四川绵阳市三台中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题

**基本信息** 高一下数学月考试卷，以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过正三棱柱线面角、菱形动态最值等问题，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高一学情，实现基础巩固与能力提升的梯度检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数模、向量夹角、投影向量|结合几何直观，如第5题正三棱柱线面角范围| |多选题|3/18|棱柱结构特征、三角形重心性质|注重概念辨析，如第9题棱台侧面性质判断| |填空题|3/15|圆台体积、测量问题、折叠体体积|联系实际情境，如第13题河对岸塔高测量| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、立体几何证明与线面角|强调综合应用，如第17题四棱锥面面垂直证明及线面角计算|

三台中学2025级高一下5月 教学质量检测 数 学 试 题 考试时间： 120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数,则(      ) A.2 B. C. D. 2．已知单位向量满足,则与的夹角为(      ) A. B. C. D. 3．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是(      ) A. B. C. D. 4．在中,点D在边上,点分别在线段,上,且有,,,则 A. B. C. D. 5．在棱长均为2的正三棱柱中，M是棱的中点，N是侧面内任意一点(包含边界)，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是(      ) A. B. C. D. 6．如图,已知中,,点P在线段上运动,且满足,当取到最小值时,的值为(   ) A. B. C. D. 7．在菱形中,,E为边上一点,则的最小值为(      ) A. B. C. D.13 8．已知的内角的对边分别为．若,则是(      ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法正确的有(      ) A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.棱台的侧面一定不是平行四边形 C.棱锥的侧面是全等的三角形 D.圆柱的侧面沿一条母线展开,则展开图不一定是矩形 10．中,下列说法正确的是(      ) A.若,则为锐角三角形． B.若,则点P的轨迹一定通过的内心． C.若G为重心,则 D.若点O满足,则 11．已知棱长为2的正四面体，P为的中心，M为平面内的动点，N为棱上一动点，则下列说法正确的是(      ) A.若平面，且，则的最小值为 B.若，且，则的最小值为 C.若，则的最小值为 D.的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12．已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为______. 13．如图所示,为测量河对岸的塔高,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得,,,,则塔高________. 14．如图,在正方形中,E为的中点,将沿直线折起至处,使得点P在平面上的投影在直线上,若三棱锥外接球的表面积为,则三棱锥的体积为________. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量,. （1）求; （2）若与垂直,求实数的值. 16．在中,角的对边分别为,若,其中, （1）求角B的大小; （2）若,的面积为. ①求的值; ②求的值. 17．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．在中,内角的对边分别为,且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为,已知． (1)求角B； (2)已知,当取最小值时,求外接圆的半径． 19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 三台中学2025级高一教学5月教学质量检测参考答案 1．答案：C 解析：因为,所以,所以. 2．答案：B 解析：因为,所以, 解得,又因为,所以 3．答案：C 解析：已知，，， 则，解得， 在方向上的投影向量为：. 4．答案：B 解析：如图,,.,., . . 5．答案：D 解析：如图，正三棱柱棱长均为2，取的中点为O， 则平面， 当点N是靠近点A的四等分点时，，则平面， 此时直线与平面所成角的正弦值最大为1； 当点N与重合时，此时最长， 即， 因为正三棱柱中，M是棱的中点， 所以点M到平面的距离为， 此时直线(即) 与平面所成角的正弦值最小，为， 所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是. 6．答案：D 解析：以A为原点,为x轴,为y轴建立直角坐标系 不妨设 则, ，当时取最小值 7．答案：A 解析：由题意建立如图所示的平面直角坐标系. 则, , 当且仅当时取等号. 8．答案：B 解析：由和余弦定理,可知,因此； 则,因此是以角B为直角的直角三角形. 9．答案：AB 解析：对于A,由棱柱的结构特征知,其侧面都是平行四边形,故A正确； 对于B,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形,故B正确； 对于C,棱锥的侧面是三角形,不一定全等,故C错误； 对于D,因圆柱的母线垂直于两底面,故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形,故D错误. 10．答案：BCD 解析：选项A：若,则,因此角B为锐角,但不一定为锐角三角形, 故A错误； 选项B：因为分别表示方向上的单位向量,所以的方向与的角平分线一致． 若,则的方向与的角平分线一致, 所以点P的轨迹一定通过的内心,故B正确； 选项C：若G为的重心,设边的中点为M, 则,故C正确； 选项D：设的中点为D,若点O满足,则点O为外心, 于是有．又, 则 ,故D正确． 11．答案：ABD 解析：对于A选项，过点N作交于点E，过点N作交于点F，连接，因为，平面，所以平面，同理可证平面，又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 当时，平面，则平面，故点M的轨迹为线段， 因为，所以，则，同理可得， 又因为，，则是边长为的等边三角形， 当点M为的中点时，，此时的长取最小值， 此时，A对； 对于B选项，如下图所示，连接、， 易知、都是边长为2的等边三角形，且N为的中点， 所以，， 又因为、平面，，所以平面， 当时，平面，则，故点M的轨迹为线段， 由勾股定理可得，同理可得， 故当M为的中点时，，此时的长取最小值，且，B对； 对于C选项，过点P作分别交、于点G、H，连接、、， 因为P为正的中心，则，因为，则， 因为三棱锥为正四面体，则平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当时，则平面，所以，故点M的轨迹为线段， 延长交于点Q，则Q为的中点，因为P为正的中心，则， 因为，所以，故， 由余弦定理可得， 故，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 当时，的长取最小值，此时， 故长的最小值为，C错； 对于D选项，如下图所示： 延长交线段于点T，则点T为线段的中点， 因为、均为等边三角形，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点P关于平面、关于直线的对称点都在平面内， 因为平面，平面，所以， 易知， ， 设点P关于直线、的对称点分别为、， 由对称性可知，，， 所以， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由余弦定理可得， 故， 由对称性知，， 所以， 当且仅当M、N为线段分别与线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为，D对. 12．答案： 解析：圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为l，高为h， 由圆台的侧面积公式得，解得， 由勾股定理得， 由圆台的体积公式得， 故答案为：. 13．答案： 解析：已知,,,则, 由正弦定理得,则, ,已知,, ,故. 14．答案： 解析：连接,交于点O,交于点F,连接,, 设正方形的边长为a, 因为为正方形,所以沿对角线折叠的过程中, 点D（即点P）在底面上的射影一直在直线上, 又点P在平面上的射影在直线上, 所以点F即为点P在平面上的射影,即平面, 因为平面,所以, 因为O为对角线、的交点,所以, 即,所以O为三棱锥外接球的球心, 则三棱锥外接球的半径,则,解得, 因为O为的中点,E为的中点,所以F为的重心, 则, 在中,,即三棱锥的高为, 则三棱锥的体积. 15．答案：（1）；（2）1 解析：（1）由,, 可得:,所以. （2）,, 因为与垂直,所以, 解得. 16．答案：（1）；（2）①;；② 解析：（1）因为,则,所以, 由正弦定理得,即, 又A是内角,则,所以,即, 又B是内角,则. （2）①在中,,由（1）及余弦定理得 , 又,, 联立解得,或（舍去）; ②由正弦定理可得,, 因为,,所以, 所以, 由可知, 所以, 故. 17．8．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； （2）由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； （3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以，在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．答案：(1)；(2) 解析：(1)由题意, 则,即, 由余弦定理．因为,所以． (2)因为,所以, 所以,当且仅当,即时等号成立, 此时,所以, 由正弦定理可知外接圆直径, 所以,所以外接圆的半径为． 19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以.故直线与平面所成角为. 学科网（北京）股份有限公司 $