专题36 长方体和正方体（能力清单+核心精要+实战演练）-2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训（通用版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体，通过“能力清单—核心精要—实战演练”模块构建知识体系，题型涵盖选择、填空、计算、作图、解答，结合神舟飞船、垃圾分类等真实情境，强化空间观念与应用能力，适配小升初专项复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|12|棱长和/表面积/体积计算、立体图形关系|结合圆柱圆锥综合对比，如等底等高体积比较| |填空题|12|展开图、拼接切割表面积变化、排水法|融入神舟模型制作等科技情境，考查公式逆推| |计算题|2|组合体表面积与体积|需分析图形构成，如半圆柱与长方体组合| |作图题|2|展开图补全、三视图绘制|培养空间想象，如根据部分展开图补全长方体| |解答题|14|实际应用（鱼缸、垃圾桶）、体积转换|结合榫卯结构、春晚LED屏等文化生活场景，强调解决问题能力|

2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题36 长方体和正方体（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出长方体和正方体的定义、各部分名称，明确表面积、体积、容积的定义，掌握棱、面、顶点的核心特征，牢记棱长和、表面积、体积（容积）的核心计算公式，理清长方体与正方体的联系和区别。 2、能熟练根据已知棱长计算长方体和正方体的棱长和，并说明“分类求和推导”的计算逻辑。 3、能熟练根据棱长计算长方体和正方体的表面积与体积，并说明“面面积求和推导”“体积单位累加推导”的计算逻辑，理解表面积展开图与原立体图形面对应关系。 4、能根据不同题目要求，灵活选用“公式套用法”“拼接切割增减法”“排水法”解决长方体和正方体相关问题。 5、解题或画图前，会习惯性确定“立体图形类型”与“棱长对应关系”，明确问题所求（棱长和/表面积/体积/容积），理清已知量对应关系，避免公式混用、单位错用。 6、能分辨“拼接切割的表面积变化”“不规则物体体积”“最少/最多”类问题，并抓住“重合面对应表面积增减”“排水体积对应物体体积”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“长方体”“正方体”“棱长和”“表面积”“体积”“容积”“拼接”“切割”“无盖”“不规则”等关键词，快速定位解题方向。 8、能熟练根据已知棱长和反推长方体和正方体的未知棱长，说明“公式逆推+分类计算”的推导逻辑。 9、能熟练根据已知表面积或体积反推长方体和正方体的棱长，理解表面积、体积与棱长的对应关系，掌握公式逆推的计算逻辑。 一、长方体。 1、长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 2、长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱。 3、长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。 4、长方体相邻的两条棱互相垂直。 5、展开图。 二、正方体。 1、8个顶点。 2、12条棱，每条棱长度相等。 3、相邻的两条棱互相垂直。 4、展开图。 三、长方体和正方体的表面积。 1、长方体表面积：六个面积之和． 公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a表示棱长） 四、长方体和正方体的体积。 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 一、选择题 1．把一个棱长6厘米的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（    ）。 A．169.56 B．216 C．678.24 D．113.04 【答案】A 【分析】根据题意可知，最大的圆柱的底面直径等于正方体的棱长，高等于正方体的棱长；根据圆柱的体积＝底面积×高，据此解答。 【解答】3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 圆柱的体积是169.56cm3。 2．一个长方体，长是6cm，宽是4cm，高是3cm。与它等底等高的圆锥的体积是（    ）。 A．72 B．24 C．150.72 D．37.68 【答案】B 【分析】理解“等底等高”的含义，即圆锥的底面积等于长方体的底面积，圆锥的高等于长方体的高。根据圆锥的体积公式，可知等底等高的圆锥体积是长方体（或圆柱）体积的。先求出长方体体积，再计算圆锥的体积即可。 【解答】长方体的底面积： 长方体的体积： 因为圆锥与长方体等底等高，所以圆锥的体积是长方体体积的。 圆锥的体积： 3．比较两个等底等高的圆锥和长方体的体积大小，结果是（    ）。 A．长方体体积大 B．圆锥体积大 C．体积相等 D．无法确定 【答案】A 【分析】长方体的体积公式，圆锥的体积公式，在底面积和高分别相等的条件下，通过比较即可判断体积的大小。 【解答】假设圆锥和长方体的底面积均为，高均为。 根据长方体的体积公式，长方体的体积为：。 根据圆锥的体积公式，圆锥的体积为：。 因为底面积和高分别相等，且，所以 。 即，长方体的体积大于圆锥的体积。 4．长方体包装盒的长是20厘米，宽是4.6厘米，高是1厘米。圆柱形零件的底面直径是2厘米，高是1厘米。这个包装盒内最多能放（    ）个这样的零件。 A．20 B．23 C．29 D．30 【答案】A 【分析】本题考查长方体与圆柱的实际应用问题。 首先比较长方体包装盒的高与圆柱形零件的高，确定层数。 然后根据长方体的长和宽分别除以圆柱的底面直径，利用去尾法求出长和宽方向各能容纳的零件个数（个数为整数）， 最后将两个方向的个数相乘得到总个数。 注意不能简单地用体积相除，因为零件之间存在空隙。 【解答】因为包装盒的高是厘米，零件的高是厘米，，所以只能放一层。 沿长边能放的个数：（个） 沿宽边能放的个数：，根据去尾法保留整数，能放个。 最多能放的总个数：（个） 所以这个包装盒内最多能放20个这样的零件。 5．李师傅把一个棱长为6cm的正方体钢锭锻造成一个高12cm的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）cm²。（损耗忽略不计） A．18 B．36 C．54 D．108 【答案】C 【分析】根据题意，锻造前后物体的体积不变。先根据正方体棱长计算出体积，该体积即为圆锥的体积，再利用圆锥体积公式反求底面积。 【解答】正方体钢锭的体积：6×6×6＝216（立方厘米） 因为损耗忽略不计，所以圆锥的体积等于正方体钢锭的体积。 根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的底面积S＝3V÷h＝216×3÷12＝648÷12＝54（平方厘米） 6．下图中的正方体、圆柱体和圆锥体的底面积相等，高也相等，下面说法正确的是（    ）。 A．圆锥的体积是圆柱体积的3倍 B．圆柱的体积比正方体的体积小一些 C．圆锥的体积是正方体体积的 D．三个物体的体积一样大 【答案】C 【分析】正方体和圆柱体的体积都可以用“体积＝底面积×高”来表示，圆锥的体积＝×底面积×高，再根据圆锥和圆柱的体积关系逐项分析。 【解答】A．当圆锥和圆柱等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，错误； B．当圆柱和正方体等底等高时，圆柱的体积＝正方体的体积，错误； C．由题意可知，圆锥的体积是圆柱体积的，且圆柱的体积等于正方体的体积，所以圆锥的体积是正方体体积的，正确； D．圆锥体积是圆柱、正方体体积的，三者体积不相等，错误。 说法正确的是圆锥的体积是正方体体积的。 7．图中的正方体、圆柱和圆锥等底等高，下列说法中错误的是（    ）。 A．圆锥的体积比圆柱的体积少 B．圆锥的体积是正方体体积的 C．圆柱的体积与正方体的体积相等 D．圆柱与正方体的表面积一定相等 【答案】D 【分析】根据题意可知，正方体、圆柱和圆锥的底面积和高均相等。因此圆柱和正方体的体积相等，都等于圆锥体积的3倍。据此分析各选项，选出说法错误的选项。 【解答】A．等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，把圆柱看成3份，圆锥是1份，则圆锥比圆柱的体积少的分率为：（3－1）÷3＝2÷3＝。此选项说法正确。 B．因为圆锥体积＝×底面积×高，正方体体积＝底面积×高，且底面积和高均相等，所以圆锥的体积＝×正方体的体积，即圆锥的体积是正方体体积的。此选项说法正确。 C．因为圆柱的体积＝底面积×高，正方体体积＝底面积×高，且底面积和高均相等，所以圆柱的体积＝正方体的体积。此选项说法正确。 D．圆柱的表面积＝2个底面圆面积＋侧面积，正方体表面积＝底面积×6。虽然底面积相等，但底面是正方形和圆形，两者的周长不一定相等，导致侧面积不一定相等，因此圆柱和正方体的表面积不一定相等。此选项说法错误。 8．下列选项中，不同于“正方形是特殊的长方形”这种关系的是（    ）。 A．等腰三角形和等边三角形 B．长方体和正方体 C．相交与垂直 D．梯形与平行四边形 【答案】D 【分析】正方形是特殊的长方形中，正方形具有长方形的所有特征，且额外具有四条边都相等的特征，即正方形是长方形的特殊情况，二者为包含关系。 【解答】A．等腰三角形是有两边相等的三角形，等边三角形是三边都相等的三角形。等边三角形满足等腰三角形的所有特征，且额外具有三边相等的特征，因此等边三角形是特殊的等腰三角形，二者为包含关系，与题目关系相同。 B．长方体是六个面都是长方形的立体图形，正方体是六个面都是正方形的立体图形。正方体满足长方体的所有特征，且额外具有六个面都是正方形的特征，因此正方体是特殊的长方体，二者为包含关系，与题目关系相同。 C．相交是两条直线有一个公共点，垂直是两条直线相交成直角。垂直满足相交的所有特征，且额外具有夹角为90°的特征，因此垂直是特殊的相交，二者为包含关系，与题目关系相同。 D．梯形是只有一组对边平行的四边形，平行四边形是两组对边分别平行的四边形。梯形和平行四边形的对边平行组数不同，不存在包含关系，二者为并列关系，与题目关系不同。 9．把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削去的部分约占正方体体积的（    ）。 A．80% B．78% C．25% D．21.5% 【答案】D 【分析】“正方体中削成最大圆柱”时，圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长。假设正方体的棱长为一个具体数值（如a＝2），先算出正方体体积和削成的最大圆柱体积，再用“正方体体积－最大圆柱体积”求出削去部分体积，最后再用“削去部分体积÷正方体体积×100%”得到结果。 【解答】假设正方体的棱长为2 2×2×2＝8 r＝2÷2＝1 8－6.28＝1.72 1.72÷8×100% ＝0.215×100% ＝21.5% 10．小飞课余时间喜欢做手工制品，他把一个棱长为6dm的正方体木料削成一个最大的圆柱时，削去了（    ）的木料。 A．216 B．169.56 C．46.44 D．56.52 【答案】C 【分析】削去的木料的体积等于正方体的体积减去圆柱的体积。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积＝。由题意可知，正方体的棱长是6dm，圆柱的底面直径是6dm，高是6dm。将数值代入公式求解即可。 【解答】正方体体积：6×6×6＝216（） 圆柱体积： ＝ ＝3.14×9×6 ＝169.56（） 216－169.56＝46.44（） 削去了46.44的木料。 11．如果一个圆柱体、一个长方体、一个圆锥体的底面周长和高分别相等，则（    ）体积大。 A．圆锥体 B．长方体 C．圆柱体 D．体积一样大 【答案】C 【分析】圆柱的体积，长方体体积＝长×宽×高，圆锥的体积。一个圆柱体、一个长方体、一个圆锥体的底面周长和高分别相等，可以将底面周长和高分别设为一个具体的值，再利用公式进行计算。计算时需先利用求出圆柱和圆锥的底面半径，并用底面周长除以2求出长方体长和宽的和，通过和给长方体的长和宽赋值。 【解答】一个圆柱体、一个长方体、一个圆锥体的底面周长和高分别相等，设底面周长为12.56，高为3。 圆柱的体积： 圆锥的体积： 长方体的体积： ，即长方体长为3.28，宽为3，高为3 如果一个圆柱体、一个长方体、一个圆锥体的底面周长和高分别相等，则圆柱体体积大。 12．下图各物体中，可直接用“底面积高”求它的体积的物体有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】“底面积高”的体积公式，适用于柱体：有两个互相平行且相等的底面，侧面与底面垂直的立体图形，不适用于锥体，圆锥体积公式：体积＝。 【解答】①长方体：是直柱体，体积公式为长×宽×高，而长×宽就是底面积，因此，可用“底面积高”计算； ②正方体：属于特殊的长方体，体积公式为棱长×棱长×棱长，其中棱长×棱长是底面积，因此，可用“底面积高”计算； ③圆锥：是锥体，公式需乘​，不可用“底面积高”； ④斜棱柱（非直柱体）：侧面与底面不垂直，利用“割补法”，把斜的部分切下来补到另一侧，转化为一个等体积的棱柱，再用棱柱的体积计算，因此，不可直接用“底面积高” ⑤直三棱柱：是直柱体，可用“底面积高”； 可用的物体有①②⑤，共3个。 二、填空题 13．小艾在观看了神舟十九号载人飞船发射后，打算做一个火箭模型。他把棱长8厘米的正方体橡皮泥做成了组合在一起的等底等高的一个圆柱和一个圆锥（如图），这个圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】384 128 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍。将正方体橡皮泥捏成组合在一起的等底等高的一个圆柱和一个圆锥，则圆柱的体积加上圆锥的体积等于正方体的体积。正方体体积＝棱长×棱长×棱长。根据和倍公式：较小数＝和÷（倍数＋1），用正方体体积÷（3＋1）求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积。 【解答】 （立方厘米） （立方厘米） 圆锥的体积是128立方厘米。 （立方厘米） 圆柱的体积是384立方厘米。 14．把一个棱长的正方体铁块熔铸成一个底面积的圆锥，圆锥的高是（ ）。 【答案】18 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体体积，圆锥的体积＝ ×底面积×高，由于体积不变，圆锥的高＝正方体体积÷底面积÷，据此解答。 【解答】6×6×6÷36÷ ＝36×6÷36÷ ＝216÷36÷ ＝6×3 ＝18（cm） 15．如图是一种长方体药品盒展开图的设计图，设计人员发现存在问题。你觉得多余的面是（ ）面（填字母）。如果图中长方形的长都为30厘米，宽都为20厘米，那么按修正后的图纸制作这个药品盒需要硬纸板（ ）平方厘米。（粘贴处的面积忽略不计） 【答案】 B 3200 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），A与F相对，D与G相对，C与E相对；长方体的长是30厘米，宽和高都是20厘米；然后根据长方体表面积公式“S＝（ab＋ah＋bh）×2”解答即可。 【解答】我觉得多余的面是B面。 （30×20＋30×20＋20×20）×2 ＝（600＋600＋400）×2 ＝1600×2 ＝3200（平方厘米） 16．某工地上有一个圆锥形状的沙石堆，底面积是12平方米，高是1.2米。这个沙石堆的体积是（ ）立方米。如果用这堆沙石铺路，公路宽是10米，铺0.15米厚，能铺（ ）米长。 【答案】 4.8// 3.2// 【分析】先求得沙石堆的体积，沙石堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积＝求得体积，然后再根据铺路前后体积没变，用砂石堆的体积÷宽÷厚度，即可求出铺路的长度。 【解答】根据分析： ×12×1.2 ＝4×1.2 ＝4.8（立方米） 4.8÷10÷0.15 ＝0.48÷0.15 ＝3.2（米） 即这个沙石堆的体积是4.8立方米；如果用这堆沙石铺路，公路宽是10米，铺0.15米厚，能铺3.2米。 17．某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径为6.5厘米，高为11厘米。将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，刚好装满，制作一个这样的无盖箱子至少需要（ ）平方厘米纸皮。 【答案】2444 【分析】这个箱子每行装了6罐饮料，装了4行，用直径乘6算出箱子的长；用直径乘4算出箱子的宽；这个箱子的高是11厘米。用长乘宽算出盒子下面的面积，再加上盒子四周的面积即可。长方体四周的面积＝（长×高＋宽×高）×2。 【解答】6.5×6＝39（厘米） 6.5×4＝26（厘米） 39×26＋（39×11＋26×11）×2 ＝39×26＋（429＋286）×2 ＝39×26＋715×2 ＝1014＋1430 ＝2444（平方厘米） 18．如图，把一个棱长是6cm的正方体木料削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）cm3，如果再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去（ ）cm3。 【答案】 169.56 113.04 【分析】根据题意，这个圆柱的底面直径是6cm，高是6cm。圆柱的体积V＝πr2h。 根据圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积的。把圆柱体积看作单位“1”，那么削去的体积是圆柱体积的（1－）。用圆柱体积乘（1－）即可。 【解答】圆柱体积：3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 169.56×（1－） ＝169.56× ＝113.04（cm3） 19．将下面的正方体切成体积和形状完全相同的两部分，切面的形状可以是（ ）。（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 【答案】②④ 【分析】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形，又因为截面为五边形时不过正方体的中心，则题目左图切面是四边形。过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心的截面的形状为正六边形，则题目右图切面是六边形。 【解答】将下面的正方体切成体积和形状完全相同的两部分，切面的形状可以是②④。 20．培培制作了一个蛋糕，尺寸如图所示。需将它放进一个长方体蛋糕盒内，为方便运输，需在蛋糕上面和四周留3cm的缝隙，这个长方体蛋糕盒的体积是（ ）cm3。（蛋糕盒厚度忽略不计） 【答案】50784 【分析】从图中可知，蛋糕的底面直径是40cm，蛋糕的高是20cm，底座高是1cm，根据“需在蛋糕上面和四周留3cm的缝隙”，可知这个长方体蛋糕盒的长、宽都是（40＋3＋3）cm、高是（20＋1＋3）cm；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体蛋糕盒的体积。 【解答】蛋糕盒的长、宽：40＋3＋3＝46（cm） 蛋糕盒的高：20＋1＋3＝24（cm） 长方体蛋糕盒的体积： 46×46×24 ＝2116×24 ＝50784（cm3） 21．淘气用棱长为1cm的方块拼一个长方体，已拼了一部分（见图），此时，该立体图形的体积为（ ），至少再摆（ ）个方块才能拼成一个长方体。淘气把长方体推倒，用这些方块拼了另一个长方体，从上面看到的图形是，此时这个长方体的高是（ ）cm。 【答案】 9 27 6 【分析】第1空，棱长是1cm的正方体体积是1cm3，数出该立体图形的正方体数量即可。第一层有7个，第二层有1个，第三层有1个。 第2空，根据每行个数×行数×层数＝长方体的个数，算出摆成长方体需要的总个数，再减去现在的个数即可。 第3空，从上面看，这个长方体的第一层是6个正方体，用总个数除以6算出它的层数即可。 【解答】第1空，7＋1＋1＝9（个） 9×1＝9（） 第2空，4×3×3－9 ＝36－9 ＝27（个） 第3空，36÷6＝6（层） 每层是1cm，6层是6cm。 22．用棱长1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型。这个模型的体积是（ ）立方厘米；若拿走最上面一层的小正方体，表面积会减少（ ）平方厘米。 【答案】 10 4 【分析】（1）计算模型体积需数出小正方体个数，再根据模型体积＝小正方体体积×小正方体个数求得，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 （2）拿走最上面一层小正方体后表面积减少的是这个小正方体侧面4个面的面积，减少的面积＝单个面的面积×4。 【解答】（1）通过观察图形，数出小正方体一共有10个。 1×1×1×10＝10（立方厘米） （2）1×1×4＝4（平方厘米） 这个模型的体积是10立方厘米；若拿走最上面一层的小正方体，表面积会减少4平方厘米。 23．如下图，从一个表面积为98平方厘米的长方体上锯下一个正方体，剩下的长方体的表面积是78平方厘米。锯下的正方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】30 【分析】先求出长方体锯下正方体后减少的表面积，而减少的部分是正方体的4个侧面，因此用减少的面积除以4得到正方体一个面的面积，最后用一个面的面积乘6，求出锯下的正方体的表面积。 【解答】（98－78）÷4×6 ＝20÷4×6 ＝5×6 ＝30（平方厘米） 24．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的体积是（ ）立方厘米。 【答案】90 【分析】由图可知，长方体鱼缸的长可以放下6个棱长为1厘米的小正方体，所以长为6厘米；宽可以放下5个棱长为1厘米的小正方体，所以宽为5厘米；高可以放下3个棱长为1厘米的小正方体，所以高为3厘米；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方厘米） 所以这个玻璃鱼缸的体积是90立方厘米。 三、计算题 25．计算图（1）的体积和表面积；计算图（2）的表面积（单位：cm） 【答案】（1）的体积是924.64cm3；表面积是675.36cm2；（2）的表面积是109.575cm2 【分析】图（1）的体积＝正方体的体积－圆柱的体积；根据观察，圆柱的高低于长方体的棱长，将圆柱嵌在正方体的底面移动到最上面正方体的面上，此时物体的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积＝πr2h，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积＝2πrh； 图（2）的表面积＝一个圆的面积加上半个侧面积再加上长方形截面的面积，根据圆的面积＝πr2，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【解答】10×10×10－3.14×（4÷2）2×6 ＝10×10×10－3.14×22×6 ＝10×10×10－3.14×4×6 ＝1000－75.36 ＝924.64（cm3） 10×10×6＋3.14×4×6 ＝100×6＋12.56×6 ＝600＋75.36 ＝675.36（cm2） 3.14×（5÷2）2＋3.14×5×7÷2＋5×7 ＝3.14×2.52＋15.7×7÷2＋35 ＝3.14×6.25＋109.9÷2＋35 ＝19.625＋54.95＋35 ＝74.575＋35 ＝109.575（cm2） 图（1）的体积是924.64cm3，表面积是675.36cm2；图（2）的表面积是109.575cm2。 26．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】662.8平方分米 【分析】观察图形可知，正方体的棱长是10分米，圆柱的底面直径是4分米、高是5分米，图形的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可。 【解答】10×10×6＋3.14×4×5 ＝100×6＋12.56×5 ＝600＋62.8 ＝662.8（平方分米） 四、作图题 27．如图，下面涂色部分是一个长方体纸箱展开后的4个面。（每个小方格的面积表示1dm2） （1）请你将这个长方体纸箱的展开图补充完整。 （2）下面有两张包装纸，用其中一张包装纸，你认为哪张更合适？写出理由。 【答案】（1）见详解 （2）B更合适，具体理由见详解 【分析】（1）由每个小方格的面积表示1dm2，可得每个小格的边长为1dm，观察涂色部分的4个面，能确定这个长方体的长是5dm，宽是3dm，高是1dm。长方体展开图需要6个面，我们需要补充另外2个面：两个“宽×高”对应的面（3dm×1dm），把它们补在合适的位置即可（比如补在现有面的旁边，保证展开图的结构符合长方体展开的特征）。 （2）合适的包装纸需要根据长方体展开图的长、宽来确定，把展开图的长的最大值以及展开图宽的最大值与包装纸的长款作比较，包装纸的长、宽应大于或等于展开图长、宽的最大值，如若都满足则选与展开图长、宽最大值最相近的，以节省包装用料。 【解答】（1）完整展开图： （2）B更合适，理由如下： 因为长方体宽为3dm，高为1dm。 根据展开图可知，包装纸大小需满足长大于或等于3＋1＋3＋1＝8（dm）（展开图长的最大值），宽（展开图宽的最大值）大于或等于5＋1＋1＝7（dm）。 A中12＞8，10＞7，B中 8＝8，8＞7。 A、B两张包装纸都能包，但包装纸B更合适，因为这样更节约包装纸。 28．用棱长1厘米小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图。（每个正方形上的数字表示在这个位置上所用的小正方体个数）        （1）这个几何体的体积是（    ）立方厘米。 （2）在上面的方格图中，画出从正面看到的几何体。 （3）如果把这个几何体补搭成一个大正方体，这个几何体至少还需要（    ）个小正方体。 【答案】（1）9 （2）见详解 （3）18 【分析】（1）由上面看到的图形上的数字可知，这个几何体由9个小正方体组成，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个正方体的体积，再乘小正方体的个数，即可求出这个几何体的体积。 （2）从正面看到的几何体有三列，从左往右，第一列有2个小正方形，第二列有3个小正方形，第三列有2个小正方形，据此作图。 （3）观察可知，要补搭成一个大正方体的棱长至少有3个小正方体，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出补搭成一个大正方体所需小正方体的个数，再减去已有的小正方体个数，即是至少还需要小正方体的个数。 【解答】（1）（立方厘米） （个） （立方厘米） 这个几何体的体积是9立方厘米。 （2）据分析作图如下： （3） （个） 如果把这个几何体补搭成一个大正方体，这个几何体至少还需要18个小正方体。 五、解答题 29．小明用两根塑料绳，捆扎下面两个食品盒（如图），结头处用2分米长的塑料绳，小红算了算说：这两根绳子一样长。小红说的对吗？请通过计算说明理由。 【答案】不对；理由见详解 【分析】左图的绳长＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，代入数据计算，求出所需绳子的长度； 右图的绳长＝2条直径＋4条高＋打结用的长度，代入数据计算，求出所需绳子的长度； 比较两根绳子的长度，得出结论。 【解答】左图的绳长： 4×2＋2×2＋2×4＋2 ＝8＋4＋8＋2 ＝22（分米） 右图的绳长： 4×4＋2×4＋2 ＝16＋8＋2 ＝26（分米） 比较：26＞22 这两根绳子不一样长。 答：小红说的不对。因为左图的绳子长22分米，右图的绳子长26分米，所以这两根绳子不一样长。 30．要设计一个恰好能装下20瓶圆柱形可乐的纸箱。若每瓶可乐的高为12cm，底面直径为6.5cm，则纸箱的容积是多少立方厘米？（可乐按下图所示的方式放入纸箱内） 【答案】10140立方厘米 【分析】长方体容积＝长×宽×高，从图中可知，20瓶可乐是按长方向放5瓶、宽方向放4排（5×4＝20）。因此纸箱的长＝5×可乐的底面直径；纸箱的宽＝4×可乐的底面直径；可乐立着放，因此纸箱的高＝可乐瓶的高。 【解答】纸箱的长：5×6.5＝32.5（厘米） 纸箱的宽：4×6.5＝26（厘米） 纸箱容积：32.5×26×12 ＝845×12 ＝10140（立方厘米） 答：纸箱的容积是10140立方厘米。 31．如图，甲容器是一个长10厘米、宽6厘米、高20厘米的长方体玻璃器皿，里面装有深8厘米的水。将甲容器中的水全部倒入乙容器中，水深12厘米，乙容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】40平方厘米 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高（水深），求出甲容器中水的体积，再用水的体积除以乙容器中的水深，即可求出乙容器的底面积。 【解答】10×6×8 ＝60×8 ＝480（立方厘米） 480÷12＝40（平方厘米） 答：乙容器的底面积是40平方厘米。 32．在大唐不夜城游玩时，亮亮看到一位民间艺人在吹糖人。艺人的工具箱（如下图），上半部分是一个半圆柱，下半部分是一个长方体。这个工具箱的容积是多少？（不考虑工具箱的厚度） 【答案】57.12dm3 【分析】工具箱的容积＝长方体容积＋圆柱容积的一半。长方体的容积＝长×宽×高，圆柱的容积V＝πr2h计算。 【解答】4÷2＝2（dm） ＝ ＝ ＝57.12（dm3） 答：这个工具箱的容积是57.12dm3。 33．如图，一个圆锥形容器里面装满水后，全部倒入长方体容器内，这时长方体容器内的水面高5厘米。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】37.5平方厘米 【分析】根据长方体容积＝长×宽×高，算出长方体内水的体积；根据圆锥的体积V＝Sh，用体积除以除以高即可算出它的底面积。 【解答】5×5×5＝125（立方厘米） 125÷÷10 ＝125×3÷10 ＝37.5（平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是37.5平方厘米。 34．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 【答案】625平方米 【分析】根据题意，安装散热装置的面积是这个长方体上面和四周的面积之和。上面的面积＝长×宽，前后两个面的面积＝长×高×2，左右两个面的面积＝宽×高×2。 【解答】20×0.5＋20×15×2＋0.5×15×2 ＝10＋600＋15 ＝625（平方米） 答：安装散热装置的面积是625平方米。 35．在海南自由贸易港建设中，吉祥村创建“美丽乡村”，为了进行垃圾分类，要制作一些长6分米，宽5分米，高10分米的无盖垃圾桶。制作一个垃圾桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】250平方分米 【分析】垃圾桶是无盖的长方体，因此计算所需铁皮面积时，只需要计算5个面的面积，即1个底面加上4个侧面。无盖的长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入进行计算即可。 【解答】6×5＋（6×10＋5×10）×2 ＝30＋（60＋50）×2 ＝30＋110×2 ＝30＋220 ＝250（平方分米） 答：制作一个垃圾桶至少需要250平方分米的铁皮。 36．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。下图是一个棱长为3分米的正方体木块，李叔叔准备分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1分米的小正方体，做成一个连接构件。这个连接构件的表面积是多少平方分米？ 【答案】78平方分米 【分析】正方体木块的棱长是3分米，挖去小正方体的棱长是1分米，1＋1＝2（分米），因为2分米＜3分米，所以正方体木块没有挖穿，每挖去一个小正方体就增加小正方体四个侧面的面积，正方体一共有6个面，一共增加（4×6）个小正方形的面积，先根据“”求出正方体木块的表面积，再加上（4×6）个小正方形的面积。 【解答】1×1×4×6＝24（平方分米） 3×3×6＋24 ＝54＋24 ＝78（平方分米） 答：这个连接构件的表面积是78平方分米。 37．李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 【答案】（1）180平方分米 （2）216升 【分析】（1）由图可知，该鱼缸是正方体，棱长是60厘米，且鱼缸无盖，所以只需要计算5个面的面积之和，即根据“棱长×棱长×5”即可计算出制作该鱼缸所需要的玻璃面积，最后将平方厘米换算为平方分米（1平方分米＝100平方厘米）。 （2）求盛水体积即求正方体鱼缸的体积，已知该正方体鱼缸的棱长是60厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该鱼缸的体积，最后将立方厘米换算为升（1升＝1立方分米＝1000立方厘米）。 【解答】（1）60×60×5 ＝3600×5 ＝18000（平方厘米） 18000平方厘米＝180平方分米 答：做一个这样的鱼缸至少需要玻璃180平方分米。 （2）60×60×60 ＝3600×60 ＝216000（立方厘米） 216000立方厘米＝216立方分米＝216升 答：能盛水216升。 38．左下图是一个宽5分米的长方体容器，被一块垂直于底面的薄铁皮（不计厚度）分割成A、B两部分。现以每分钟20升的均匀流量向A部分注水。右下图记录了从注水开始直到容器装满，A部分水面高度的变化情况。 （1） 隔板的高度是（ ）分米。 （2）整个长方体容器的长是多少分米？ （3）容器的A部分与B部分的底面积之比是（ ）。 【答案】（1）3 （2）12分米 （3）2∶1 【分析】（1）观察折线统计图，折线往上表示A部分水面逐渐升高，平缓无变化这一段，表示A部分已经注满，水开始越过隔板流往B部分，平缓无变化对应的高度就是隔板高度。 （2）观察折线统计图，可以确定注水时间30分钟和容器高度10分米，每分钟注水量×注水时间＝容器容积，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式计算即可。 （3）观察折线统计图可知，A部分注水时间为6分钟，B部分注水时间为3分钟，每分钟注水量×注水时间＝容器容积，分别计算出两部分容积，将升换算为立方分米（1升＝1立方分米）；长方体体积（容积）＝底面积×高，分别用两部分的容积除以隔板的高求出底面积；写出对应的底面积之比，再根据比的基本性质，将其化简为最简整数比即可。 【解答】（1）隔板的高度是3分米。 （2）20×30＝600（升） 600升＝600立方分米 600÷5÷10 ＝120÷10 ＝12（分米） 答：整个长方体容器的长度是12分米。 （3）20×6＝120（升） 120升＝120立方分米 20×3＝60（升） 60升＝60立方分米 （120÷3）∶（60÷3）＝40∶20＝（40÷20）∶（20÷20）＝2∶1。 所以，容器的A部分与B部分的底面积之比是2∶1。 39．笑笑家有一个长方体鱼缸（如图），里面的水深。 （1）这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米？ （2）由于空间摆放问题，笑笑的爸爸对鱼缸进行改造，原鱼缸的尺寸不变，把鱼缸改成直立的鱼缸（如图）。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里，此时水与鱼缸接触面的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6400立方厘米 （2）2120平方厘米 【分析】（1）图中标注的单位是dm，题干中表示水深的单位是cm，所以要先统一单位，再用长方体体积公式：计算即可。 （2）首先要确定改造后水与鱼缸接触的面，只有5个面：。第一步：算出改造后直立鱼缸的底面积与水深。底面长是2dm，宽是1dm，底面积：。通过题意可以得出，水的体积没变， 因此新水深就等于：。然后计算水与鱼缸接触面（）的面积。 【解答】（1）鱼缸尺寸：长4dm＝40cm，宽1dm＝10cm，水深16cm。 （立方厘米） 答：鱼缸里面的水的体积是6400立方厘米。 （2）改造后鱼缸的底面：长为2dm＝20cm，宽为1dm＝10cm，平方厘米。 因为水的体积不变，所以新水深： （厘米） 计算改造后水与鱼缸接触面（）的面积： 底面面积：（平方厘米） 两个的侧面：（平方厘米） 两个的侧面:（平方厘米） 水与鱼缸的总接触面面积：（平方厘米） 答：水与鱼缸接触面的面积是2120平方厘米。 40．小海在研究圆柱的体积时，用了不同的方法来推导。 （1）方法一：把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体，如图所示。并且分三步推导求出圆柱的体积： ①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的（ ），宽相当于圆柱的（ ）。 ②长方体的体积＝________________。 ③所以圆柱的体积＝________________。 （2）方法二：根据“面动成体”，圆柱可以看成是无数个等圆的叠加（如图）。它的厚度就是圆柱的高，“体积＝底面积×高”。按照这样的方法，下面不能用“底面积×高”求体积的是图（    ）。 A． B． C． D． 【答案】（1） 底面周长的一半 半径 长×宽×高 πr2h （2）D 【分析】（1）在推导圆柱的体积公式时，把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体。圆柱与长方体相比，体积不变，圆柱的底面积相当于长方体的底面积，高相当于长方体的高，长方体的“长”对应圆柱底面周长的一半， “宽”对应圆柱的半径，因为长方体的体积＝长×宽×高，所以圆柱体积＝底面周长的一半×半径×高，用字母表示为V＝πr2h。 （2）“面动成体”是说一个平面图形沿着某个方向运动，形成立体图形。当立体图形的底面积不变时，它的体积可以用“底面积×高”来计算（因为可以看成无数个相同底面积的面叠加，厚度对应高）。观察以下四个选项的图形，如果上底面积和下底面积是一样的，就可以用这个公式，如果上底面积和下底面积不一样，则不能用。 【解答】（1）①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的（底面周长的一半），宽相当于圆柱的（半径）。 ②长方体的体积＝长×宽×高 ③圆柱的体积＝πr×r×h＝πr2h （2）A．圆柱的底面是圆形，且上下底面完全相同（底面积不变），则能用“底面积×高”求体积； B．立体图形是圆柱，底面是圆形，上下底面相同，同理，圆柱底面积不变，能用“底面积×高”求体积； C．立体图形的底面是五边形，且上下底面完全相同（底面积不变），可以看出是无数个相同的五边形底面叠加，厚度是高，能用“底面积×高”求体积； D．立体图形是圆台，圆台的上下底面是大小不同的圆形（底面积不相同），因为底面积在变化，不能看成无数个相同底面积的面叠加，所以圆台不能用“底面积×高”求体积。 故答案为：D 学科网（北京）股份有限公司 $2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题36 长方体和正方体（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出长方体和正方体的定义、各部分名称，明确表面积、体积、容积的定义，掌握棱、面、顶点的核心特征，牢记棱长和、表面积、体积（容积）的核心计算公式，理清长方体与正方体的联系和区别。 2、能熟练根据已知棱长计算长方体和正方体的棱长和，并说明“分类求和推导”的计算逻辑。 3、能熟练根据棱长计算长方体和正方体的表面积与体积，并说明“面面积求和推导”“体积单位累加推导”的计算逻辑，理解表面积展开图与原立体图形面对应关系。 4、能根据不同题目要求，灵活选用“公式套用法”“拼接切割增减法”“排水法”解决长方体和正方体相关问题。 5、解题或画图前，会习惯性确定“立体图形类型”与“棱长对应关系”，明确问题所求（棱长和/表面积/体积/容积），理清已知量对应关系，避免公式混用、单位错用。 6、能分辨“拼接切割的表面积变化”“不规则物体体积”“最少/最多”类问题，并抓住“重合面对应表面积增减”“排水体积对应物体体积”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“长方体”“正方体”“棱长和”“表面积”“体积”“容积”“拼接”“切割”“无盖”“不规则”等关键词，快速定位解题方向。 8、能熟练根据已知棱长和反推长方体和正方体的未知棱长，说明“公式逆推+分类计算”的推导逻辑。 9、能熟练根据已知表面积或体积反推长方体和正方体的棱长，理解表面积、体积与棱长的对应关系，掌握公式逆推的计算逻辑。 一、长方体。 1、长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 2、长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱。 3、长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。 4、长方体相邻的两条棱互相垂直。 5、展开图。 二、正方体。 1、8个顶点。 2、12条棱，每条棱长度相等。 3、相邻的两条棱互相垂直。 4、展开图。 三、长方体和正方体的表面积。 1、长方体表面积：六个面积之和． 公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 2、正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a表示棱长） 四、长方体和正方体的体积。 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 一、选择题 1．把一个棱长6厘米的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（    ）。 A．169.56 B．216 C．678.24 D．113.04 2．一个长方体，长是6cm，宽是4cm，高是3cm。与它等底等高的圆锥的体积是（    ）。 A．72 B．24 C．150.72 D．37.68 3．比较两个等底等高的圆锥和长方体的体积大小，结果是（    ）。 A．长方体体积大 B．圆锥体积大 C．体积相等 D．无法确定 4．长方体包装盒的长是20厘米，宽是4.6厘米，高是1厘米。圆柱形零件的底面直径是2厘米，高是1厘米。这个包装盒内最多能放（    ）个这样的零件。 A．20 B．23 C．29 D．30 5．李师傅把一个棱长为6cm的正方体钢锭锻造成一个高12cm的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）cm²。（损耗忽略不计） A．18 B．36 C．54 D．108 6．下图中的正方体、圆柱体和圆锥体的底面积相等，高也相等，下面说法正确的是（    ）。 A．圆锥的体积是圆柱体积的3倍 B．圆柱的体积比正方体的体积小一些 C．圆锥的体积是正方体体积的 D．三个物体的体积一样大 7．图中的正方体、圆柱和圆锥等底等高，下列说法中错误的是（    ）。 A．圆锥的体积比圆柱的体积少 B．圆锥的体积是正方体体积的 C．圆柱的体积与正方体的体积相等 D．圆柱与正方体的表面积一定相等 8．下列选项中，不同于“正方形是特殊的长方形”这种关系的是（    ）。 A．等腰三角形和等边三角形 B．长方体和正方体 C．相交与垂直 D．梯形与平行四边形 9．把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削去的部分约占正方体体积的（    ）。 A．80% B．78% C．25% D．21.5% 10．小飞课余时间喜欢做手工制品，他把一个棱长为6dm的正方体木料削成一个最大的圆柱时，削去了（    ）的木料。 A．216 B．169.56 C．46.44 D．56.52 11．如果一个圆柱体、一个长方体、一个圆锥体的底面周长和高分别相等，则（    ）体积大。 A．圆锥体 B．长方体 C．圆柱体 D．体积一样大 12．下图各物体中，可直接用“底面积高”求它的体积的物体有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 13．小艾在观看了神舟十九号载人飞船发射后，打算做一个火箭模型。他把棱长8厘米的正方体橡皮泥做成了组合在一起的等底等高的一个圆柱和一个圆锥（如图），这个圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 14．把一个棱长的正方体铁块熔铸成一个底面积的圆锥，圆锥的高是（ ）。 15．如图是一种长方体药品盒展开图的设计图，设计人员发现存在问题。你觉得多余的面是（ ）面（填字母）。如果图中长方形的长都为30厘米，宽都为20厘米，那么按修正后的图纸制作这个药品盒需要硬纸板（ ）平方厘米。（粘贴处的面积忽略不计） 16．某工地上有一个圆锥形状的沙石堆，底面积是12平方米，高是1.2米。这个沙石堆的体积是（ ）立方米。如果用这堆沙石铺路，公路宽是10米，铺0.15米厚，能铺（ ）米长。 17．某种饮料罐的形状为圆柱形，底面直径为6.5厘米，高为11厘米。将24罐这种饮料按如图所示的方式放入箱内，刚好装满，制作一个这样的无盖箱子至少需要（ ）平方厘米纸皮。 18．如图，把一个棱长是6cm的正方体木料削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）cm3，如果再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去（ ）cm3。 19．将下面的正方体切成体积和形状完全相同的两部分，切面的形状可以是（ ）。（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 20．培培制作了一个蛋糕，尺寸如图所示。需将它放进一个长方体蛋糕盒内，为方便运输，需在蛋糕上面和四周留3cm的缝隙，这个长方体蛋糕盒的体积是（ ）cm3。（蛋糕盒厚度忽略不计） 21．淘气用棱长为1cm的方块拼一个长方体，已拼了一部分（见图），此时，该立体图形的体积为（ ），至少再摆（ ）个方块才能拼成一个长方体。淘气把长方体推倒，用这些方块拼了另一个长方体，从上面看到的图形是，此时这个长方体的高是（ ）cm。 22．用棱长1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型。这个模型的体积是（ ）立方厘米；若拿走最上面一层的小正方体，表面积会减少（ ）平方厘米。 23．如下图，从一个表面积为98平方厘米的长方体上锯下一个正方体，剩下的长方体的表面积是78平方厘米。锯下的正方体的表面积是（ ）平方厘米。 24．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的体积是（ ）立方厘米。 三、计算题 25．计算图（1）的体积和表面积；计算图（2）的表面积（单位：cm） 26．计算下图的表面积。（单位：分米） 四、作图题 27．如图，下面涂色部分是一个长方体纸箱展开后的4个面。（每个小方格的面积表示1dm2） （1）请你将这个长方体纸箱的展开图补充完整。 （2）下面有两张包装纸，用其中一张包装纸，你认为哪张更合适？写出理由。 28．用棱长1厘米小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如下图。（每个正方形上的数字表示在这个位置上所用的小正方体个数）        （1）这个几何体的体积是（    ）立方厘米。 （2）在上面的方格图中，画出从正面看到的几何体。 （3）如果把这个几何体补搭成一个大正方体，这个几何体至少还需要（    ）个小正方体。 五、解答题 29．小明用两根塑料绳，捆扎下面两个食品盒（如图），结头处用2分米长的塑料绳，小红算了算说：这两根绳子一样长。小红说的对吗？请通过计算说明理由。 30．要设计一个恰好能装下20瓶圆柱形可乐的纸箱。若每瓶可乐的高为12cm，底面直径为6.5cm，则纸箱的容积是多少立方厘米？（可乐按下图所示的方式放入纸箱内） 31．如图，甲容器是一个长10厘米、宽6厘米、高20厘米的长方体玻璃器皿，里面装有深8厘米的水。将甲容器中的水全部倒入乙容器中，水深12厘米，乙容器的底面积是多少平方厘米？ 32．在大唐不夜城游玩时，亮亮看到一位民间艺人在吹糖人。艺人的工具箱（如下图），上半部分是一个半圆柱，下半部分是一个长方体。这个工具箱的容积是多少？（不考虑工具箱的厚度） 33．如图，一个圆锥形容器里面装满水后，全部倒入长方体容器内，这时长方体容器内的水面高5厘米。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 34．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 35．在海南自由贸易港建设中，吉祥村创建“美丽乡村”，为了进行垃圾分类，要制作一些长6分米，宽5分米，高10分米的无盖垃圾桶。制作一个垃圾桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 36．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。下图是一个棱长为3分米的正方体木块，李叔叔准备分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1分米的小正方体，做成一个连接构件。这个连接构件的表面积是多少平方分米？ 37．李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 38．左下图是一个宽5分米的长方体容器，被一块垂直于底面的薄铁皮（不计厚度）分割成A、B两部分。现以每分钟20升的均匀流量向A部分注水。右下图记录了从注水开始直到容器装满，A部分水面高度的变化情况。 （1） 隔板的高度是（ ）分米。 （2）整个长方体容器的长是多少分米？ （3）容器的A部分与B部分的底面积之比是（ ）。 39．笑笑家有一个长方体鱼缸（如图），里面的水深。 （1）这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米？ （2）由于空间摆放问题，笑笑的爸爸对鱼缸进行改造，原鱼缸的尺寸不变，把鱼缸改成直立的鱼缸（如图）。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里，此时水与鱼缸接触面的面积是多少平方厘米？ 40．小海在研究圆柱的体积时，用了不同的方法来推导。 （1）方法一：把圆柱等分成若干份，拼出近似的长方体，如图所示。并且分三步推导求出圆柱的体积： ①长方体的高与圆柱的高相等，长相当于圆柱的（ ），宽相当于圆柱的（ ）。 ②长方体的体积＝________________。 ③所以圆柱的体积＝________________。 （2）方法二：根据“面动成体”，圆柱可以看成是无数个等圆的叠加（如图）。它的厚度就是圆柱的高，“体积＝底面积×高”。按照这样的方法，下面不能用“底面积×高”求体积的是图（    ）。 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $