精品解析：江西省南昌市豫章中学2024届高三下学期5月模拟（三模）数学试题（A卷）

豫章中学高三“三模”数学试卷202405 命题人：豫章中学高三数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，， ，的前n项和为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设此数列的第n项为，先求出此数列的通项，再分求和求出前n项的和即可. 【详解】设此数列的第n项为，则 所以数列前n项和为： ， . 故选：B. 2. 已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解. 【详解】在方向上的投影向量为 故选：C. 3. 过圆：上一点作圆：的切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由于，进而可知求出的最小值即可，而最小即为求的 最小值，从而可求出结果. 【详解】由题意可知点，，，四点共圆，，因为，当的值最小时，最小，，，故四边形的最小值为． 故选：C. 4. 如图，已知六棱锥P－ABCDEF底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是 A. PB⊥AD B. 平面PAB⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线CD⊥平面PAC 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案. 【详解】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确． 过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC. 又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确． 若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C答案不正确． 故选D. 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 5. 若，，，则正数大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 6. 已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. ＋1 D. ＋1 【答案】C 【解析】 【分析】 由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，利用中点公式和直线垂直的关系求得直线l的方程，将F的坐标代入，求得a,b,c的关系式，进一步转化得到a,c的齐次关系式，转化为离心率e的方程求解即得.还可以从入手解决，更为简洁. 【详解】解法一：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称， 可得直线l为线段AB的垂直平分线， 线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为 ， 可得直线l的方程为， 令y＝0，可得，由题意可得， 即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0， 由，可得e2－2e－2＝0， 解得 (舍去)， 故选：C． 解法二：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可知,即, 两边平方，并结合，整理可得c2－2ac－2a2＝0，下同解法一. 【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法.根据已知条件求得a,b,c的关系，进而得到a,c的齐次关系，根据离心率的定义转化为离心率e的方程求解，是求离心率的常用方法. 7. 已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（    ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.如图所示的五面体是一个羡除，两个梯形侧面与相互垂直，.若，，，梯形与的高分别为3和1，则该羡除的体积（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，过，两点分别作的垂线，垂足分别为，，在平面内，过，分别作，，垂足为，，连接，，将羡除可以分割为两个直棱锥和和一个直棱柱，求体积和即可. 【详解】在平面内，过，两点分别作的垂线，垂足分别为，， 在平面内，过，分别作，，垂足为，. 连接，， 由平面与平面相互垂直，可知，， 又，易证平面平面，且平面， 所以几何体为直棱柱.因为，，，，梯形与的高分别为3和1，所以，，，，， 所以羡除可以分割为两个直棱锥和和一个直棱柱. 故所几何体的体积 . 故选：A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查多面体体积的求法，训练了利用分割补形法及等积法求多面体的体积，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（    ） A. 若，则的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可. 【详解】对于选项A和B，，， 若，则的取值范围是，所以A错误，B正确； 对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误. 故选：BD. 10. 已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先计算出的展开式中二项式系数最大值，根据二项式定理得到展开式的通项公式，从而得到方程，求出. 【详解】的展开式中二项式系数最大值为， 的展开式通项公式为， 令得，， 故展开式中的系数为，故，解得. 故选：AB 11. (多选题)设P是椭圆C：+y2=1上任意一点，F1，F2是椭圆C的左､右焦点，则（ ） A. |PF1|+|PF2|=2 B. -2<|PF1|-|PF2|<2 C. 1≤|PF1|·|PF2|≤2 D. 0≤≤1 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义和性质，以及焦半径的范围，对各项逐个分析判断即可得解. 【详解】由椭圆C：+y2=1，可得a=，b=c=1， P是椭圆C：+y2=1上任意一点， F1，F2是椭圆C的左､右焦点，根据定义可得|PF1|+|PF2|=2，A正确； 由， 所以，即所以B错误； 设P点坐标为(cosθ，sinθ)， 则|PF1|·|PF2|= =2-cos2θ∈[1，2]，所以C正确； 因为=(cosθ+1，sinθ)·(cosθ-1，sinθ)=2cos2θ-1+sin2θ=cos2θ∈[0，1]， 所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了焦半径的范围以及椭圆的参数方程，同时考查了三角函数，有一定的计算量，属于中档题. 本题涉及的重难点有： （1）椭圆焦半径的范围：； （2）椭圆的参数方程进行三角换元是解决椭圆问题的一种非常重要的方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数的导数为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后，代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 如图，21个相同的正方形相接，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由图可得，再用两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由图可得， ， 故. 故答案为： 14. 已知复数，，那么 __________. 【答案】 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得. 【详解】设，则，即有， 解得，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表： A类 B类 C类 男生 x 5 3 女生 y 3 3 （1）求出表中x，y的值； （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关； 男生 女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 （3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的分布列与均值． 附：，． 附表： a 0.10 0.005 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）， （2）见解析 （3），分布列见解析 【解析】 【分析】（1）设被抽取的20人中，男、女生人数分别为；根据分层抽样的原理，求得，进而求得x，y的值； （2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论 （3）X可能的取值为0，1，2，3，根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出X的数学期望. 【小问1详解】 设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则, 所以，． 小问2详解】 列联表如下： 男生 女生 总计 不参加课外阅读 4 2 6 参加课外阅读 8 6 14 总计 12 8 20 的观测值， 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关． 【小问3详解】 的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以． 其分布列如下表： 16. 在等腰梯形中，，，，点为的中点.现将沿线段翻折，得四棱锥，且二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）连接，取中点，连接，，通过等边三角形的性质得到，，根据线面垂直判定定理得到平面，故而可得结论；（2）由面面垂直性质定理可得平面，求出平面的法向量为，同时是平面的一个法向量，求出法向量夹角的余弦值，进而可得结果. 【详解】（1）如图连接，易知，均为正三角形，取中点， 连接，，则，. 又，平面， 平面， 又平面，所以. （2）因为二面角为直二面角，所以平面平面， 又因为平面平面，且，所以平面. 又因为，故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，. 所以，. 设平面的法向量为.由得 取，所以. 又因为直线平面，所以是平面的一个法向量， 所以. 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值. 【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，属于中档题． 17. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若对任意，成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值 （2）4 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值； （2）对任意，成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 由，得， 令，得；令，得， ∴的单调增区间是，单调减区间是， 故在处有极小值，无极大值； 【小问2详解】 由及，得恒成立， 令，则， 由，由， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 因此，所以m的最大值是4． 18. 内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求的大小； （2）如图，若，，D为所在平面内一点，，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理可求得，利用正弦定理求得，利用诱导公式可求得，并计算出，然后作，可得出点为的中点，计算出、，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理可得，， 得， 得，因为，所以， 因为，所以； （2）在中，，，， 所以， 所以， 由，得， 因为，在中，， ， 所以， 因为，作于点，则为的中点， ， ， 所以 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 19. 给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 （1）若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； （2）设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； （3）设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 【答案】（1）是“H数列”；理由见解析 （2）1，2，3，6； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“H数列”定义判断即可. （2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解. （3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”. 【小问1详解】 因为，当时，， 当时，也成立， 所以， 对任意m，且，， 是“H数列”. 【小问2详解】 因为 ，，， 所以，所以， 由已知得也为数列中的项， 令，即， 所以，所以d为6的正因数， 故d的所有可能值为1，2，3，6. 【小问3详解】 设数列的公差为d，所以存在，对任意，，即， 当时，则，故，此时数列为“H数列”； 当时，，取，则，所以，， 当时，均为正整数，符合题意， 当时，均为正整数，符合题意， 所以，， 设，，，即， 所以任意m，且，， 显然，所以为数列中的项， 是“H数列”. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列定义问题.其中关键点是理解“H数列”定义，并与已学知识等差数列进行结合，利用等差数列的定义与求和公式，分情况讨论即可证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 豫章中学高三“三模”数学试卷202405 命题人：豫章中学高三数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，， ，的前n项和为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 过圆：上一点作圆：的切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是 A. PB⊥AD B. 平面PAB⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线CD⊥平面PAC 5. 若，，，则正数大小关系是（    ） A. B. C. D. 6. 已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. ＋1 D. ＋1 7. 已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（    ） A B. C. D. 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪.如图所示的五面体是一个羡除，两个梯形侧面与相互垂直，.若，，，梯形与的高分别为3和1，则该羡除的体积（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论正确的是（    ） A. 若，则的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 10. 已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（    ） A. B. C. D. 11. (多选题)设P是椭圆C：+y2=1上任意一点，F1，F2是椭圆C的左､右焦点，则（ ） A. |PF1|+|PF2|=2 B. -2<|PF1|-|PF2|<2 C. 1≤|PF1|·|PF2|≤2 D. 0≤≤1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数的导数为，且，则__________. 13. 如图，21个相同的正方形相接，则__________. 14. 已知复数，，那么 __________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表： A类 B类 C类 男生 x 5 3 女生 y 3 3 （1）求出表中x，y值； （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关； 男生 女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 （3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的分布列与均值． 附：，． 附表： a 0.10 0.005 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 在等腰梯形中，，，，点为的中点.现将沿线段翻折，得四棱锥，且二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 17 已知函数 （1）求单调区间和极值； （2）若对任意，成立，求实数m的最大值． 18. 内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求的大小； （2）如图，若，，D为所在平面内一点，，，求的面积. 19. 给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 （1）若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； （2）设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； （3）设是等差数列，且对任意，是中项，求证：是“H数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$