江西南昌中学三经路校区2025～2026学年度高三第二学期考前测试数学试卷

20252026学年度第二学期南昌中学三经路校区三模测试卷 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知实数a,b,则“a>1且b>1”是“a+b>2”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.己知样本数据x1,x2,…,xs的平均数为6，方差为11；样本数据y1,y2,,y1o的平均数为9，方差为20， 现将两组样本数据合并，则新的样本数据x1,x2,…,x5,y1,y2,…,yo的方差为() A.19 B.20 C.26 D.30 3.己知函数f(x)=log2(2x+1)-x,若a=f(2),b=f(e2),c=f(m),则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a 4.注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中 的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量可（表示我在寻找什么？）、键向量k(表示我有什么可提 供？)和值向量节（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用可与各个k:(i=1,2,…,)计算 相似度s=可·，然后求权重1=记a=@,“2,0,,则注意力输出向量为a,a:,a, 可3，…，a·).现有可=(1,2,3)，=(0,1,1)，=(12,6,8)：2=(1,0,1)，2=(12,3,4)：k= (1,1,0),3=(12,6,4),则注意力输出向量为( ) A.(8,7,6) B.(10,7,6) C.(9,7,8) D.(8,9,10) 5.(1+x)2+(1+x)3+·+(1+x)11的展开式中x2的系数是( A.120 B.220 C.260 D.280 6已知双曲线C:若-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为6，F2:A是双曲线C上一点，AB,1FF2, ∠RAF,的平分线与x轴交于点B,份到-号则双曲线C的离心率为 A.V3 B.②1 C.7 D.② 3 7.己知正方体ABCD-A1B1C1D的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面ABC1D1,平面A1BCD1均 相切，②与棱AA1相切（即与棱AA仅有一个公共点），则球O的表面积的最小值为() A B.2 D.in 高三数 8已知函数m()=n(c+1)与函数m()=华(keR风)在区间(-1,0)上只有一个公共点，则k的取值范围 为() A.(-1,0) B.(-1,1) C.(0,1) D.(-1) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.我校举办2026年“南中杯青年教师说课竞赛，己知9位评委对某老师的评分具体如下（满分10分）：8.7， 9.0,9.3,8.5,9.5,8.7,9.8,9.7,9.5,.则下列说法正确的是() A.第75百分位数为9.5 B.极差为1.3 C.中位数为9.5 D.去掉最高分和最低分，不会影响到这位选手的平均得分 10.已知△ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c.则下列说法正确的是() A.若a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形 B.若sinA=cosB,则△ABC为等腰三角形 C.在锐角△ABC中，不等式cosB>simA恒成立 D.若B>90°，C=60°，则的取值范围为(2，+∞) 11.设0为坐标原点，直线过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且与C交于A,B两点（点A在第一象限）， ABImin=2,1为C的准线，AM1l,垂足为M,Q(0,1),则下列说法正确的是() A.p=2 B.1AM+1AQI的最小值为9 C.若LMF0=于则AB=号 D.x轴上存在一点N,使kAN+kBN为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,1,1),b=(2,0,-1),则向量在向量b上的投影向量的坐标是 13.如图，圆形纸片的圆心为0，半径为3cm,该纸片上的等边三角形ABC的中 心为O.D,E,F为圆O上的点，△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后， 分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合， 得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3)的最大值 为 14.己知a1,a2,,ae是8个正整数，记S={a,+a2+…+a,l1≤i<i2<…<i7≤8， 其中1，i2,,i,∈N*,若S=82,83,84,85,86,87,89),则这8个正整数中的最大数与最小数的积 为 之第1页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) △ABC中，sin(A-C+2cosA=V2sinB. sinc (1)求角C: (2)若角C为锐角，M是BC边上的一点，CM=2MB=2,AM=2√2，求△ABC的面积 16.(本小题15分) 如图，己知圆台O1O2,AB,CD,EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴截面，且BC=2AD=4,AE= √2 (1)求异面直线EF与BC所成角： (2)己知二面角B-EF-C的余弦值为-，求圆台的高0102的长. 02 17.(本小题15分) 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功 的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立.计划发射多次。 (1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次.记发射的次数为X, 求X的分布列与期望； (2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即 修复后，系统恢复到正常发射状态).修复失败的概率为二考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开 始.若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复，则继续进行下一次发射；若发射失 败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止. ①求至少发射3次的概率； ②定义Pn为第n次发射成功的概率，是否存在实数t使得数列{Pn+1一tP}为等比数列？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由. 高三数学 18.(本小题17分) 已知函数f)=苦-almx-(a-1)x-号 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围， 19.(本小题17分) 已知A,A,为椭圆C:苦+片=1(0<b<V5)的左，右顶点，M为C,上的一点，N为双曲线C:号 若=1上的一点(M,N两点不同于A1A两点)，设直线A1M,A,M,A1N,AN的斜率分别为k1,k2,kg k4,且k1+k2+k3+k4=0 (1)设0为坐标原点，证明：O,M,N三点共线。 (2)设C1、C2的右焦点分别为F1、F2,M、N均在第一象限，直线NF1与直线MF2相交于点P,k+k2+ k好+k好=8. ①判断直线MF与直线NF,的位置关系，并证明你的结论： ②证明：∠A1PF1=∠A2PF2. 第2页 高三数学参考答案 一、单选题： 题号 2 3 5 6 8 答案 B A C C B D D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AB AD BCD 三、填空题： 12.后，0，-3 13.108v15 14.120 125 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(1）sm4-C+2cosA sinc sinAcosC-cosAsinC 2cosAsinC sinC -sinAcosC+cosAsinc =sin(A+C)sin2sinB, sinC sinC sinc ~B∈(0，π)，∴.sinB≠0 学，又c∈0，m, sinc= …6分 (2)因为角C为锐角，则C= △ACM中，由余弦定理，得Ac8-号，即AC2-22AC-4=0, 4AC 解得AC=V2+V6或AC=V2-V6(舍)， Sac-×3×(W2+V同×sin号-3+ …13分 2 16.解：(1)连接01E,02F,由直线0102为圆台0102的轴，得FE,0201延长线交于一点， 又平面ADE/平面BCF, 平面E0102F∩平面AED=01E,平面E0102F∩平面BFC=02F, 所以0E/702F, 由01E=01A=1,AE=V2,得01E2+01A2=2=AE2, 则O1E⊥AD,而AD//BC, 因此O,F1BC, 直线02F,02C,0201两两垂直， 以02为坐标原点，直线02F,02C,0201分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 设0102=t,则A(0,-1,t),B(0,-2,0),F(2,0,0),C(0,2,0),D(0,1,t),E(1,0,t),01(0,0,t), FE=(-1,0,t),BC=(040), 则FE·BC=O,即FE⊥BC, 高 所以异面直线EF与BC所成角为： …7分 (2)由(1)得BF=(2,2,0),CF2(2,-2,0),FE=(-1,0,t), 设平面BEF与平面CEF的法向量分别为m=(a,b,c),元=(x,y,Z), 则元：8F=2a+2b=0 "(m.FE =-a+tc =0 取c=1,得a=t,b=-t, 故平面BEF的一个法向量为m=(t,-t,1), 元.CF=2x-2y=0 0. 元.FE=-x+tz=0 取z=1,得x=y=t, 故平面CEF的一个法向量为元=(t,t,1), 由二面角B-EF-C的余弦值为-青 得1osm,训= 1 m而=2t2+1V2t2+ 解得t=1, 所以圆台的高0102的长为1. …15分 17.解：(1)由题知，X的所有可能取值分别为1,2,3,4， 则Px=)=(（)2×6=12.3). Px=到=（圓°-号 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 1 2 4 8 P 3 27 27 E)=1×+2×号+3×号+4×号-% …5分 (2)①记第次发射成功为事件A;,第i次发射失败后修复成功为事件B:, 则PA)=子P(a)=3P(B)= 记至少发射3次为事件C,则C=A1A2+A1A2B2+A1B1A2 P(C)=P(A)P(A2)+P(A)P(A2)P(B2)+P(A)P(B)P(A2) =×+x×+××号= …9分 ②第n+2次发射成功有2种情形：第n+1次、第n+2次发射成功， 或第n次发射成功，第n+1次发射失败且发射失败后修复成功，第n+2次发射成功， 所以+2=R1号+Bx星×号P+1+ 三数学第3页 Pn+2-tPn+1=s(Pn+1-tPn),Pn+2=(s+t)Pn+1-stPn s+t=2 t= 2+V10 t=2-V10 所以 解得 6 或 6 st=- s= 2-V101 6 s=2+o' 6 6 因为B-号P=号×号+××号=若所以t=国时B2-th+0, 3 3 3 4 6 {Pn+1-tPn}是等比数列， 所以t=2±o …15分 6 18.解：（①）当a=-1时，f)=号+x+2x+分 所以f(x)=x+是+2，所以f'()=1++2=4, 又f1)=+m1+2×1+3, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0. …4分 (②)由f)=号-almx-(a-1)x-号 得f'(=x-是-(a-1)=2a1r-=-+, 函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 若a≤0，可得x∈(0，+∞)时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增： 若a>0时，当x∈(0，a)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减； 当xe(a,+o)时，'(x)>0,所以f(x)在(a,+⊙)上单调递增. 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+⊙)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增. 由上可知当a>0时，f有极小值，极小值为f@)=受-ana-a-1a-号=-号-ahm …10分 此时极小值也是最小值，f()≥0，可得号-ama+号≥0,1-a-2ha)≥0. 又a>0,所以1-a-2lna≥0. 令g(o=1-a-21ma,求导得g'@)=-1-<0, 所以g(a)在(0，+∞)上单调递减，又g(1)=1-1-2ll=0, 当a∈(0,1)时，g(a)>g(1)=0,当a∈(1，+o)时，g(a)<g(1)=0, 所以aE(0,1]时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0， 所以a的取值范围(0,1]. …17分 19.解（)设M.22.则k=k妇=产 因为学+是-1，可知：好-5=好， x-5 5 、62 5 y1 因为兰享-1，可知：爱-5影归， x-51 gk+ 2Y2=2b22 x-5-51 y2 由k1+k2+k3+k4=0可知：x1y2-x2y1=0, 可知：OM/ON,因此，0，M,N三点共线 …5分 ()由k好+k3+k3+k好=8可得：(k1+k2)2+(k3+k4)2-2(k1k2+k3k4)=8, 由(1)可知：k1k2+k3k4=0,由k1+k2+k3+k4=0可知： k1+k2)2=4,且M,N都在第一象限，则k1+k2=-2,k3+k4=2, a):头务-京(.5i=k-5-小=，-V5+,2 0式始合+=1，兰=1 5 b2 b2 可知：y1=2:y2== V5-b2 因此可得：(x1-V5-b2)y2-(x2-V5+b3)y1=x1y2-x2y1+V5+b2y1-V5-b2y2= V5+b2y1-V5-b2y2=0, 由此可知：M瓦/NF2: …10分 (i)由（①可知： b2 V5-b2 b2 b2 5-(5-b23 =1,kMP2= V5+b2 =-1, 5 V5-b2 V5+b2 5-(5+b2) V5+b2 则NF11MF2;直线F1N:y=x-V5-b2,直线F2M:y=-x+V5+bZ, 设点P(x0yg),于是x0-%=V5-b2,xg+yg=V5+b2, 则(x0-yo)2+(x+yo)2=10,即x6+y=5, 则点P的轨迹是以0为圆心，5为半径的圆， 则∠A1PA2=5,∠F1PF2=5 于是∠A1PF1￥∠F1PA2=℉1PA2+∠A2PF2,则∠A1PF1=∠A2PF2 ………17分 高三数学第4页