专题三 二元一次方程组的应用 专项练习 2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习

**基本信息** 聚焦二元一次方程组应用，通过四类典型题型构建“问题情境—等量关系—方程模型”解题体系，培养从实际问题中抽象数学关系的能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |长方形拼凑问题|5题|图形观察找边长关系，建立长与宽的方程组|从几何直观到方程建模，强化空间观念| |销售问题|5题|分析进价、售价、数量等量关系，列表梳理数据|通过经济情境培养数据意识，构建量间关系| |定义新运算问题|5题|理解新定义转化方程，利用加减消元求解|结合符号意识，训练逻辑推理与创新思维| |配套问题|5题|根据产品配套比例，建立人员或数量方程组|联系实际生产，发展模型观念与应用意识|

专题三 二元一次方程组的应用 题型一 长方形拼凑问题 1．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． （1）求每一个小长方形的长与宽． （2）求阴影部分的面积． 2．现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 3．如图所示，某学校开发一块长方形试验田ABCD作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田ABCD的周长为102米，请计算该试验田的面积． 4．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求大长方形的面积． 5．在长方形ABCD中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 题型二 销售问题 6．某商店购进A、B两种商品共100件，A商品每件进价20元，B商品每件进价30元，总进价为2600元． （1）求A、B两种商品各购进多少件？ （2）若A商品每件售价25元，B商品每件售价38元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 7．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车．据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； （2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案． 8．李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 （1）求篮球和足球的标价分别为多少元； （2）元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 9．根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同： 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件，B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 任务一 求A、B充电器每件进价． 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润． 10．2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ （2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 题型三 定义新运算问题 11．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a，b，c互不相等）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c“变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为　 　 ； （2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为　 　 ； （3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x、y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式2（m﹣n）﹣（m﹣p）+3n+2026的值． 12．定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝x﹣3的“反对称二元一次方程”：　 　 ． （2）二元一次方程y＝2x+3的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 13．若将关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如：将二元一次方程x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程x﹣2y＝1的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程2x+y＝1的“相伴系数对”为　 　 ； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为（k，k﹣3），写出这个二元一次方程为　 　 ； （3）已知关于x、y的二元一次方程（m+n）x﹣2y+2mn＝0的“相伴系数对”为，请求出m﹣n的值． 14．定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　 　 ． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 15．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 　 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值； （3）已知整数m，n，t且t满足6＜t＜22，并且（10m﹣t）x+2025y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2025y＝2m+2的“变更方程”，求m的值． 题型四 配套问题 16．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． （1）该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ （2）该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 17．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 18．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． （1）如何安排生产可使每天生产的产品配套？ （2）该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要300h完成．现计划由一部分人先做10h，然后增加5人与他们一起合作20h，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 19．学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援． （1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ （2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 20．一百馒头一百僧，大和三个更无争．小和三人分一个，大小和尚得几丁？（选自《算法统宗》） 题目大意：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．大和尚、小和尚各有多少人？ 参考答案 1．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． （1）求每一个小长方形的长与宽． （2）求阴影部分的面积． 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案； （2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【解答】解：（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）20×15﹣5×12×4＝60，即阴影部分的面积为60． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，关键是根据题意找到关系式． 2．现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：设每个小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴xy＝10×6＝60． 答：每个小长方形的面积为60． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．如图所示，某学校开发一块长方形试验田ABCD作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田ABCD的周长为102米，请计算该试验田的面积． 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图中的数量关系列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得：， ∴2x＝30，x+y＝21， ∴试验田ABCD的面积＝30×21＝630（平方米）， 答：该试验田的面积为630平方米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求大长方形的面积． 【分析】设小长方形纸片的宽为x厘米，长为y厘米，根据题意结合图形列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设小长方形纸片的宽为x厘米，长为y厘米， 根据题意得：， 解得：，∴3y（x+y）＝3×30×（10+30）＝3600（cm2）， 答：大长方形的面积为3600cm2． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．在长方形ABCD中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【分析】设小长方形宽为a，长为b，由图得等量关系：①1个长+4个宽＝16；②3个宽+4＝1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设小长方形宽为a，长为b， 根据题意得：， 解得：， 答：小长方形的长为8，宽为2． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．某商店购进A、B两种商品共100件，A商品每件进价20元，B商品每件进价30元，总进价为2600元． （1）求A、B两种商品各购进多少件？ （2）若A商品每件售价25元，B商品每件售价38元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【分析】（1）设A商品购进x件，B商品购进y件，根据题意得，然后解方程即可； （2）分别求出A、B商品的获利，然后相加即可． 【解答】解：（1）设A商品购进x件，B商品购进y件， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：A商品购进40件，B商品购进60件； （2）A获利：[（25﹣20）]×40＝200（元），B获利：[（38﹣30）]×60＝480（元）， 总获利：200+480＝680（元）， 答：该商店共获利680元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 7．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车．据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； （2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案． 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 依题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m＜n， 依题意，得：25m+10n＝200， ∴m＝8n． ∵m，n均为正整数， ∴n为5的倍数， ∴或或， ∵m＜n， ∴不合题意舍去， ∴共2种购买方案， 方案一：购进A型车4辆，B型车10辆； 方案二：购进A型车2辆，B型车15辆． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 8．李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 （1）求篮球和足球的标价分别为多少元； （2）元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设篮球标价为 x元，足球标价为 y元，根据两次购买的数量和总费用，列出二元一次方程组并求解； （2）先根据第一问结果计算打折后的单价（六折），设购买篮球 m个、足球 n个（均为正整数），根据总费用 960 元列出方程，化简后寻找所有正整数解，即为购买方案． 【解答】解：（1）设足球的标价是y元，篮球的标价是x元， ∴， 解得：， 答：篮球的标价是80元，足球的标价是100元． （2）设李老师再次购买篮球m个，足球n个， ∴0.6（80m+100n）＝960， 48m+60n＝960， 4m+5n＝80， ∴， ∵m、n均为正整数， ∴或或， 答：李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的建立与求解以及在实际问题（打折销售和方案设计）中的应用；解题的关键是正确设未知数，根据表格信息列出方程组求解单价，并利用打折后的价格和总预算列出方程寻找整数解． 9．根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同： 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件，B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 任务一 求A、B充电器每件进价． 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润． 【分析】任务一：根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得A、B充电器每件进价； 任务二：根据题意，可以写出利润与购进A种充电器数量的函数关系式，然后根据A数量不少于B数量的4倍，可以得到购进A 种充电器数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案及最大利润． 【解答】解：任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元， 由题意可得，， 解得 ， 答：A、B充电器每件进价分别为20元，80元； 任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000﹣x）件，利润为w元， w＝（30﹣20）x+（100﹣80）（1000﹣x）＝﹣10x+20000， ∴w随x的增大而减小， ∵A数量不少于B数量的4倍， ∴x≥4（1000﹣x）， 解得x≥800， ∴当x＝800时，w取得最大值， 此时w＝12000，1000﹣x＝200， 答：获利最大的进货方案是购买A种充电器800件，B种充电器200件，最大利润是12000元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 10．2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ （2）现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车a辆，大货车b辆，列出方程，然后根据a、b均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【解答】解：（1）设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品， 依题意列二元一次方程组得：， 解得：， 即1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品； （2）该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车a辆，大货车b辆， 依题意列二元一次方程得：300a+400b＝2700 解得 又∵a，b均为正整数， ∴当b＝3，a＝5；当b＝6，a＝1； ∴或 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500＝2000+1500＝3500元； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500＝400+3000＝3400元； 3500＜4000；3400＜4000； ∴该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． 11．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a，b，c互不相等）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c“变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为　4x+2y＝3　 ； （2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为　　 ； （3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x、y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式2（m﹣n）﹣（m﹣p）+3n+2026的值． 【分析】（1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到m+n＝﹣p，代入代数式化简求值即可． 【解答】解：（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为4x+2y＝3， 故答案为：4x+2y＝3； （2）， ①﹣②解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①解得：y＝2， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）∵a+b+c＝0， ∴a+c＝﹣b， 方程ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入mx+ny＝p可得﹣m﹣n＝p， 即m+n＝﹣p， ∴原式＝2m﹣2n﹣m+p+3n+2026 ＝m+n+p+2026 ＝﹣p+p+2026 ＝2026． 【点评】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． 12．定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝x﹣3的“反对称二元一次方程”：y＝﹣3x+1　 ． （2）二元一次方程y＝2x+3的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【分析】（1）根据定义直接可得答案； （2）由题意得，二元一次方程y＝2x+3的“反对称二元一次方程”是y＝3x+2，再利用方程的解的含义建立方程组解题即可． 【解答】解：（1）二元一次方程y＝x﹣3的“反对称二元一次方程”为：y＝﹣3x+1； 故答案为：y＝﹣3x+1； （2）∵二元一次方程y＝2x+3的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴把代入y＝2x+3、y＝3x+2得： ， 解得， ∴m的值为1，n的值为5． 【点评】本题考查的是新定义的含义，二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是关键． 13．若将关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如：将二元一次方程x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程x﹣2y＝1的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程2x+y＝1的“相伴系数对”为　（﹣2，1）　 ； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为（k，k﹣3），写出这个二元一次方程为y＝3x ； （3）已知关于x、y的二元一次方程（m+n）x﹣2y+2mn＝0的“相伴系数对”为，请求出m﹣n的值． 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，得到y＝kx+k﹣3，把代入，求出k的值即可； （3）根据新定义，得到，进而求出（m﹣n）2，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵2x+y＝1， ∴y＝﹣2x+1， ∴二元一次方程2x+y＝1的“相伴系数对”为（﹣2，1）； 故答案为：（﹣2，1）； （2）由题意可知：y＝kx+k﹣3， 把代入，得： 2k+k﹣3＝6， 解得：k＝3， ∴y＝3x； 故答案为：y＝3x； （3）由条件可知：， ∵“相伴系数对”为， ∴， ∴m+n＝3， ∵， ∴m﹣n＝±2． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 14．定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：y＝﹣x+4　 ． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【分析】（1）理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题； （2）根据概率得出y＝3x+5的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【解答】解：（1）由题知，二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”是y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4． （2）二元一次方程y＝3x+5的“反对称二元一次方程”是y＝5x+3， 又∵二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴， 解得， ∴m＝1，n＝8． 【点评】本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，解题的关键是掌握相关运算． 15．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 　　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值； （3）已知整数m，n，t且t满足6＜t＜22，并且（10m﹣t）x+2025y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2025y＝2m+2的“变更方程”，求m的值． 【分析】（1）根据“变更方程”的定义可得4x+2y＝3，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合a+b+c＝0求出，代入二元一次方程mx+ny＝p得﹣m﹣n＝p，m+n＝﹣p，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据6＜t＜22可得6＜n＜24，由此可求出1＜m＜3，结合整数m，n，t即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，方程3x+2y＝4的“变更方程”方程为4x+2y＝3， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）根据题意，ax+by＝c的”变更方程”为cx+by＝a， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵a+b+c＝0，则a+c＝﹣b， ∴，即， ∵是二元一次方程mx+ny＝p的一个解， ∴﹣m﹣n＝p，则m+n＝﹣p， ∴（m+n）m﹣p（n+p）+2025 ＝﹣pm﹣p（n﹣m﹣n）+2025 ＝﹣pm+pm+2025 ＝2025； （3）（10m﹣t）x+2025y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2025y＝2m+2的“变更方程”， ∴， ①+②得，11m＝2m+n+3，整理得，，n＝9m﹣3， 把代入①得，，整理得，， ∵6＜t＜22， ∴， 解得，6＜n＜24， ∵n＝9m﹣3， ∴6＜9m﹣3＜24，则1＜m＜3， ∵m是整数， ∴m＝2， 当m＝2时，n＝15，t＝14，符合题意， ∴m＝2． 【点评】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． 16．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． （1）该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ （2）该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）设先安排m人制作茶具， 由题意列一元一次方程得：， 解得m＝10， 答：先安排10人制作茶具． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 17．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 【分析】（1）设该车间有男生x人，有女生y人，根据该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，根据2个大齿轮与3个小齿轮配套，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮， 根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m）， 解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 18．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． （1）如何安排生产可使每天生产的产品配套？ （2）该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要300h完成．现计划由一部分人先做10h，然后增加5人与他们一起合作20h，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，根据若由1人制作这批茶具需要300h完成．现计划由一部分人先做10h，然后增加5人与他们一起合作20h，恰好完成这项工作的，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：安排30人生产茶杯，15人生产茶壶可使每天生产的产品配套； （2）设先安排m人制作茶具， 由题意得：1020， 解得：m＝5， 答：先安排5人制作茶具，10h后增加5人与他们一起合作制作． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 19．学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援． （1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ （2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【分析】（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人，根据要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人，根据调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人， 由题意得：18+x＝4（7+40﹣x）， 解得：x＝34， ∴40﹣x＝6， 答：调往甲地34人，调往乙地6人； （2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人， 由题意得：， 解得：， ∴40﹣m﹣n＝40﹣8﹣15＝17， 答：应调往甲地17人，乙地8人，丙地15人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键． 20．一百馒头一百僧，大和三个更无争．小和三人分一个，大小和尚得几丁？（选自《算法统宗》） 题目大意：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．大和尚、小和尚各有多少人？ 【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“大、小和尚共100人，且共分100个馒头”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 根据题意得：， 解得：， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $