云南楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节一第7节，必修第二册第六章第八 如 章第5节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知l1,l2,l3是空间中三条不同的直线，若l∥l2,l2∥3，则 A.l∥l3 B.l1⊥L3 C.4与l3相交 D.l与l3是异面直线 2.复数一7+2i在复平面内对应的点位于 : A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知A(-2,1),B(4,-5),点P满足A市=2A,则点P的坐标是 A.(-3,3) B.(-8,7) C.(1,-2) D.(10,-11) 4.如图，用斜二测画法作出△ABC的直观图△A'B'C,若A'B'=A'C=1, y 则BC= A.2√2 B.√5 7O(A') B C.2 n号 5.已知棱台的上、下底面面积分别是1,4，高为3，则该棱台的体积是 A.3 B.7 C.9 D.21 【高一第二次月考·数学第1页（共4页）】 26-T-647A 6.将函数f(x)的图象向左平移于个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的 4倍（纵坐标不变），得到函数y=2sinx+)的图象，则f(x)的解析式可以为 Af(x)=2sim(x+） B.f(x)=2sin(4x+F） C)=2sin(x-)） Dfx)=2sin(4r-） 7.在平面四边形ABCD中，AD与CB不共线，点E,F满足AE=2E克，DF=2F花，若E京=mAD 十nCB,则m十n= A-3 B-号 c号 号 8.如图，两座山峰的高度AM=CN=400米，为测量峰顶M和峰顶N 之间的距离，测量队在B点(A,B,C三点在同一水平面上)测得M点 的仰角为60°，N点的仰角为30°，且∠MBN=30°，则两座山峰峰顶之 间的距离MN= A.4005米 3 B智米 c.8005米 3 n.g2米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.正四棱柱的侧面都是正方形 B.棱台的侧棱延长后交于一点 C.正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D.四面体的每个侧面都是等边三角形 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若sinA十sinB>sin2C,则△ABC是锐角三角形 C.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 D若△ABC的面积为S,且S=(a2+6-2),则C= 11.如图，在四面体ABCD中，E,F分别为棱BA,BC的中点，点H,G分 别在棱DA,DC上，且AH=3HD,CG=3GD,则下列说法正确的是 A.E,F,A,G四点共面 B.AC∥平面EFH C,FH与AG是异面直线 D.直线EH,FG,BD相交于一点 【高一第二次月考·数学第2页（共4页）】 26-T-647A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数千的虚部是 13.某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面直径为 14.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点P为矩形ABCD所在平面内一点，则(PA+PC)· PB的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数z=二十(1+识， (1)求z; (2)若az+z=3+(b-2)i(a,b∈R),求|a十bi. 16.(本小题满分15分) 已知向量a=(2,一1)，b=(3,5). (1)求|2a-b; (2)若向量c=(一1，m),且(a十c)∥b,求m的值； (3)求与a十b垂直的单位向量的坐标， 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2 sin xcos x+2cos2x-1. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； 2)若a∈（管，管）且o)=,求cos2a的值 【高一第二次月考·数学第3页（共4页）】 26-T-647A 18.(本小题满分17分) 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N,K分别为AB,PC,PA的 中点，平面PBC∩平面APD=U. (1)证明：l∥BC; (2)求证：MN∥平面PAD; (3)直线PB上是否存在点H,使得平面NKH∥平面ABCD?若存 : 在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由， 19.(本小题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+b=√c2十3ab, (1)求C; (2)若a=1,b2>a2+c2,sin(A-B)=√2sin(C-B),求△ABC的周长； C③)若inB=4mA,D为边AB上一点，且△ABC的面积为CD,求品的值 【高一第二次月考·数学第4页（共4页）】 26-T-647A 参考答案、提示及评分细则 1.A根据基本事实4可知，1∥L.故选A 2.B复数一7十2i在复平面内对应的点为（一7,2），位于第二象限.故选B. 3.C 因为A市=是忘，所以0市=0i+市=Oi+是A店=Oi+号O成O)=0+0成= (-2,1)十(4，一5)=(1，-2)，即点P的坐标是(1，-2).故选C 2 4.B根据斜二测画法可知，AB⊥AC,又A'B'=A'C'=1,所以AB=1,AC=2,所以BC=√22+12=√5.故 选B. 5.B依题意，棱台的上底面面积S=1,下底面面积S=4,高为h=3,故由公式可知，棱台的体积是V= 号(S+5S+Sh=7,放选B 6.D将函数f(x)的图象向左平移开个单位长度，可得y=f(x十于)的图象，再将所得图象上所有点的横坐 标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得y=f(x十T)=2sim(x+子)的图象，令x+不=，得x 一x十4，可得f()=2sin(-x十4+否）=2sim(41-),所以f(x)=2sim(4r一2写).故选D 7.A由题意知E序=E第+BC+C①，E亦=Ei+AD+D②，又A龙=2E,D市=2F心，则OX2+②得3E立 =(2E+EA)+2BC+AD+(2C+D)=2BC+Aò，所以E=}AD-号C,又E萨=mAD+nCi, A与C不共线，所以m=号n=一号所以m十m=一子故选A AM C在R△ABM中BM-sin/ABM sin0=S,在R△BON中，BN CN .400 sin∠CBN-sin30=800,在 800 △BMN中，MN=√Bf+BN2-2BM·BNcos∠MBN +802-2×800×800×5-8003米. √3 5 3 故选C 9.BC正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；用平行于棱锥 底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确； 正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；四面体的每个侧面都是 三角形，不一定为等边三角形，D错误.故选BC 10.AD对于A,由A>B,可得a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,所以A正确；对于B,由正弦定理得a2十b ≥，所以cosC十)>0.所以C为锐角，但A,B可能为钝角，不能确定△4BC为锐角三角形，故B 错误；对于C,已知A=30,6=5a=2,根据正弦定理可知0品B解得mB=景>1，所以无解，C 错误；对于D,若△ABC的面积为S,因为S=子(a2+-2),则2 absin C-子×2 abos C,所以sinC 【高一第二次月考·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-647A cosC则anC-识-1，由于Ce(0,x),则C-于，故D正确故选AD 11.BCDA,E,F∈平面ABC,G￠平面ABC,故A错误；因为E,F分别为棱BA,BC的中点，所以EF= AC.EF/AC,又EFC平面EFH,ACt平面EFH,所以AC/平面EFH,故B正确：因为点H.G分别在 棱DA,DC上，且AH=3HD,CG=3GD,所以HG=AC,HG/AC,所以HG=EF,HG∥EF,所以H, G,E,F四点共面，又A在平面HGFE,所以FH与AG是异面直线，故C正确；设EH∩FG=P,又EHC平 面ABD,FGC平面BCD,所以P∈平面ABD,P∈平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD, 故直线EH,FG,BD相交于一点，故D正确.故选BCD. 12-?因为十》得+得器-5,0-1一2么，所以的虚部是-2 5 因为圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为120的扇形，所以该扇形的弧长为部×4-三×4= 3 3π， 设圆锥的底面半径为，则2一号x,解得，=专，则该圆锥的底面直径为号 8 14.一号如图所示，以A为原点，以AB,AD所在直线分别为x,y轴，建立平面直 角坐标系，设P(x,y),则A(0,0),B(1,0),C(1,2),可得pA=(-x,-y),P元 (1-x,2-y),PB=(1-x,-y),则PA+PC=(1-2x,2-2y),所以 (pi+P心).Pi=1-2,2-2)·1-x-0=2(x-是）+2(y-2)月 一名，所以当且仅当x=子y一时，P+P心)·P跟得最小值一号 15i.解，61-1+i-20+D+21-2+2i计21-号+号…4分 2 所以2号-号i …6分 (2)由a2计=3+(6-2i(a,6cR),得a(号-吾)+（号+号）=3+(6-2i,…8分 即(a+1)+号1-ai=3+d-2i, [(a+D-3. 所以 10分 g1-ow-6-2 解得Q=1,b=2,… …12分 故a十bi=|1十2i=√5.…13分 16.解：(1)因为a=(2,-1),b=(3,5),所以2a-b=2(2,-1)一(3,5)=(1，-7)，…3分 所以|2a-b=√/12十(-7)7=5√2.…5分 (2)因为c=(-1,m),所以a+c=(2,-1)+(-1,m)=(1,m-1), 又(a十c)∥b,所以3(m-1)-1X5=0,… 8分 解得m=§ 31 10分 【高一第二次月考·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-647A 5x+4y=0, (3)由题意知a十b=(5,4),设与a十b垂直的单位向量的坐标为(x,y),所以 …13分 x2+y2=1, 解得x=4√红， 41 41 41 即与a+b垂直的单位向量的坐标为（色夏，5恩）或(-4,5叠〉 …15分 17.解：(1)由题意知f(x)=2 sin xcos+2cos2x-1=sin2z+2.1+cos2x-1 -sin 2x+cos 2r-/2sin(2r+), …3分 所以f(x)的最小正周期T=红=元 2 …5分 令分十2k元≤2江叶升≤7十2次r,k∈Z,…7分 解得-+kr≤≤否十km,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为[一+km,冬十m](k∈Z).…8分 (2由题意知fa)=2sn(2a+平)-4，所以sin(2a十子)=青， 又(g,爱），所以2a+∈（受，受）.所以cs(2a十)=-√1-（号）=-是，…10分 所以cos2a=cos[(2a+子）-至]=cos(2a+平)cos车+sim(2a+)sin =一 ×号+号×号-得 2101 …15分 18.(1)证明：因为BC∥AD,ADC平面PAD,BC过平面PAD,所以BC∥平面PAD, …3分 又平面PAD∩平面PBC=L,BCC平面PBC,所以l∥BC.…5分 (2)证明：取PD中点F,连接AF,FN,…6分 则在△PCD中，FN∥CD,FN=DC, 又在口ABCD中，AM/CD,AM=号CD,则AM∥FN,AM=FN,…8分 即四边形AFNM为平行四边形，所以AF∥NM,… 9分 又AFC平面PAD,MN吨平面PAD,所以MN∥平面PAD.…11分 (3)解：当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD.…12分 证明如下：取PB的中点为H,连接KH,NH, 则在△PBC中，HN∥BC, 又HN吐平面ABCD,BCC平面ABCD,则HN∥平面ABCD,·14分 同理可证，KH∥平面ABCD,… 15分A 又KH,HNC平面KNH,KH∩HN=H,所以平面KNH∥平面ABCD. …17分 19.解：(1)由a十b=√C2十3ab,两边平方整理得c2=a2十-ab,…1分 【高一第二次月考·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-647A 由余弦定理得cosC=Q2+仔一c 2ab 2分 又C∈0，，所以C=子 ................................. 3分 (2)由>a+2知cosB=a+一<0，则B为钝角。 2ac …4分 由C=受，得sin(-2B)=2sin(受-B), 所以2sim(5-B)cos(号-B)=2sin(号-B), 又受<B<,所以<音-BK-吾则sm(答-B)<0, 所以cs(停一-B）-号， …6分 则-B=放B-A=- …7分 1x2+6 "sin A sin B-sin C,得6-sB 由正弦定理a b 4 sin A =2十3， √6-√② 4 c=asin C 1X 2=32+6 sin A 2 9分 √6-√② 4 故△ABC的周长为3+V3+3V2+6 2 10分 (3由2bx号-语cD,得cD= 9 11分 设裙-X0<<1.则Ai-xA。 所以CD=C+AD=CA十AB=Ci十(C第-CA)=(1-)CA十AC第，…12分 所以C亦=(1-A0G+a+2a1-a0ab×2, …13分 则g=(1-P形+8a2+1-x0b, 整理得9(1-02(2）广+9x+[9以(1-》-7刀2=0… 14分 由sinB=4sinA,知b=simB=4, a sin A 15分 所以1172-252λ+116=0， 爵得=号，或入三（舍去），………严 16分 2 数品 =2. 17分 【高一第二次月考·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-647A