精品解析：江西吉安市白鹭洲中学2026届高三考前强化训练数学B

高三年级强化训练（B） 数学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 7. 已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 49 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数在区间上单调递减 10. 若直线与两个函数的图象分别交于点，则（ ） A. 取得最小值时， B. 取得最大值时， C. 的最小值在区间内 D. 的最大值在区间内 11. 将数列中的所有项排成如下数阵．从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，，则（ ） A. B. C. 位于第行第列 D. 在数阵中出现两次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线的焦点为，点在抛物线上，则______. 13. 已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为__________． 14. 记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. （1）求该订单乘客接受动态调价的概率； （2）已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 16. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为棱BC的中点，平面ABCD，且． （1）证明：平面平面； （2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆与曲线在第一象限内有两个不同的交点和，且. （1）证明：直线的斜率为定值； （2）记为坐标原点，的面积为，求的取值范围. 18. 已知（其中，）. （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字（，，…，）来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，，记，加密矩阵，加密过程是，其中，，则密文为数字，分别对应的字母，若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，如若得到，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“me”的希尔密码的密文． （2）若，． （ⅰ）证明：在区间上有且仅有2个零点． （ⅱ）已知分别为的内角的对边，，且，恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级强化训练（B） 数学 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题得，则． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法乘法运算求解. 【详解】由得. 故选：D. 3. 已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 4. 如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题图，知，，又，所以，则． 5. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的单调性，可得在上是单调递减函数，求解即可. 【详解】因为在上是单调递减函数， 若在上是单调函数，则是减函数， 所以或，所以. 故选：D. 6. 某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， ， 则，则，得， 故达到停止训练条件的迭代次数至少为. 7. 已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，构造等比数列，求出，得出数列的通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性可知，可得数列是单调递减数列. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（ ） A. 24 B. 25 C. 48 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的性质和双曲线的定义可得、的横坐标为a，设直线的倾斜角为，则，得到，，进而可得内切圆面积之和最小值时，再求面积即可． 【详解】根据题意，，， 因为在轴上，所以， 所以 ，解得， 设两内切圆半径分别为，，与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 而，两式相加得， 所以T是双曲线的右顶点），轴，所以的横坐标为a，同理可求得的横坐标为a， 则， 设直线的倾斜角为，则， 在，中有， 同理可得， 设， 所以， 显然，当，即，时， 的内切圆与的内切圆的面积之和取最小值， 此时面积为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质逐项判断即可得答案. 【详解】， 所以的最小正周期，故A正确； 函数的图象向左平移个长度单位得到函数 ，故B不正确； 对于函数，由于， 所以函数的图象关于点中心对称，故C正确； 当时，， 所以函数在区间上单调递增，故D错误. 10. 若直线与两个函数的图象分别交于点，则（ ） A. 取得最小值时， B. 取得最大值时， C. 的最小值在区间内 D. 的最大值在区间内 【答案】AC 【解析】 【分析】设，根据条件得出，构造函数研究其单调性、最值即可. 【详解】设，则，即， 则， 记，则， 令，则， 则在上单调递增， 因， 所以存在，使得，即， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因时，，，则， 故没有最大值，且满足时，有最小值， 则AC正确，BD错误. 故选：AC. 11. 将数列中的所有项排成如下数阵．从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，，则（ ） A. B. C. 位于第行第列 D. 在数阵中出现两次 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解． 【详解】由第1列数成等差数列，设公差为d， 又由，，可得，，解得，，A正确； 第一列的通项公式为， 又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得，B错误； 又因为每一行的最后一个数为， 且，可得是的后一个数，且在第46行第1列，C正确； 由题设可知第行第个数的大小为， 当时，，与题意不符， 当时，令， 若，则无整数解； 若，则，即；若，无整数解，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线的焦点为，点在抛物线上，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得，可求得抛物线方程，由在抛物线上，可求. 【详解】由题意知，所以，所以， 又因为在抛物线上，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为__________． 【答案】##1.25 【解析】 【详解】样本数据的均值， 因为， 所以，解得， 所以这组数据的方差． 14. 记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先对，进行通分，并应用正弦定理及同角三角函数的商数关系式计算得出，再利用诱导公式及两角和的正切公式，将其转化为的关系式，最后用换元法，结合基本不等式计算求解得到最小值. 【详解】，得， 由正弦定理得，， 化简得，. 若，则为钝角，且， 则中至少有一个小于零， 即中至少有一个钝角，与一个三角形中至多有一个钝角矛盾，所以. 因为， 所以. 令，则，且，即. 因为，所以，即， 所以，即， 所以. 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单. （1）求该订单乘客接受动态调价的概率； （2）已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【小问1详解】 设事件表示“出行目的为工作通勤”，表示“出行目的为接驳交通枢纽”，表示“出行目的为其他”，事件表示“乘客接受动态调价”. 由题意得：，，. ，，. 由全概率公式：.代入计算：. 故该订单乘客接受动态调价的概率为. 【小问2详解】 由贝叶斯公式：.代入计算：. 故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为. 16. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为棱BC的中点，平面ABCD，且． （1）证明：平面平面； （2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 四边形为菱形，为棱BC的中点，所以. 又平面，如图：以为原点所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 设则 , 设平面的法向量为则，令易得. 设平面的法向量，则， 令，则. 所以，所以平面平面， 即平面平面 【小问2详解】 由（1）得 设平面的法向量，则 令，则 平面与平面的夹角的余弦值为 17. 已知椭圆与曲线在第一象限内有两个不同的交点和，且. （1）证明：直线的斜率为定值； （2）记为坐标原点，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）表示出直线的斜率和方程，联立椭圆方程，再根据韦达定理求解； （2）结合正弦定理面积公式建立关于的方程，再结韦达定理求解. 【小问1详解】 直线的斜率. 联立与，化简得， 由，得. 由根与系数的关系得， 由于，所以， 所以， 所以直线的斜率为定值. 【小问2详解】 因为， 所以. 由（1）知，则，所以的取值范围为. 18. 已知（其中，）. （1）若函数的图象过点，求不等式的解集； （2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； （2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【小问1详解】 将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 【小问2详解】 由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字（，，…，）来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，，记，加密矩阵，加密过程是，其中，，则密文为数字，分别对应的字母，若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，如若得到，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“me”的希尔密码的密文． （2）若，． （ⅰ）证明：在区间上有且仅有2个零点． （ⅱ）已知分别为的内角的对边，，且，恒成立，证明：． 【答案】（1）ec （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）（ⅰ）由定义结合三角恒等变换得出，令，得出，或，，结合分类讨论即可证明；（ⅱ）由平面向量数量积的定义及运算律，余弦定理，勾股定理逆定理即可证明． 【小问1详解】 “me”对应的数字分别为12，4，则， 28对26的余数为2，所以密文两个字母对应的数字分别为4，2，则密文为“ec”． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知， 所以． 令，则， 所以，或，， 若，则只能取0，从而或， 即方程在区间上有2个解， 所以在区间上有且仅有2个零点． （ⅱ）在中，，则由（ⅰ）可知． 在中，， 由余弦定理得， 由两边同时平方得， 化简得，即恒成立， 则关于的二次方程至多只有1个实数根， 所以， 又，所以． 所以，从而，， 所以，即，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $