广西玉林市2026届普通高中毕业班自编模拟测试数学试题

**基本信息** 2026届高三数学模拟卷覆盖集合、函数、数列等核心知识，以AI伦理竞赛、盲盒购买等真实情境创设问题，梯度设计合理，有效检测数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、复数虚部、等差数列|基础巩固，如向量投影结合数量积考查数学眼光| |多选题|3/18|AI竞赛频率分布、函数性质、双曲线|时代情境，如频率分布直方图分析体现数据分析| |填空题|3/15|二项式系数、三角形角平分线、圆锥内切球|空间想象，如圆锥内切球问题考查几何直观| |解答题|5/77|数列求和、函数极值、立体几何、概率分布、抛物线综合|综合应用，如盲盒概率结合条件概率考查数学思维与语言|

2026届普通高中毕业班模拟测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则的虚部为（   ） A．1 B． C．i D． 3．已知是等差数列的前n项和，且，，则（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 4. 已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 直线与圆的交点为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 8．若函数的图像关于直线对称，则的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 0 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.04 B. 估计样本成绩的众数约为85 C. 估计样本成绩的上四分位数为85 D. 若规定成绩排名前的同学可入围决赛， 估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 10.已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 是的周期 11. 在平面直角坐标系xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点，C经过点，其一条渐近线经过点，第一象限内的点P在C上，则（ ） A. C的方程为 B. 点P到C的两渐近线的距离之积为 C. D. 若Q为的内心，则定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中的系数是______.（用数字作答） 13. 在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分）记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 16.(15分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 17. (15分）如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 18. (17分)某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 其中 (1)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立。若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户。现从顾客中随机选取一人。 (i)求该顾客为幸运客户的概率; (ii)若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围。 19. 已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，． （1）求p的值； （2）（在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点为的重心． （ⅰ）证明：在轴上，且； （ⅱ）若，求的值． 模拟测试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A B B C A B AB ACD BCD 12. 60 13. 14. 1、【答案】C【详解】由得，解得， 故，又因为，所以.故选：C. 2、【答案】A【详解】因为，所以，其虚部为.故选：A 3、【答案】A【详解】设公差为d，由题知， 解得，，∴．故选：A 4.【答案】B【详解】由题可知，若，则，当且仅当“”时取“”，则；若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件.故选：B 5.【答案】B 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以确定与的夹角为，所以，所以，所以.故选：B 6、【答案】C【详解】在中，圆的半径为4， 所以圆心到直线的距离为， 由点线距离公式得，所以，解得．故选：C 7【答案】A 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，，所以.故选：A 8【答案】B【详解】函数的图像关于直线对称， 且， 即，解得， 因此，，求导数得， 令，解得， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 在区间、上是增函数， 在区间、上是减函数， 又，的最大值为.故选：B 9.【答案】AB【详解】对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，设样本的众数为，则，故B正确； 对于C，设样本成绩的上四分位数为，由题意可得， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为成绩不低于90分的同学占总体的，不满足题意，故D错误. 10.【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故，若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称，故，故D正确． 11.【答案】BCD 【详解】由题意知双曲线C的一条渐近线方程为，由题意得， 解得，，则双曲线C的方程为，A错误； 设，则，即， 所以点P到C的两渐近线的距离之积为，B正确； 当时，，，所以， 又，所以， 当时，，易知，，所以，所以，C正确； 设，因为，，则， ，，， 因为Q为的内心，所以与共线，且， 所以，即①， 同理与共线， ， 所以， 即②， 由①②，得，，所以 ， 所以点Q在C的右支上，根据双曲线的定义知，D正确． 12.【答案】【详解】二项式的通项公式为， 令，所以的系数是，故答案为： 13【答案】【详解】因为的角平分线交于D，所以， 设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得， 在中，由余弦定理可得.故答案为：. 14【答案】【详解】设圆锥的母线长为，则，解得.则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为半径为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以. 沿，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 15.【详解】（1）因为，所以，.............................................................................1 当时，， ....................................................................................2 所以，即， ......................................................................................3 则是首项为1，公比为3的等比数列， ...............................................................................4 所以的通项公式为． .....................................................................................5 （2）由（1）可得，.....................................................................7 所以，........................................9 因为， ............ ....................................................10 ， . ..............................................12 所以t的取值范围为． . ....................................................13 16.【解析】（1）的定义域为，且....................................................................2 ①当时，则，所以在区间上单调递增；........................................3 ②当时，，令，可得，........................................................................4 时，，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． .................................................................................6 （2）由（1）可知若，在区间上单调递增，没有极值点，故，......................7 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取到极小值，.............................................................................................................9 则，即．.......................................................11 令， 由，单调递增，单调递增，故单调递增，，..................................................14 因此，即a的取值范围为． .....................................................................................................15 17【详解】（1）证明：取的中点，连接，........................................................................1 因为是的中点，所以，..........................................................................................................2 又因为三棱柱的所有棱长都是2， 所以四边形为菱形，所以，所以，.................................................................3 因为，且， 平面，所以平面， ...............................................................................4 又因为平面，所以， 在等边中，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面，............................................6 因为平面，所以平面平面. .................................................................................7 （2）解：连接，因为三棱柱的所有棱长都为2，且， 可得为等边三角形，且为的中点，所以， 由（1）知：平面平面，平面平面， 且平面，所以平面，................................................................................................9 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，..........................................................10 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ......................................................................................12 因为，..............................................................................13 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的正弦值为. .............................................................................15 18.解：（1）由题可知，, .................................................1 分 化简可得, ...................... ....................................................................... 2 分 当 时， ，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为 . ...................................................................... 4 分 （2）（i）设事件 = “一次性购买i 个文创盲盒 ”（i = 0, 1, 2, 3 ）， 事件B = “顾客为幸运客户 ”，..............................................................................................................5 分 则 依题意，得 ........................................................................................... 6 分 因为每个盲盒是否为封面款相互独立，所以 .............................................................8 分 又由题意知，,且两两互斥 ......................9 分 所以 ...........11分 由（1）得， ，代入化简可得 所以 ..............................................................................................12分 （ii）设事件 C = “一次性购买的文创盲盒全部是封面款 ”，依题意，得 . ................................................................................................................13分 且,且两两互斥， 所以.................................................................14分 由 得 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ..................................................................................................................16分 由题意 ,解得 又因为 ，所以 . ................................................................................................. 17 分 19.(1)解：设，其中，， 因为M是抛物线：与：的公共点， 可得，解得，则，......................................................................................1 又因为，所以， 则，可得， 因为，可得； .............................................................................................3 （2）（ⅰ）证明：由（1）知，， 设，，， 因为， 所以直线方程为，............................................................4 联立直线与的方程，消去x得，，① 因为直线与相切，所以由，可得， 同理，所以，为关于x的方程的两根， 故，，即，，② ....................................................6 设的重心，则，所以G点在y轴上，而，.........................................................................................7 因为点P在最左侧，由②知：，且，否则， 则，，从而，矛盾； 设，，则在区间上单调递减， 故，则． ...........................................................9 （ⅱ）由，即的面积是的面积的4倍， 由①②知，，同理，则，， ........................................................................................................11 所以 ， 所以，得，解得，...............................................................13 而直线AB斜率为， 直线DE斜率为 ， 因此，所以， 于是，即AB为的中位线，...........................................................15 设点到直线的距离为，则由为的重心及中位线的性质， 可知点到直线的距离为，且点到直线的距离为, ..................................16 因此与的面积之比为． ............................17 高三数学模拟测试 第1页/共1页 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