四川广元外国语学校高中分校2025-2026学年高一下学期第二次阶段检测数学试题

广元外国语学校高中分校2025-2026学年（下）第二次阶段性检测 高一年级数学检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知A(2,3),B(4,-1),P是线段AB的中点，则P点的坐标是() A.(2,-4) B.(6,2) C.(-2,4) D.(3,1) 2.将复数1+)(5-10i)的实部与虚部进行交换，得到的复数为() A.-5+15iB.5-15i C.-5-5i D.-5+10i 3.在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即c=ā-五，其中ā 代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向 量ā=(4,2)，某件商品的特征向量b=(x,x),当该商品最符合该用户喜好时，x的值是() A.3 B.2 c.1 D.0 4.已知m,是空间两条不同的直线，，B为两个不同的平面，则下列命题错误的为() A.若m⊥B,C&,则a⊥B B.若⊥&，n上a&,则m∥n C.若m/1a,/1B,则a11B D.若/n,⊥a,则n⊥& 5.设aAc的内角4B,C的对边分别为abc,若b=2B-牙a+B-C=ab,则aAsc的面积 为() A.V3-1 B.3+1 C.1-3 3 D.1+3 3 6.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺 性等，常被人们制作成饰品.如图所示，现有棱长为2cm的正方体水 晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面 积为（) A.(16+3W3)cm B.(16+4W3)cm2 C.(12+3W3)cm D.(12+4V5)cm 7.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集 球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美某同学为了估算索菲 15 亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物AB,高为 36m,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线) 处测得楼顶A、教堂塔尖C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A 6045° 处测得教堂塔尖c的仰角为15°，则该同学计算索菲亚教堂的 高度CD为() A.52m B.54m C.56m D.58m 8.如图，点c是半径为1的扇形圆弧48上一点，O4.B=0,O=-=1, 若OC=xOA+yOB,则2x+y的最小值是（) A.-V5 B.1 C.2 D.√5 数学试题第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=√万，C=60°，则() A.sing= B.a=3 9 C.△A8C的外接圆的周长为251π D.△ABC为锐角三角形 3 10.已知向量ā，6满足==a-=1,则下列结论中正确的有() A.a与5的夹角为} B.a6月 c.a+=5 D.a6与5的夹角为号 11.已知正方体ABCD-AB,C1D的棱长为2，P为棱A4的中点，则下列说法正确的是() A.直线PD与BC所成的角为30 B.直线PD与平面AB8A所成角的正弦值为25 C.BD⊥平面ABC D.过点P且与B,D垂直的平面截正方体所得截面的面积为3√5 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a=(1,2),b=(2,2),则向量ā与的夹角余弦值为 13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为1=2，=4，则此圆台的内切球（与圆台的上、 下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 数学试题第2页，共4页 14.如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度BM=7cm.将此 正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则 sinasin2a+sina+2cos'a cosa 图1 图2 四、解答题：本题共小5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 己知关于x的一元二次方程x+px+q=0(p,q∈R)的两个根为5,2，且，52是一对共轭复数. (1)若3=3+2i（i是虚数单位)，求实数P,4的值： (2)若=2-=6，求片+的值. 16.(15分) 《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为 “阳马”如图，在阳马S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,E为SD的中点. (1)求证：SB∥平面EAC; (2)若SA=AD,求证：AE⊥SC. 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 asin C=3动simA,cosA= (1)证明：△ABC为等腰三角形 (2)若D是边BC的中点，AD=√34，求△ABC的面积. 数学试题第3页，共4页 18.(17分) 如图，在正方体ABCD-AB,CD中，点G,E,F,P分别为棱AB,DC,BC1,AA的中点，点M是棱 AD上的一点，且DM=3AM. D (1)求证：D,B,F,E四点共面： B (2)求证：DGM平面DBFE; (3)已知点N是棱AB,上的一点，且平面PMNW平面DBFE, 求w D AB 的值. G 19.(17分) 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字 (a=0,b=1,…,z=25)来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为 ,e,记M=(G,),加密矩阵A=,加密过程是MA=6,) y12=(,2), y21 y22 y21y22 其中1=x11+2y21,2=12+122,则密文为数字11,2分别对应的字母.若所得数字大于 25,则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若1=30，则取数字4对应的字母 11 (1)若加密矩阵A= 求明文为“nf"的希尔密码的密文 14 (2)若(W3sinx,1) :3sinx =(L,m),f(x)=-n. sinx sinx ①在△ABC中，(C)=0,点D在BC边上，且∠C4D∠C,AC=2反，求△MDC的面积； ②在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=0且teR,|AB-tACBC恒成立，证 明：c- 数学试题 第4页，共4页 广元外国语学校高中分校2025-2026学年（下)第二次阶段性检测 高一年级数学检测题参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案■ D A A C D D B B 1.=2+4 3,p=3+-1, 所以P点的坐标是(3,1) 2 2 2.1+i)(5-101)=5-10i+5i-10i2=15-5i,则所求复数为-5+15i 3.=-五=(4-x,2-x),=V(4-x)+(2-x)-V2c-3)+2,当x=3时，取得最小值. 4.对于A,由m⊥B,mC&,得a⊥B,A正确；对于B,由mLa,n⊥a,得ml∥n,B正确； 对于C,由m/1a,m/1B,得a/B或a,B相交，C错误；对于D,由m/In,⊥a,得n⊥a,D正 确. 5.因为d6-cva,2 BabowC=a,解得aC-号，因为c为三角形内角，所以 c-草4=-BC-沿又b28-子由正弦定理可得c-06 2+ 2 2W6 3 3, 2 所以aMBC的面积S=csnA=×2x2W6x6+巨-1+5 4 3 6.原正方体棱长为2c,裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为√2cm的小正方形，则六个小正方形面的面积和为 6×√2=12cm2:而切掉正方体的8个顶点后，每个切口新增一个边长为√2cm的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为片x5××5×8=4N3m㎡，所以该饰品的表面积为 2 12+4W3)cm2. 7.在△ABM中，∠ABM=90,∠AMB=45,故BM=AB=36,AM=AB =36√2， sin45° 在△MCM中，∠AMC=75，∠CAM=60°，∠ACM=45,由正弦定理得CM AM sin60°sin45°’ CM=AM.sm60=36√5，所以CD=CM-in60°=54m sn45° 8.由题：OC=xOA+vOB,点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，则x>0,y>0, oc=(x04+yoB),c=(x)+(yoB)+2x04.0B,04.08=0,04=0B=1 化简得：x2+y2=1,令x=cos6,y=sim8,0∈[0，]， x+sin0+2cos0=5sin(co 5pe0,] 所以2x+y=√5sin(0+p的最小值为1. 数学试题参考答案第1页，共7页 二、多选题 题号 0 10 11 答案 BCD ACD BCD b 2 ,解得sinB=V2V √7 9.由正弦定理 得sinB 7 故A错误： sin B sin C 2 9 由余弦定理得(W7=d2+4-4acos60',整理得：。2-2a-3=0, 解得a=3或a=-1（舍去)， a=3,故B正确； 设外接圆半径为R,则2R=一C。2团，外接圆周长为：2R=2Iπ，故C正确： sinC 3 3 最大边为a=3,对应角4，由余弦定理cs4-+心心-+7、0，故最大角4为锐 2bc 2×2x√714 角，则△ABC为锐角三角形，故D正确. 10.因为-=式+-2，所以ā6-分所以B错误： 前以oas-前-子因为a6:a所以a6-专所以A正确： ab 1 因为a+-Va+-+2a+-5,所以c正确： (a-)i 因为cos(a-b,) a-5 a令且行5列，所以a6=所 2n 1×1- D正确. 11.如图，对于A,在正方体ABCD-AB,CD,中，AD,∥B,CI∥BC,故直线PD与BC所成的角 即为直线PD与4所成的角，即∠ADP或其补角，在R△PA2中，m之4OP会则 ∠4DP不为30°，故A错误： 对于B,因为DA⊥平面ABBA,所以直线PD与平面ABBA所成角为∠APD, 则血Aa:经后点，校B正确 对于C,连接BD,则BD⊥AC, 又DD⊥平面ABCD,ACC平面AB,CD,所以DD⊥AC1, 又B,D∩DD=D,BA,DDc平面DDB,故AC⊥平面DDB, 因为BDC平面DDB,所以AC1⊥BD,同理可证AB⊥BD, 因为AC1OAB=A,A,C,ABC平面ABC,故BD⊥平面ABC1,故C正确； 数学试题参考答案第2页，共7页 对于D,由C选项可知BD⊥平面ABC, 故过点P且与B,D垂直的平面截正方体所得截面与平面ABC平行， 设AB,BC,CC1,C1D,DA的中点分别为O,E,F,G,H,依次连接P,Q,E,F,G,H, POIlA BIID CI/GF,EFIIC BIID AlIPH,EOIlACIIAC I/GH, 且PH=HG=GF=FE=EQ=QP=√2，∠HPD=∠POE=∠OEC=120°， 可得六边形POEFGH为正六边形， 而PQ∥AB,PQ文平面ABC1,ABC平面ABC1,故PQ∥平面ABC1 同理可证EQ∥平面ABC1, 又EQ∩PQ=O,EO,PQc平面POEFGH,故平面POE FGH/平面A,BC1, 即过点P且与BD垂直的平面截正方体所得截面即为六边形POEFGH,边长为√2， 其面积为6x5×2=35,D正确。 4 三、填空题 12、30 13、32元 22 10 14、 9 12.设a与方的夹角为0，则cos6= ab 1×2+2×2 3W10 F+2×√2+210 13.连接OA,OB,如图所示.根据题意可知，OA=AM=2,OB=BM=4, 所以∠OOA=∠AOM,∠OOB=∠BOM, 因为∠OOA+∠AOM+∠O,OB+∠BOM=π. 所以∠AOM+∠BOM= 2 因为OM⊥AB,所以△OMA~aBMO 所以O4、BM AM-OM'所以OM=AMX BM=2V2, 所以圆台的内切球半径为2√2，所以圆台的内切球的表面积为 S=4π×0M2=32π. B 14.如图，延长AN,交直线BC于点E, 由题意可得：AD=BC=CD=9,∠D=90°，AD/BC,AN/1FG, 设DN=xcm,则CN=CD-DN=(9-x)cm, 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜 D 坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为α的斜坡上时， A(M) 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为(9-x)cm的长方体的体 B 积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之 a 和， 因为9x9x(9-x)+×9x9x=9×9×7,解得：x=4,即DN=4m, 2 因为ANIIFG,所以∠AEF=∠F=, 因为AD1IBC,所以∠DAN=∠AEF=a, 所以tana=tan∠D4N=DN_4 AD9’ simasim2+sima+2cos2c_2sim2acosu+sima+2cos2e-2sin2'a+tana+2cosa=2+tama=2+4_22 cos a cosa T9-9 数学试题参考答案第3页，共7页 15.（1)法一：由2i+3是x2+px+q=0的一个根，可得(2i+3)2+p(2i+3)+q=0, 整理得5+3p+q+(2p+12)i=0,p,q∈R,则 [5+3p+9=0 2p+12=0' 所以p=-6,q=13. …6分 法二：由2i+3是x2+x+q=0的一个根，可知-2i+3也是x2+px+q=0的一个根， 韦达定理可得：p=-(3+2i+3-2i)=-6,q=(3+2i)(3-2i)=13. …6分 （2)设31=a+bi,3=a-bi(a,b∈R), 由=2，得a+b2=4. 又因为6，得= 2 所以4四，+-4=而 …13分 16.(1)连接BD交AC于点O,连接OE, :O,E分别为BD,SD的中点，则SB∥OE, SB文平面EAC,OEC平面EAC, .SB∥平面EAC. 。7 分 S B (2):SA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, .SA⊥CD, 又：ABCD为矩形，则AD⊥CD,且SA,ADC平面SAD,SAOAD=A .CD⊥平面SAD, 由AEc平面SAD,可得CD⊥AE, 若SA=AD,且E为SD的中点，则SDLAE, 又CD,SDC平面SCD,CDOSD=D, 则AE⊥平面SCD, 数学试题参考答案第4页，共7页 又SCc平面SCD, 故AE⊥SC, …15分 3 17（1)证明：因为2 asinC=3 bsin A,由正弦定理得2ac=3ba,.∴c=二b, 2 因为cosA了由余弦定理得+c心口-， 2bc 3 代入c=3b,化简可得a=3b 2 ∴.a=c 所以△ABC为等腰三角形 …7分 (2)由题可知a-c弘因为0是边Bc的中点，BD-cac4, 在△ABC和△ABD中，利用余弦定理的推论得 1 cosB=+cb2 +c2-AD2 (2 2a0 2x 代入AD=√34，a=c= A可得6=A5 由cosA=3得sin4=V-cosA=25 3 则△1Bc的面积.esin4-6sn4=子×32x22 =16√2…15分 22 3 18.（1)连接DB,因为点E,F分别为棱DC1,B,C1的中点， 所以EF∥DB, 又在正方体ABCD-ABCD中DD IBB,且DD=BB, 所以四边形DBBD为平行四边形， 所以DBIB,D, 所以EFBD,所以D,B,F,E四点共面： ……5分 数学试题参考答案第5页，共7页 D G (2)连接DC、GC分别交DE、DB于点H、O,连接HO, 在E方体ABCD-AaCA中，AEC且As-DC, 所以HEA△HDC,则H_四-L, CH CD 2 月理可得88 所以器8号.所以a0a0, 又HOc平面DBFE,DGa平面DBFE, 所以DG∥平面DBFE; …11分 (3)因为平面PMN∥平面DBFE, 且平面PMN∩平面AB,CD=N,平面DBFE∩平面ARGD=EF, 所以MNIIEF, 又EFID B, 所以MNIID B, 因为4aMM,所以搭指寺 …17分 18.(1)“f"对应的数字分别为13,5， 11） 由13,5) 14 =18,33),33对26的余数为7， 因此密文两个字母对应的数字分别为18,7，密文为“h”, 所以明文为“nf"的希尔密码的密文为“h” …5分 COSY √3sinx (2)①依题意，(W3sinx,1) (3sinxcosx+sinx,3sinx+sinx) sInx SInx 则m=√3 sinxcosx-+sinx,1n=3sin2x+sinx, 数学试题参考答案第6页，共7页 omwconco2)omn 2 2 2 2 由fC)=0,得sin(2c+马=5 31 2 在△ABC中，由0<C<π，得2C+匹∈，7 333, 一E（ 则c+号，解得c-吾on-c-合， 在△4DC中，∠ADC=3元 4’由正弦定理得AD=4CsC_22 sin∠ADC √2 2=2, 5m-专4A0c0-22m骨-232999351， 46 22221 所以△ADC的面积为√3-1. …11分 ②在△ABC中，由①及f(4)=0,得A=亚， ,aB4c=5e, 由余弦定理得a2=B+c2-2 bccos=b'+c2-√3bc, 6 由1B-AC时BC1两边同时平方得c-Y.5c+fb≥G, 整理得bt2-V5bct-b2-√5bc)≥0，即bt2-V5ct-(b-√5c)≥0， 依题意，∀t∈R,br-V3ct-(b-√3c)≥0，则△=3c2+4b(b-V5c)=(2b-V3c)2≤0， 因此&5c,c=a,&-5a,于是c-a+,所以c-号 …17分 数学试题参考答案第7页，共7页