2025-2026学年人教版数学八年级下册第十九—二十四章知识点总结

2026版 八年级下册 数学 人教版 第十九—二十四章 知识点总结 第十九章 二次根式 一、二次根式的概念 1、二次根式的定义：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式．其中“ ”称为 ，a为被开方数. ①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个 ； ②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子. 【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有. 2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为 ，反之也成立.即：有意义=>a 0, 无意义，a 0. 二、二次根式的性质 1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a 0（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． 三、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的 . 用字母表示为： （a ≥0，b≥0）. （1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数. （2）二次根式的乘法法则推广： ①•（a ≥0，b ≥0，c≥0）. ②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）. 2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积. 即：•（a≥0，b≥0） 3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数 商的算术平方根. 用字母表示为： （a≥0，b＞0）． 4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）. 即：（a≥0，b＞0） 【注意】 ①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0. ②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可. 四、最简二次根式 1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含能 的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是 ，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 五、二次根式的加减 1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式 相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式. （1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式． （2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变. 【注意】 （1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关. （2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为. 2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. (1)二次根式的加减法的解题步骤: ①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式 ②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式 ③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项. (2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用. 【注意】 （1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并； （2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分. 六、二次根式的混合运算 1、二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算. 2、二次根式的混合运算顺序： 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 3、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用. 第二十章 勾股定理 一、勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于 的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 . ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于 三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2 c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2 c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 二、勾股定理的证明 ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. ●下面列举几种证明方法： ◆1、“赵爽弦图” 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2 ，化简得：a2+b2＝c2． ◆2、我国数学家邹元治的证明方法 证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝ ，化简得：a2+b2＝c2． ◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b） ，化简得：a2+b2＝c2． 三、勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的 ； ②计算另两边的 ； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否 ，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 四、勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个 ，称为勾股数． ★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 五、勾股定理的应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 第二十一章 四边形（举一反三讲义）全章题型归纳 知识点1 多边形 1. 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点． 2. 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等．下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”． 图1 3. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角． 4. 多边形的外角与相邻的内角互为补角．如下图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD＋∠DCE＝180°． 5. 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线． 6. 和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 7. 边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为(n≥3)． 8. 在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 知识点2 三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 知识点3 平行四边形的定义及表示 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 知识点4 平行四边形的性质 1. 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分． 2. 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表： 图示 性质 数学语言 边 对边平行且相等 AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC 角 对角相等，邻角互补 ＝，＝，＋＝180°，＋＝180°等 对角线 对角线互相平分 AO＝CO，BO＝DO 对称性 中心对称图形，对角线的交点为对称中心 知识点5 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定方法 图示 判定方法 符号语言 边 判定定理1：一组对平行且相等的四边形是平行四边形 AB∥CD且AB＝CD， 四边形ABCD是平行四边形 判定定理2：两组对分别相等的四边形是平行四边形 AB＝CD，AD＝BC， 四边形ABCD是平行四边形 判定方法：两组对边别平行的四边形是平行四边形 AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形 对角线 判定定理3：对角线相平分的四边形是平行四边形 OA＝OC，OB＝OD， 四边形ABCD是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 （1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行； （2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等； （3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分； （4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等． 知识点6 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是平行四边形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形． 知识点7 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 对称性 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 知识点8 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是平行四边形 菱形的面积= 两条对角线 乘积的一半 知识点9 菱形的判定 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 知识点10 矩形的定义 1. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是平行四边形． 3. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，则ABCD是矩形． 知识点11 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 对称性 轴对称图形，对角线的交点是它的对称轴，共有两条 中心对称图形，对称中心是两条对角线7的交点 知识点12 矩形的判定 知识点13 正方形的定义 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若，且，则ABCD是正方形． 知识点14 正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知识点15 正方形的判定 知识点16 中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 知识点17 菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 正方形既是菱形，又是矩形． 菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是平行四边形．常见关系使用举例： 第二十二章 函数 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:① 分式：分母≠0 ;②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数 - 符合实际意义（如时间、数量不能为负） 1. 函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±（x>0）→ 不是函数（一个x对应两个y） ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值; ②描点：在坐标系中标出(x,y); ③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势（上升/下降）;②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）; ③读对应值（x→y，y→x） 1. 函数的应用 1.步骤 :①分析问题，找变量; ②确定自变量与函数; ③列函数关系式; ④结合取值范围与图象求解 2.常见类型:①行程问题：s=vt;②工程问题：工作量=效率×时间;③销售问题：总价=单价×数量;④几何问题：周长、面积、体积公式 1. 易错点警示 1.函数判断忽略唯一对应，误判“一对多”为函数 2.自变量取值范围漏双重限制（如分式+根式） 3.画图象时不按顺序连线、出现折线 4.实际应用忽略非负整数等实际约束 第二十三章 一次函数 （11知识详解） 【知识点01】一次函数 定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数. 【知识点02】正比例函数 1. 定义：形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k≠0)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)中b＝0 的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数解析式为y＝kx(k≠0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0). 特别提醒 函数y＝k(k是常数)不是正比例函数，称其为常数函数. 【知识点03】正比例函数的图象和性质 1. 正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 2. 正比例函数图象的画法(两点法)：因为两点确定一条直线，而正比例函数y＝kx(k≠0)的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象. 一般地，这一点可以取点(1，k)这个特殊点. 3. 正比例函数的图象和性质 k>0 k<0 图象 位置 过原点且经过第三、第一象限 过原点且经过第二、第四象限 走势 从左向右呈上升趋势(↗) 从左向右呈下降趋势(↘) 位置 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 【知识点04】一次函数的图象和性质 1. 一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b. 2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx 平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移) 3. 一次函数图象的画法 (1)两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b(k≠0)与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－b/k，0)画直线. 有时为了描点更方便、准确，取横、纵坐标都是整数的两点. (2)平移法：由y＝kx(k≠0)的图象通过平移得到y＝kx＋b的图象. 4. 一次函数的图象和性质 一次函数 y＝kx＋b(k≠0) k，b的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象的位置 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 经过的象限 第一、二、第三象限 第一、三、第四象限 第一、第三象限 第一、第二、第四象限 第二、第三、第四象限 第二、第四象限 【知识点05】一次函数图象的平移(拓展点) 1. 一次函数图象的平移规律 平移前 平移方向及距离(m>0) 平移后 规律 参考图示 y＝kx＋b (k≠0) 向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 上加下减常数项 向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b 左加右减自变量 向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b 2. 在同一平面直角坐标系中，两条直线：，：的位置关系与，，，有关，如下表： ，，，的关系 与的位置关系  ≠ 与相交  ≠ ，＝ 与相交于y轴上的同一点(0，)或(0，) ＝， ≠  与平行 ＝，＝ 与重合 ·＝－1 ⊥ 【知识点06】用待定系数法确定一次函数的解析式 1. 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 2. 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设：设出一次函数的解析式y＝kx＋b(k ≠ 0)； (2)列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式，列出关于k，b的二元一次方程组； (3)解：解所列的方程组，求出k，b的值； (4)写：写出所求一次函数的解析式. 【知识点07】一次函数与一元一次方程的关系 1. 一次函数与一元一次方程的关系 拓展 2. 利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为kx＋b＝0(k≠0)的形式； (2)画图象：画出一次函数y＝kx＋b的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，则交点的横坐标即为一元一次方程的解. 【知识点08】一次函数与一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 2. 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤 (1)将不等式转化为kx＋b>0 或kx＋b<0(k≠ 0) 的形式； (2)画出函数y＝kx＋b的图象并确定该图象与x轴的交点坐标； (3)根据该图象确定对应不等式的解集. 3. 直线＝x＋与直线＝x＋交点的横坐标即为方程x＋＝x＋的解；不等式x＋>x＋(或x＋<x＋)的解集就是直线＝x＋在直线＝x＋上(或下)方部分对应的自变量x 的取值范围. 【知识点09】一次函数与二元一次方程(组)的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 3. 两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 4. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数： 把方程组中的方程化为一次函数y＝x＋与y＝x＋； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结果：依据点的坐标写出方程组的解. 【知识点10】建立一次函数模型解决实际问题 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题.常见类型如下： 1. 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解； 2. 题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 【知识点11】运用一次函数选择最佳方案 1. 选择最佳方案是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案. 常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、费用最少、效率最高等，常通过建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解. 2. 第二十四章 数据的分析概念清单速记表（含题型归纳） 概念速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 24.1 数据的集中趋势 平均数 一组数据中所有数据的总和除以数据的个数。公式： 样本平均数、总体平均数 加权平均数 若n个数的权分别为，则加权平均数为 权（表示数据重要程度） 中位数 一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数。当数据个数为奇数时，中位数是中间位置的数；当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数据的平均数。 众数 一组数据中出现次数最多的数据。如果有两个或多个数据出现的次数并列最多，则它们都是众数；如果所有数据出现次数相同，则没有众数。 24.2 数据的离散程度 离差 一组数据中每个数据与平均数的差，即（）。 离差平方和、方差 离差平方和 一组数据的离差的平方和，公式： 离差、方差 方差 一组数据的离差平方和的平均数，公式： 离差、离差平方和、样本方差、总体方差 24.3 数据的四分位数 四分位数 将一组数据按从小到大顺序排列后，处于25%、50%、75%位置的三个数，分别称为第一四分位数（）、第二四分位数（，即中位数）、第三四分位数（）。 百分位数、箱线图 箱线图 利用一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五个数值绘制的统计图，用于展示数据分布的概貌。 四分位数 24.4 数据的分组 组内离差平方和 将一组数据分成两组后，两组各自的离差平方和之和，即，其中是第一组的离差平方和，是第二组的离差平方和。 离差平方和、组间离差平方和 组间离差平方和 将一组数据分成两组后，两组数据的平均数与总体平均数的离差平方和的加权（以组内数据个数为权）之和，公式：，其中为第一组数据个数，为第二组数据个数，为总体平均数。 组内离差平方和、离差平方和 考点&题型归纳 考点01 数据的集中趋势 题型1：平均数的计算 · 例题：甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下： 甲组：182, 194, 143, 185, 156 乙组：199, 148, 242, 170, 141 分别计算两组的平均数，并比较哪组成绩更好。 · 易错提醒： 1. 计算平均数时，注意所有数据的和除以数据的个数，不要遗漏数据。 2. 比较两组数据时，如果数据个数不同，不能直接比较总和，必须比较平均数。 题型2：加权平均数的计算 · 例题：公司招聘英文翻译，应试者甲、乙的听、说、读、写成绩（百分制）如下： 甲：85, 78, 85, 73 乙：73, 80, 82, 83 (1) 如果综合能力重要，计算平均成绩（权相同）。 (2) 如果笔译能力重要，听、说、读、写成绩按2:1:3:4的权确定，计算加权平均成绩。 · 易错提醒： 1. 加权平均数中，权的大小不同，计算结果不同。注意权重的分配。 2. 权重可以是比例（如2:1:3:4），也可以是百分比（如50%, 40%, 10%），注意计算时权重总和的处理。 题型3：利用组中值计算平均数（分组数据） · 例题：5路公共汽车某天各班次载客量分组统计如下： 载客量（人） 班次（频数） 1≤x<21 3 21≤x<41 5 41≤x<61 20 61≤x<81 22 81≤x<101 17 101≤x<121 15 计算平均每班载客量（取整数）。 · 易错提醒： 1. 分组数据中，用组中值代表该组数据（如1≤x<21的组中值为(1+21)/2=11）。 2. 频数作为权重，计算加权平均数。 题型4：样本平均数估计总体平均数 · 例题：随机抽查20名八年级学生的身高（单位：cm）如下： 162, 152, 166, 185, 167, 175, 169, 163, 168, 184, 177, 162, 157, 154, 171, 169, 171, 169, 175, 164 估计八年级学生的平均身高。 · 易错提醒： 1. 样本平均数是总体平均数的估计值，但不一定等于总体平均数。 2. 增加样本量或随机抽样可以提高估计的精确性。 题型5：中位数和众数的计算 · 班级春游备选地点的投票结果： 地点 票数 北京故宫 10 颐和园 26 香山公园 4 确定班级春游地点。 · 易错提醒： 1. 众数是出现次数最多的数据，可能不止一个（如果多个数据出现次数相同且最多）。 2. 中位数是将数据排序后位于中间位置的数（或中间两个数的平均数）。注意先排序。 题型6：平均数、中位数、众数的比较与选择 · 例题：某公司员工月收入如下： 月收入（元） 人数 45000 1 18000 1 10000 1 5000 7 3600 6 3000 4 (1) 计算平均数和中位数。 (2) 反映员工月收入水平，用平均数还是中位数？为什么？ · 易错提醒： 1. 平均数受极端值影响大，中位数不受极端值影响。当数据存在极端值时，中位数更能代表一般水平。 2. 众数在数据重复较多时有意义，但可能不具代表性（如收入数据中，众数可能是最低收入，但并不能代表一般水平）。 考点02 数据的离散程度 题型1：方差的计算 · 例题：甲、乙两种甜玉米在10块试验田的产量（单位：t）如下： 甲：7.65, 7.50, 7.62, 7.59, 7.65, 7.64, 7.50, 7.40, 7.41, 7.41 乙：7.55, 7.56, 7.53, 7.44, 7.49, 7.52, 7.58, 7.46, 7.53, 7.49 计算方差，并判断哪种玉米产量更稳定。 · 易错提醒： 1. 方差计算步骤：先算平均数，再算每个数据与平均数的差的平方，最后求这些平方的平均数。 2. 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。 题型2：利用方差比较稳定性 · 例题：甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（环）如下： 甲：9, 7, 9, 10, 10, 8, 9, 10, 5, 10 乙：9, 10, 7, 8, 10, 9, 9, 8, 7, 9 计算方差，判断谁发挥更稳定。 · 易错提醒： 1. 比较稳定性时，方差小者更稳定。 2. 注意方差计算时，数据个数要准确。 题型3：离差平方和与方差的关系 · 例题：一组数据：2, 3, 5, 6, 9 (1) 计算离差平方和。 (2) 计算方差。 · 易错提醒： 1. 离差平方和是方差的基础，方差=离差平方和/数据个数。 2. 离差平方和受数据个数影响，比较两组数据离散程度时，如果数据个数相同，可用离差平方和；如果不同，必须用方差。 考点03 数据的四分位数 题型1：四分位数的计算 · 例题：甲地某天24小时气温（℃）如下： 11, 9, 10, 12, 16, 21, 23, 24, 21, 18, 16, 14, 13 计算四分位数，并画出箱线图。 · 易错提醒： 1. 四分位数计算步骤：先排序，再找中位数（Q2），然后找前半部分的中位数（Q1）和后半部分的中位数（Q3）。 2. 当数据个数为奇数时，中间数只属于前半部分或后半部分？教材中，中间数既不属于前半部分也不属于后半部分（即去掉中位数后，再求Q1和Q3）。但不同教材有不同处理，需注意。 题型2：箱线图的绘制与分析 · 例题：根据甲、乙两地气温的四分位数，在同一图中画出箱线图，比较两地气温特点。 · 易错提醒： 1. 箱线图由五个数组成：最小值、Q1、Q2（中位数）、Q3、最大值。 2. 箱体长度=Q3-Q1（四分位距），箱体外的线段（须线）延伸到最小值和最大值。 3. 比较时，箱体越短，数据越集中；中位数位置反映偏态。 考点04 数据的分组 题型1：组内离差平方和最小的分组 · 例题：10个城市某月平均高温（℃）如下： 北京:3, 石家庄:3, 呼和浩特:-3, 哈尔滨:-11, 上海:10, 广州:21, 海口:22, 成都:12, 贵阳:9, 昆明:17 按组内离差平方和最小的原则，将10个城市分为两组。 · 易错提醒： 1. 分组原则：使组内离差平方和最小（即组内数据差异最小）。 2. 步骤：排序数据，尝试所有可能的分组点（n-1种），计算每种分法的组内离差平方和，取最小值对应的分组。 3. 组内离差平方和 = 第一组离差平方和 + 第二组离差平方和。 题型2：组间离差平方和最大的分组 · 例题：同上例，按组间离差平方和最大的原则分组。 · 易错提醒： 1. 组间离差平方和 = m(第一组平均数-总平均数)^2 + (n-m)(第二组平均数-总平均数)^2 2. 组间离差平方和最大意味着两组间差异最大。 综合题型 题型：综合运用集中趋势和离散程度分析数据 · 例题：某地区近两年7月空气质量指数数据（略）， · 前年7月：71, 42, 45, 58, 67, 48, 51, 63, 51, 73, 55, 79, 52, 52, 77, 54, 87, 54, 62, 55, 56, 58, 60, 61, 62, 65, 69, 42, 72, 69, 73 ; · 去年7月：38, 50, 19, 37, 22, 47, 31, 38, 22, 26, 28, 19, 30, 31, 32, 34, 35, 33, 18, 49, 47, 37, 22, 38, 38, 18, 39, 25, 22, 42, 44 · 要求： · (1) 计算平均数、方差、四分位数。 · (2) 画箱线图。 · (3) 比较两年空气质量情况。 · 易错提醒： 1. 综合分析时，既要看集中趋势（平均数、中位数），也要看离散程度（方差、四分位距）。 2. 箱线图可以直观展示分布情况（包括偏态、异常值等）。 易错点总结 1. 平均数与加权平均数： · 权重理解错误：权重越大，对平均数影响越大。 · 分组数据用组中值计算平均数时，组中值计算错误（如1≤x<21的组中值应为11，不是10.5或21）。 2. 中位数与众数： · 忘记排序直接找中位数。 · 众数可能不止一个，也可能没有（所有数据出现次数相同）。 · 中位数在偶数个数据时，取中间两个数的平均数（不是随意取一个）。 3. 方差： · 计算方差时，先求平均数，再求离差平方，最后平均。步骤多，容易计算错误。 · 方差单位是原数据单位的平方，比较时注意。 4. 四分位数： · 计算Q1和Q3时，数据分组方法不一致（如是否包含中位数）。教材中，将数据排序后，Q1是前半部分（不包括中位数）的中位数，Q3是后半部分（不包括中位数）的中位数。 · 箱线图绘制时，五个数值（最小值、Q1、Q2、Q3、最大值）要准确。 5. 数据分组： · 组内离差平方和计算时，要分别计算两组的离差平方和再相加。 · 分组点选择：排序后，在相邻数据间分割，共n-1种可能。 6. 样本估计总体： · 样本统计量（如平均数、方差）是总体统计量的估计值，存在误差。 · 样本容量越大，估计越精确。 学科网（北京）股份有限公1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $