类/度量计算类/作图类”问题，抓住“定义特征、度数范围、位置关系”这一关键，熟练运用相关知识解决实际几何问题，比如生活中线段长度测量、钟表夹角计算、墙体垂直判断等场景。 6、做题时，能圈出题目中的“直线”“射线”“线段”“平行”“垂直”“锐角”“钝角”“度数”“画角”“量角”等关键词，快速定位解题方向，明确问题类型与要求。 7、能熟练进行线和角问题的验算，掌握重新度量、反向推导、定义核对等方法，能准确检查概念判断错误、量角读数错误、度数计算错误、作图错误等问题，养成良好的验算习惯。 8、能清晰梳理线和角相关概念的逻辑关联，构建完整的几何知识体系，比如明确线是角和平面图形的基础，不同角的度数关系，以及线和角与后续三角形、四边形知识的内在联系。 9、能根据不同题型要求，灵活选用“三角板拼角法”“等式推导法”解决拓展问题，比如利用三角板拼特殊度数角、结合折叠性质求未知角、多条直线相交的角度推导，推导得出正确结果。 10、遇到线和角相关的问题时，会先判断线角类型，再匹配对应的方法求解，养成先明确概念再推导作图的习惯，特别注意射线、直线不可度量的特性，以及结果推导的几何合理性。 11、能熟练运用线和角知识进行几何分析与表达，理解不同概念在几何图形中的等价转化，比如将文字描述的位置关系转化为规范的几何作图，根据需求对推导过程进行合理改写。 12、能结合生活实际理解线和角知识的意义，比如用线的知识测量物体长度、判断道路平行垂直，用角的知识计算钟表时针分针夹角、设计图案角度，体会几何知识在生活中的应用价值。 一、直线、射线和线段。 1、直线 （1）直线的定义。 直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。直线可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如图 （2）直线的性质。 a.经过一点，可以画无数条直线;经过两点，只能画一条直线，即两点确定一条直线。 b.两条直线相交，只有一个交点。 c.直线没有端点，它可以向两端无限延伸，不可以度量长度。 2、射线。 （1）射线的定义。 在直线上某一点起朝向一边的部分叫作射线，这一点叫作射线的端点。射线用表示它的端点和射线上任意一点的两个大写字母表示，并把表示端点的字母写在前面，如下图， （2）射线的性质。 射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不可以度量长度。 3、线段。 （1）线段的定义。 直线上任意两点之间的部分叫作线段。这两点叫作线段的端点。线段有长短，可以度量长度。线段可以用表示它的两个端点的大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示，如下图 （2）线段的性质. 在连接两点的所有连线中，线段最短(如下图)。简单地说，两点之间，线段最短。 4、直线、射线和线段的区别与联系。 二、相交与平行。 1、相交。 一般相交，如: 互相垂直(两条直线相交成直角)，如: 2、互相平行。 两条直线在同一平面内不相交，如: 三、平行线。 1、平行线的定义。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2、平行线的性质。 （1）经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。 （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3、平行线间的距离。 两条直线互相平行时，从一条直线上的任意一点向另一条直线画垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度叫作这两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等。 4、平行线的画法 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺， （1）固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。 （2）用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺， （3）平移后，沿三角尺的直角边画出另一条直线。 四、垂直和垂线。 1、垂直和垂线的定义。 如果两条直线相交成直角，那么就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 2、垂线的基本性质。 （1）经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 （2）从直线外一点到这条直线上的所有线段中，垂直线段最短。(如下图) 3、垂线的画法。 （1）过直线上一点画已知直线的垂线 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使三角尺的顶点和直线上的已知点重合。 c.从三角尺直角的顶点起，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的乖线。 （2）过直线外一点画已知直线的垂线。 a.把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 b.沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 c.沿三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。 五、角的认识。 1、角的定义。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，这一点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。 2、角的表示方法 角通常用符号“∠”表示。下图中的角可记作∠AOB(读作“角 AOB”)或∠BOA(读作“角 BOA”)。当以 O点为顶点的角只有一个时，也可记作∠O。还可以在角的顶部标注上数字或希腊字母，用弧线表示角的范围，下图中的角也可记作∠1。 六、角的分类。 角的分类 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特征 大于0°小于90° 等于90° 大于90°小于180° 等于180° 等于360° 七、角的度量。 1、度量角的工具是量角器。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。量角器为半圆形，被平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度，记作1° 2、用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 八、角的画法。 1、用量角器画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线与射线重合。然后根据所要画的角的度数在量角器上对应的刻度线的地方点一个点。最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 一、选择题 1．整理“垂线与平行线”这个单元的知识时，下面4个同学的对话中，正确的是（    ）。 小丽：“一条直线长6厘米，它的一半长3厘米”。 芳芳：“用一副三角尺可以拼出任意一个角”。 小陈：“黑板相邻的两条边互相垂直，不是相交”。 丁丁：“把一张长方形纸对折再对折，打开后，折痕可能互相垂直，也可能互相平行”。 A．小丽 B．芳芳 C．小陈 D．丁丁 【答案】D 【分析】（1）直线是把一条线段向两侧无限延伸得到的。 （2）三角尺上的角的角度有30°、45°、60°、90°，用这些角进行组合拼角。 （3）相互垂直的两条线有交点，交点叫垂足。 （4）长方形纸可以横向连续对折两次，也可以先横向对折一次，再竖向对折一次。 【解答】A．直线向两侧无限延伸，是无限长的，给直线标注长度是错误的。小丽说法错误。 B．用三角尺可拼出的角包括：15°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°，无法拼出其它角度。芳芳说法错误。 C．垂直属于相交，是相交的一种特殊情况。小陈说法错误。 D．长方形纸横向连续对折两次，可得到互相平行的折痕；长方形纸先横向对折一次，再竖向对折一次，可得到互相垂直的折痕。丁丁的说法正确。 2．山西七河五湖水生态治理，是我国的重大水利工程建设项目，其中有些地方要把弯曲的河道改直，这样就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．线段比直线短 【答案】B 【分析】根据题意，直线：一条直直的线，没有具体长度，两点可以确定一条直线；线段：有两个端点，可以测量出具体长度；把一条弯曲的河道改直，这样相当于两个点之间是一条线段连接，利用了两点之间线段最短的原理，据此即可选择。 【解答】根据分析可知： 山西七河五湖水生态治理，是我国的重大水利工程建设项目，其中有些地方要把弯曲的河道改直，这样就能缩短河道长度，可以解释这一做法的数学原理是两点之间，线段最短。 故答案为：B 3．下面说法中正确的是（    ）。 A．一件商品原价50元，先提价20%，再降价20%后比原价便宜。 B．将一条1厘米长的线段向两端分别延长100米，就能得到一条直线。 C．把6.9改写成6.900，此时这两个数的大小相同，计数单位也相同。 D．一辆汽车从甲地开往乙地，去时用了6小时，返回时只用了4小时，这辆汽车往返的速度比是3∶2。 【答案】A 【分析】根据单位“1”×对应的分率＝对应的量，计算出降价后的商品价格，再与原价比较。 直线没有端点，可以向两端无限延长，长度是无法测量的。 在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位……，对应的计数单位是十分之一（0.1），百分之一（0.01），千分之一（0.001）……。 这辆汽车去时和返回时的时间之比是3：2。当路程一定时，时间和速度成反比例。 据此分析四个选项，判断哪一句正确即可。 【解答】A．把这件商品提价20%后的价格看作单位“1”。根据百分数乘法的意义，用这件商品提价20%后的价格乘（1－20%），求出降价20%后的价格是50×（1＋20%）×（1－20%）＝50×1.2×0.8＝60×0.8＝48（元），比原价便宜；原题干说法正确。 B．一条1厘米长的线段向两端各延长100米，得到的图形长度是可以计量的，直线的长度无法测量。原题说法错误。 C．把6.9改写成6.900，此时这两个数的大小相同，6.9的计数单位是十分之一（0.1），6.900的计数单位是千分之一（0.001），计数单位不相同。原题说法错误。 D．一辆汽车从甲地开往乙地，去时用了6小时，返回时只用了4小时，这辆汽车去时和返回时的时间之比是3：2。这辆汽车往返的速度比是2∶3，原题说法错误。 故答案为：A 4．下面四种说法中正确的有（    ）种。 （1）0没有倒数。 （2）正比例图象上所有点所对应的两个数的积都相等。 （3）线段是直线的一部分。 （4）非0自然数中，不是质数，就是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先需要逐一分析每个说法是否正确，然后统计正确的个数，最后选出对应的选项。 【解答】（1）乘积是1的两个数互为倒数，即一个数a的倒数是，其中a≠0，因为0不能作为分母，所以0没有倒数。所以原说法正确。 （2）两种相关联的量的比值一定，是正比例，则正比例图像中所对应点的两个数的商一定。所以原说法正确。 （3）直线是无限延伸的，而线段是其中的有限部分。所以原说法正确。 （4）质数是指大于1的自然数，除了1和它本身没有其他因数；合数是指大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数。所以，1既不是质数也不是合数。因此在非0自然数中，除了质数和合数之外，还有1这个数，所以这个说法是错误的。所以原说法错误。 正确的有：（1）、（3），有2种。 故答案为：B 5．下面四个生活场景，可以用“两点之间，线段最短”来解释的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离。两点之间，线段最短。据此逐项分析解答即可。 【解答】从小明家到学校走线路②：意味着从一个地点到另一个地点，人们会选择路程最短的路径，而在平面上，两点之间的最短路径就是线段，所以走近路也可以用“两点之间，线段最短”来解释。 量跳远距离时是利用了垂线段最短，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。 固定木条是利用了两点确定一条直线，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。 铅垂线是利用了同一平面内，垂直于同一平面的两条线互相平行，与“两点之间，线段最短”这一概念无关。 可以用“两点之间，线段最短”来解释的有1个。 6．下面哪个图形的对角线互相垂直且长度相等？（    ） A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 【答案】A 【分析】A．四条边相等、四个角都是直角的四边形叫正方形。 B．两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫长方形。 C．只有一组对边平行的四边形叫梯形。 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，据此根据平面图形和垂直的特征，画出对角线即可得出结论。 【解答】 A．，对角线互相垂直且长度相等； B．，对角线长度相等，不垂直，排除； C．，对角线不垂直，长度也不相等，排除； D．，对角线互相垂直，长度不相等，排除。 因此，正方形的对角线互相垂直且长度相等。 故答案为：A 7．观察下面的钟面，下列说法错误的是（    ）。 A．时针从12时绕点O顺时针旋转30°到1时 B．时针从2时绕点O顺时针旋转60°到4时 C．时针从3时绕点O顺时针旋转90°到6时 D．时针从6时绕点O顺时针旋转120°到11时 【答案】D 【分析】与指针运动方向相同的为顺时针，钟面上12大格，每格为360°÷12＝30°，数一数旋转了几大格，就是几个30°，据此分析。 【解答】A．时针从12时绕点O顺时针旋转到1时，旋转了1格，也就是30°，说法正确； B．时针从2时绕点O顺时针旋转到4时，旋转了2格，30°×2＝60°，说法正确； C．时针从3时绕点O顺时针旋转到6时，旋转了3格，30°×3＝90°，说法正确； D．时针从6时绕点O顺时针旋转到11时，旋转了5格，30°×5＝150°，说法错误。 8．物理学中，入射光线经过平面镜会有光线反射出去，并且遵循光的反射定律，反射角等于入射角（入射角是入射光线与平面镜垂线的夹角，反射角是反射光线与平面镜垂线的夹角）。已知一条光线在垂直的两面镜子中反射路径如图所示，那么的度数为（    ）。 A．40° B．75° C．80° D．90° 【答案】C 【分析】给角先编号，方便理解： 反射角等于入射角，∠2＝40°，根据直角为 90°，先算出第一个镜面处的入射角利用反射角等于入射角，得到反射光线与镜面的夹角，∠3＝∠4；用180°减去∠3、∠4即可得到∠1。 【解答】根据分析，∠2＝40°，∠3＝90°－40°＝50°，∠4＝∠3＝50° 因此，∠1＝180°－50°－50°＝80° 9．下图中时针从“3”逆时针旋转150°，这时时针指向（    ）。 A．8时 B．9时 C．10时 D．11时 【答案】C 【分析】先用钟表一圈的360°除以对应的12个大格，求出每个大格是30°；再用旋转的150°除以每个大格的30°，求出一共转了5个大格；最后从数字“3”开始，按逆时针方向数出5个大格，即可确定时针指向的数字。 【解答】360°÷12＝30° 150°÷30°＝5（格） 从数字3逆时针移动5格，3→2→1→12→11→10，指向10。 所以这时时针指向10时。 10．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到B点，乙从A点出发向南偏西15°方向走到C，则∠BAC的度数是（    ）。 A．85° B．105° C．125° D．160° 【答案】C 【分析】以A点为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，B点在A点的北偏东70°方向，也就是东偏北20°方向；C点在A点的南偏西15°方向，这样∠BAC的角度包含20°、15°，以及东与南之间的夹角90°，据此求解。 【解答】如图： 90°－70°＝20° ∠BAC的度数是：20°＋90°＋15°＝125° 二、填空题 11．如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之和是23厘米，线段AC的长度与线段CB的长度都是整数，则线段AC的长度为（ ）厘米。 【答案】3 【分析】先找出图中所有的线段，根据D是CB的中点，得到CD＝DB，且CB一定是双数；已知所有线段总和是23厘米，所以用列举法，依次试出CB所有可能的整厘米数，一一排除不符合的，最后求出AC的长度。 【解答】图中有6条线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB。 D是CB中点，所以CD＝DB，CB为双数。 AD＝AC＋CD，AB＝AC＋CB 六条线段总和： AC＋AD＋AB＋CD＋CB＋DB＝23 （1）试CB＝2，则CD＝1，DB＝1 AD＝AC＋1，AB＝AC＋2 代入总和：AC＋（AC＋1）＋（AC＋2）＋1＋2＋1＝3×AC＋7 23－7＝16，16不能被3整除 （2）试CB＝4，CD＝2，DB＝2 AD＝AC＋2，AB＝AC＋4 代入总和：AC＋（AC＋2）＋（AC＋4）＋2＋4＋2＝3×AC＋14 23－14＝9，9÷3＝3，符合条件。 （3）试CB＝6，CD＝3，DB＝3 AD＝AC＋3，AB＝AC＋6 代入总和：AC＋（AC＋3）＋（AC＋6）＋3＋6＋3＝3×AC＋21 23－21＝2，2不能被3整除。 综上：线段AC的长度为3厘米。 12．不在同一条直线上的5个点可以连成（ ）条线段，10个点可以连成（ ）条线段。 【答案】 10 45 【分析】同一平面内，不在同一直线上的5个点可以连成条线段，10个点可以连成 条线段，n个点可以连成条线段。 【解答】根据分析可得： 不在同一条直线上的5个点可以连成（10）条线段，10个点可以连成（45）条线段。 13．高铁是我们重要的交通工具，往返于梅州西站和广州南站的高铁，除起点站和终点站外，中间还要停靠4个站，那么要准备（ ）种车票。 【答案】30 【分析】根据题意画线段图：先求出线段的条数，再计算车票的种数。 【解答】根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AF，AB，CD，CE，CF，CB，DE，DF，DB，EF，EB，FB，一共15条。 （种） 因为每一段路程可以有往返两种车票，故要准备30种车票。 14．如图，已知L1平行于L2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在L1，L2上，当时，（ ）°。 【答案】65 【分析】等腰直角三角形ABC中，除了直角∠BAC，另外两个角∠ABC和∠ACB都是45°（因为等腰，所以两个底角相等）；又因为三角形内角和180°，所以（180°－90°）÷2＝45°。接着想象把∠1和∠ABC“拼”在一起，因为l1与l2平行，所以从l1到l2的“倾斜程度”是一致的。上下两个角相等都是70°，∠ABC＝45°，那这两个角加起来的大角是70°＋45°＝115°。因为l2是一条直线（平角180°），所以∠2和刚才的“大角”加起来是180°，因此∠2＝180°－115°＝65°。 【解答】（180°－90°）÷2 ＝90°÷2 ＝45° 70°＋45°＝115° ∠2＝180°－115°＝65° 15．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，如果∠AOC＝40°，那么∠BOD的度数为（ ）。 【答案】50°/130° 【分析】先求∠AOD 的度数，利用平角∠AOB减去∠AOD即可求得，射线OD可能在射线OC的左侧，也可能在射线OC的右侧，因此需要分两种情况进行讨论。 【解答】因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°，因为 OC⊥OD，所以∠COD＝90°。 情况一：当射线OD在射线OC的右侧时，即射线OC在∠AOD内部，∠AOD＝∠AOC＋∠COD ，40°＋90°＝130°，∠BOD＝∠AOB－∠AOD，180°－130°＝50°。 情况二：当射线OD在射线OC的左侧时，即射线OA在∠COD内部，∠AOD＝∠COD－∠AOC，90°－40°＝50°，∠BOD＝∠AOB－∠AOD，180°－50°＝130° 综上所述，∠BOD 的度数为 50°或 130°。 16．图中，直线和的位置关系是（ ），直线和的位置关系是（ ），直线和的位置关系是（ ），，那么（ ）。 【答案】 平行/互相平行 垂直/互相垂直 相交 119 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此判断几条直线的位置关系。由图可知，∠1和∠2组成了一个平角。∠1＝61°，那么直接用180°减去61°即可算出∠2的度数。 【解答】由图可知，直线a和b没有交点，所以这两条直线互相平行。直线a和c相交成直角，所以这两条直线互相垂直。直线b和d有交点，所以这两条直线相交。 ∠2＝180°－∠1＝180°－61°＝119° 直线和的位置关系是平行，直线和的位置关系是垂直，直线和的位置关系是相交，，那么119°。 17．如图，图（2）是图（1）的侧面展开图。一只昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中（ ）的位置（填序号）。 【答案】③ 【分析】如图所示：要求昆虫爬行的距离最短，将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果。 【解答】据分析，从A点沿最短的距离爬到B点，B点在图（2）中③的位置。 18．同一平面内，不在同一条直线上的4个点最多可以连（ ）条线段，10个点最多可以连（ ）条线段。 【答案】 6 45 【分析】线段有两个端点，则两个点可以连一条线段，第1个点可以和其它3个点连接3条线段，第2个点可以和其它2个点连接2条线段，第3个点可以和剩下的1个点连接1条线段，最后相加求和；同一平面内点的数量与可以得到线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋…＋（点的数量－1），那么10个点可以连接（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）条线段，据此解答。 【解答】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（条） 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝17＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝24＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝30＋5＋4＋3＋2＋1 ＝35＋4＋3＋2＋1 ＝39＋3＋2＋1 ＝42＋2＋1 ＝44＋1 ＝45（条） 所以，同一平面内，不在同一条直线上的4个点最多可以连6条线段，10个点最多可以连45条线段。 【点睛】理解点的数量与连接线段的条数之间的关系是解答题目的关键。 19．如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 30 60 【分析】正方形的四个角都是直角，即90°，经过对折、斜折等操作后，通过观察图形可知，∠2所在的三角形是等边三角形，因为它的三条边长度相等，是正方形的边长折叠得到的，所以其三个内角均为60°，即∠2＝60°。由折叠特点可知，∠1所在的三角形和下方空白的三角形完全相等，同时∠1等于∠2的一半，即60÷2＝30°。 【解答】根据分析可知：如图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么∠1＝60÷2＝30°，∠2＝60°。 20．如图，阴影部分是个等腰三角形，一个底角是（ ）°。 【答案】25 【分析】由图可知，等腰三角形的顶角是180°－50°。等腰三角形的两个底角相等，用180°减去顶角的度数，再除以2就是一个底角的度数。 【解答】180°－50°＝130° （180°－130°）÷2 ＝50°÷2 ＝25° 所以，一个底角是25°。 三、作图题 21．小鸭擅长游泳，走路却很吃力。现在它要先从点A走到岸边，再游到对岸，最后走到点B。请你为它设计最快的路线，并画出来。 【答案】见详解 【分析】根据点到直线的距离垂直线段最短和两点之间线段最短，设计小鸭从A点到B点的最快路线。据此解答。 【解答】因为小鸭子走路很吃力，所以小鸭子到岸边必须是垂直线段，所以先画出A点到岸边的垂直线段和B点到岸边的垂直线段；小鸭子擅长游泳，再连接两个垂足之间的线段，这样才是快的路线。 如图： 22．按要求完成。 （1）在下图中画出线段AB，两点位置分别是A（2，1），B（6，1）。 （2）画出线段AB绕点B顺时针旋转90°扫过的图形，并求出图形的面积。 单位：厘米 【答案】（1）见详解 （2）图形见详解；12.56平方厘米 【分析】（1）用数对表示位置，第一个数字表示列，第二个数字表示行，所以点A（2，1）在第2列、第1行，点B（6，1）在第6列、第1行，在图中描出点A和点B的位置，连接AB即可。 （2）线段AB绕点B顺时针旋转90°扫过的图形，是的圆形，以点B为圆心，线段AB的长度为半径，即6－2＝4厘米，然后根据圆的面积公式计算出等半径圆的面积，再除以4即可。 【解答】（1）作图如下： （2）作图如下： 6－2＝4（厘米） 3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（平方厘米） 所以图形面积是12.56平方厘米。 23．按要求填一填，画一画。 （1）如图，点D的位置用数对（11，2）表示，那么点A的位置用数对（    ）表示。 （2）画出三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出三角形ABC按2∶1的比放大后的图形。 （4）以点D为端点向北偏东45°方向画出一条射线。 【答案】（1）（2，9） （2）（3）（4）见详解 【分析】（1）用数对表示物体的位置，数对的第一个数表示的是列，第二个数表示的是行。根据点D的位置（11，2）可知，点D在第11列，第2行。 （2）旋转前后的图形形状、大小都不变，只是方向改变了。三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，点C的对应点点C′和点C重合。由图可知，三角形的底BC长2格，朝水平方向，绕点C顺时针旋转90°，对应线段B′C′的方向是竖直向上，长度还是2格，就得到了点B的对应点B′。点A在底BC的中点上方3格的位置，三角形绕点C顺时针旋转90°后，点A的对应点在B′C′的右边，从B′C′的中点向右数3格，就是点A的对应点点A′。将点A′、点B′、点C′连接起来，就可以得到旋转后的图形。 （3）将三角形ABC按2∶1放大，就是要将三角形ABC的所有边的长度放大到原来的2倍。由图可知，三角形ABC的底是2格，高是3格，且一个顶点在底边中点上方3格的位置。放大后的图形的底应该是2×2＝4格，高是3×2＝6格，一个顶点应该在底边中点上方3×2＝6格的位置。 （4）由图中的方向标可知，上北下南，左西右东。北偏东45°方向就是以正北方向为起始边，向正东方向旋转45°。 【解答】（1）从左往右数，点A在第2列；从下往上数，点A在第9行。所以点A的位置用数对表示是（2，9）。 （2）（3）（4）如图： 24．文化宫周围的环境如图所示。 （1）这幅图的数值比例尺是（ ）。 （2）文化宫北边200米处，有一条商业街与人民路互相平行。在图中画直线表示这条街，并标上“商业街”。 （3）体育馆在文化宫的（ ）偏（ ）45°方向大约（ ）米处。 【答案】（1）1∶10000 （2）见详解 （3） 北 东 300 【分析】（1）比例尺＝图上距离∶实际距离，根据题干提供的线段比例尺转换即可。 （2）根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出实际200米对应的图上距离，在文化宫正北方向量出对应距离，画一条和人民路平行的水平直线，标注“商业街”即可。 （3）根据方向标和图中标注的角度，描述即可。再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离即可。 【解答】（1）图中线段比例尺表示图上1厘米对应实际100米，统一单位：100米＝10000厘米，因此数值比例尺为1∶10000。 （2）200米＝20000厘米 图上距离：20000×＝2（厘米） 在文化宫正北方向量出2厘米，画一条和人民路平行的水平直线，标注“商业街”即可。 （3）使用尺子量出文化宫到体育馆的图上距离为3厘米。 实际距离：3÷＝3×10000＝30000（厘米）＝300（米） 所以根据方向标和图中标注的角度，体育馆在文化宫的北偏东45°方向大约300米处。 25．按要求做题。 （1）求知书店到龙川路的实际距离是多少米？ （2）障山路穿过龙川路，在河滨路北面并与河滨路平行，与河滨路相距1500米，在图上画出障山路。 【答案】（1）750米 （2）见详解 【分析】（1）运用直尺测量出求知书店到龙川路的图上距离，将0刻度线对准求知书店，另一端龙川路对准几就是几厘米，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出求知书店到龙川路的实际距离。 （2）已知障山路到河滨路的实际距离，根据图上距离＝比例尺×实际距离，求出障山路到河滨路的图上距离，再用直尺测量出具体长度。再画出和河滨路水平的直线即可。 【解答】（1）图上距离1厘米，对应实际距离500米。 比例尺＝，将直尺的0刻度线对准求知书店，另一端龙川路对准1.5厘米，所以，图上距离是1.5厘米，实际距离： 1.5÷ ＝1.5×500 ＝750（米） 求知书店到龙川路的实际距离是750米。 （2）×1500＝3（厘米），图上距离是3厘米，将直尺的0刻度线对准河滨路的任意一点，直尺另一端对准3厘米，画一条直线，在河滨路北面并与河滨路平行，并与龙川路相交，这条路是障山路。 26．以琴湖广场为观测点，按要求操作。 （1）北沿江高铁黄桥站在琴湖广场的北偏东方向6千米处，请在图上标出。 （2）黄桥镇政府在琴湖广场的正东2千米处。王大伯从琴湖广场出发沿城黄路步行去镇政府，每分钟走85米，20分钟后他在镇政府（ ）方向（ ）米处。 （3）盐靖高速位于琴湖广场的正西方向1.4千米处，与城黄路垂直，请用直线在图上表示出来。 【答案】（1）见详解 （2） 正西 300 （3）见详解 【分析】把6千米化为600000厘米，图上距离＝实际距离×比例尺，把数据代入公式计算，求得图上距离，再根据上北下南，左西右东确定方向，据此画图； 路程＝速度×时间，把数据代入公式计算，求得王大伯的路程，再把2千米化为2000米，用2000减去1700，求得与镇政府的距离，以镇政府为参照点，王大伯在镇政府的正西方向，据此解答； 把1.4千米化为厘米，用实际距离×比例尺求出图上距离，为0.7厘米，从琴湖广场往正西方向0.7厘米处画点，过点作城黄路的垂线，据此画图。 【解答】（1）6千米＝600000厘米 600000×＝3（厘米） （2）85×20＝1700（米） 2千米＝2000米 2000－1700＝300（米） 王大伯在镇政府的正西方向300米处； （3）1.4千米＝140000厘米 140000×＝0.7（厘米） 27．清代画家吴友如用“只凭风力健，不假羽毛丰”来描述风筝。在一场放风筝比赛中，选手们所用的风筝线一样长，且都把线放到了最长。 （1）请你量一量，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 （2）想一想，风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么联系？ 【答案】（1） 60 30 （2）比较可知，当风筝线长度相同时，风筝线与地面的夹角越大，风筝越高。 【分析】（1）将量角器中心与角的顶点重合，量角器零刻度线与地面边重合，读取角的另一边对应的刻度，得到∠1和∠2的度数。 （2）因为风筝线长度固定，观察图中的风筝距离地面的高度与角度大小的关系即可。 【解答】（1）∠1＝60°，∠2＝30° （2）比较可知，当风筝线长度相同时，风筝线与地面的夹角越大，风筝越高。 28．直角三角形ABC中的阴影部分是正方形，AE＝5cm，EB＝8cm，A、E、B三点在同一条直线上。 （1）∠1＋∠2＝（    ）°。 （2）将三角形BEF绕点E顺时针旋转90°，画出旋转后得到的图形。 （3）空白部分的面积＝（    ）cm2。 【答案】（1）90 （2）见详解 （3）20 【分析】（1）因为阴影部分是正方形，所以∠DEF＝90°，又因为A、E、B三点在同一条直线上，平角为180°，所以∠1＋∠2为180－90＝90°。 （2）根据旋转的特征，三角形BEF绕点E顺时针旋转90°，点E位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （3）通过将三角形BEF绕点E顺时针旋转90°，可发现空白部分的面积等于直角三角形的面积，这个直角三角形的两条直角边（底和高）分别为AE＝5cm和EB＝8cm。根据三角形面积公式S＝ah÷2（a为底、h为高），把数据代入公式计算即可。 【解答】（1）∠DEF＝90° 因为A、E、B三点在同一条直线上，平角为180°。 180－90＝90° 所以∠1＋∠2＝90° （2）如图： （3）8×5÷2＝20（cm2） 空白部分的面积＝20cm2。 29．如图，方格图是某小学的一块地，现在要进行改建，请按要求画图。 （1）图中长方形是原来的劳动教育实践基地，现在要将它按放大，且位置改在这块地的西北角，请画出放大后的劳动教育实践基地。 （2）在空地上建一个底是4，高是3的平行四边形花坛，其中一个顶点的位置用数对表示为，请画出这个平行四边形。 （3）方格外的这条线段是一条主水管，点D处有一个水龙头，从点D接一条分水管与主水管连通，怎样接这条分水管最短，请画出来。 【答案】见详解 【分析】（1）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1；地图上按上北下南左西右东确定方向，据此将原来的劳动教育实践基地放大，放到相应位置； （2）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此确定平行四边形一个顶点的位置，根据平行四边形的特征画出这个平行四边形； （3）点到直线的距离垂直线段最短，据此从点D向EF画一条垂直线段即可。 【解答】 30．按要求画图。（如图中每个小方格的边长是1厘米） （1）先画出将圆A向上平移4格后的图形，平移后A点的位置用数对表示是（    ），再按2∶1画出圆A放大后的图形。 （2）过B点作直线a的垂线。 （3）以P点为顶点画一个直角三角形，然后将它绕P点顺时针方向旋转90°。（把旋转后的图形涂上阴影） 【答案】（1）（2，7）；画图见详解 （2）（3）画图见详解 【分析】（1）根据图形平移知识，先画出将圆A向上平移4格后的图形，用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，平移后A点的位置用数对表示是（2，7），再结合图形放大知识，按2∶1画出圆A放大到原来2倍后的图形即可。 （2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿直角边向已知直线画直线即可。 （3）根据直角三角形的特征，以P点为顶点画一个直角三角形，然后根据图形旋转的方法，P点不动，将它绕P点顺时针方向旋转90°作图解答即可。 【解答】（1）先画出将圆A向上平移4格后的图形，平移后A点的位置用数对表示是（2，7），再按2∶1画出圆A放大后的图形。如图： （2）过B点作直线a的垂线。如图： （3）以P点为顶点画一个直角三角形，然后将它绕P点顺时针方向旋转90°。如图： （直角三角形画法不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $