专题4.2 立体几何求体积方法6大题型总结（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题4.2 立体几何求体积方法总结（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求简单几何体的体积 题型02 组合体与旋转体的体积 题型03 分割或补形法求体积 题型04 求体积的比值 题型05 盛水问题与体积 题型06 祖暅原理与体积 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 公式法求体积 熟记柱、锥、台、球的体积公式；能根据几何体特征直接选择公式，准确计算底面积和高 基础必考，常以三视图或直观图形式出现，考查公式记忆和直接应用，注意锥体体积易漏三分之一 组合体与旋转体的体积 能识别组合体的构成（拼接或挖空）；掌握旋转体的形成方式，会通过轴截面分析旋转后形状；能综合运用公式求体积 中等难度，常以选择题或填空题出现，考查空间想象和分解能力，旋转体需注意母线、半径的对应关系 分割或补形法求体积 掌握将不规则几何体分割成规则体求和，或补形成完整几何体后作差；能根据图形特征选择最优分割或补形方式 高频考点，常在解答题中出现，考查化归思想，关键是通过添加辅助线或面将复杂图形转化为基本几何体 求体积的比值 掌握利用相似比（体积比等于相似比立方）、等高或等底关系（体积比等于底面积比或高之比）求体积比；能通过比例关系避免具体数值计算 中等难度，常在选择题中出现，考查比例思想和转化能力，注意相似比需对应到对应线段长度比 盛水问题与体积 能根据容器形状和液面位置判断液体所占几何体形状；掌握等体积法求高度或半径；理解旋转或倾斜时液面形状的变化规律 应用类题型，注重建模能力，常以圆柱、圆锥、球等旋转体为背景，考查体积公式在实际问题中的灵活运用 祖暅原理与体积 理解祖暅原理的核心（等高处的截面积相等则体积相等）；能利用原理构造等积体推导复杂几何体体积（如球体）；会解决截面面积函数相关的体积问题 拓展内容，偶有考查（多以新定义形式），重点考查对原理的理解和从截面角度分析体积的能力 知识点01 简单几何体体积 1、体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 1、 不规则体的体积： 将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体积相加。 2、 组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 知识点02 正四面体的体积 在棱长为的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为 2、正四面体外接球半径为 3、正四面体内切球半径为 4、正四面体体积 知识点03 求体积常用的方法 1、等体积法：对于三棱锥，通过轮换顶点选择易求的底面和高，反推体积或距离。适用于点到平面距离、体积比问题。 2、割补法：将不规则几何体分割成几个规则体求和，或补形成完整柱锥后作差。常用于组合体、空心体。 3、比例法：利用相似比（体积比等于相似比立方）、等高（底）关系或同底（高）面积比，由已知体积快速求未知体积。 4、补形法：将不规则图形通过补形达到规则图形，然后再利用公式来求体积。 题型一 求简单几何体的体积 解｜题｜技｜巧 直接利用体积公式来求简单几何体的体积，熟悉体积公式。 【典例1】（25-26高一下·河南·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【分析】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，所以为边长为的等边三角形， 又，且，所以是的中位线， 设，则平面，且， 所以正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 【典例2】（25-26高一下·山东临沂·期中）一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为， 正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则 ， 侧面积为：， 解得，或（舍去）， ， 设棱台的高为，则， 上底面积， 下底面积， 该正四棱台的体积： ． 【变式1】（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，，，因为四面体ABCD为正四面体， 所以，设， 在中，，，， 在，，， 故圆柱的表面积为， 解得. 故． 题型二 组合体与旋转体的体积 答｜题｜模｜板 组合体：通过“割补法”将组合体拆分为若干个基本几何体（柱、锥、台、球），分别计算体积后求和；或补形成完整几何体，再减去补上部分的体积。关键在于找准分割截面或补形方式，确保各部分无重叠无遗漏。 旋转体：由平面图形绕某轴旋转一周形成。常用方法有：① 直接公式法（圆柱、圆锥、圆台、球），根据旋转体的母线、半径、高等特征直接套用公式；② 切片法（截面法），在垂直轴的方向上取薄片，将体积表示为截面面积关于高度的积分思想（高中阶段常用已知公式或祖暅原理辅助理解）。对于不规则旋转体，可通过轴截面分析旋转后的形状，转化为标准几何体组合。 【典例1】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为：. 因为， 所以，所以. 【典例2】（2026·山东泰安·模拟预测）某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高的3倍．若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出轴截面后，利用条件求出圆台与圆柱的各个长度，即可求出两个几何体的体积. 【详解】作出该模型的轴截面，如图所示，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，其中， 分别过两点作的垂线，垂足分别为，则，所以． 因为上底的直径是下底直径的倍， 所以， 解得．又圆柱的高是圆台高的倍，所以． 设圆台上底半径为，下底半径为，则，， 所以圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以该模型的容积为． 【变式1】（25-26高一下·广东佛山·期中）某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 【变式2】（25-26高一下·浙江衢州·期中）如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【分析】根据球体的表面积和体积公式，圆锥表面积，圆台体积公式即可求解． 【详解】过点C作，垂足为F，则，， 所以， ； ． 题型三 分割或补形法求体积 答｜题｜模｜板 分割法：将不规则的几何体沿某个截面或棱拆分成几个规则的几何体，分别求出每个部分的体积后再相加。关键在于选择恰当的分割面，使拆分后的每个部分体积易于计算，且无重叠无遗漏。 补形法：将不规则的几何体通过添加辅助部分补成一个规则的整体（如柱体、锥体、长方体），先求出整体体积，再减去补上的部分体积。常用于缺失部分形状规则、整体容易补全的情形。 【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 【答案】 【分析】先将该几何体补成一个正三棱柱，再根据几何体与补形后的正三棱柱的体积的关系求出该几何体的体积. 【详解】因为在几何体中，侧棱，，均垂直于底面， 已知，，， 所以构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为6的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式， 所以该几何体的体积是. 【典例2】（2026·江西·模拟预测）如图，为一个五面体，底面是矩形，//底面，侧面和侧面为全等的等腰三角形，侧面和侧面为全等的等腰梯形，其中，，，，设，，，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用分割法将五面体分割为四棱锥和三棱锥，求出各部分体积，代入选项验证即可. 【详解】过作底面的垂线，垂足为，过作于点，连接、、， 则五面体可分为四棱锥和三棱锥. 由题意知，， 在中，， 在中，，即五面体的高为. 如图取、三等分点、、、， 连接、、、、、， 则五面体可分为三棱柱、四棱锥和四棱锥， 且. ， ， . ，，. 所以ABD选项错误，C选项正确. 【变式1】（2026·北京海淀·二模）如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，补全几何体为棱长为1的正方体，进而转化为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积即可. 【详解】在中，，，，分别为边，，的中点， ，，四边形是边长为1的正方形，面积， 折叠后，，，且， 因为为等边三角形，所以 因为平面，， 所以，补全几何体为棱长为1的正方体，如图，满足条件； 所以多面体的体积为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积， 所以. 【变式2】（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 【答案】/ 【分析】设，则，又，求出，得到对应线段的比，设到底面的距离分别为，得到，进而得到体积. 【详解】如图，假设，连接， 则， 如图，在中，连接，设， 所以， 又， 所以，解得，即，同理， 则，则， 设到底面的距离分别为，则， 又，所以，所以， 所以， 题型四 求体积的比值 答｜题｜模｜板 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 关键模型与技巧 1、“割补法”与“分割法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体相减等情况。 2、“等底面积”或“等高”模型： 若两个锥体（或柱体）底面积相等，则体积比等于高的比。若两个锥体（或柱体）高相等，则体积比等于底面积的比。 【典例1】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比. 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. 【典例2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____. 【答案】/ 【分析】设四棱锥的总体积为，利用同高不同底的棱锥体积比等于对应底边长（底面积）的比，结合已知比例，分割几何体计算出平面上方（含顶点）部分的体积，即可求得上下两部分的体积之比. 【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V，在PD上取一点N，使，连接MN，AN，BD，BN， 如图.因为，所以且，又，所以， 则，所以A，B，M，N四点共面，即为截面. 又，其中， ，所以， 即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为，则下半部分的体积为， 所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为. 【变式1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值. 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 【变式2】（2026·辽宁锦州·二模）在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为________. 【答案】/ 【分析】根据已知及棱锥的体积关系得，，且，即可得. 【详解】如下图示，由分别为侧棱的中点，则，， 且，所以，， 由，即， 所以，， 又， 所以. 题型五 盛水问题与体积 答｜题｜模｜板 1、水的体积是定值：无论容器如何放置，水的体积保持不变。 2、转化思想：将“求水位高度”转化为“已知体积（水体积）和几何体形状，反求高度”。 3、画轴截面图：将立体问题转化为平面几何问题，在截面中观察水位线与容器边界的交点关系。 4、相似比优先：对于锥体或台体，优先考虑相似关系建立方程。 5、临界点判断：若容器被倾斜或非标准放置，先确定水平面与容器边界的交点，判断水的形状（可能是棱柱、棱台或不规则体，常分割为规则体求和）。 【典例1】（多选）（25-26高二上·安徽芜湖·期中）（多选）一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水（如图所示，底面处于水平状态）.记水面为，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B．水面不可能是正三角形 C．当经过时，与面的交线长为 D．当逆时针旋转时，水面的面积为4 【答案】ACD 【分析】找到临界情况，利用等体积、体积转化，分析此时的情况，逐个选项判断即可. 【详解】A选项，水的体积， ， 所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3， 当水面经过点时，水面与面相交，如图4， 则在此之前水面形状均为三角形， 继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5， 转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确； B选项，初始位置，如图1，， 当水面经过时，如图3，此时， 所以，， 所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项不正确； C选项，如图4，，且由于与相似， 则， ，故C选项正确； D选项，当逆时针旋转时，如图6，， 且由于与相似，则，则， 则水面的面积为，故D选项正确.    故选：ACD. 【典例2】（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）在一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为的水，如图所示，底面处于水平状态．记水面为．现以所在的直线为旋转轴，将容器缓慢地顺时针旋转（点开始离开桌面），直到侧面水平，过程中始终保持水面处于水平状态．（1）若旋转过程中，在某时刻水面恰好经过三点，则_____；（2）设，则在旋转过程中，当水面的形状为梯形时，水面与侧面的交线的中点到直线的距离的最大值为_____．（用含有的式子表达．） ．   【答案】 / 【分析】找到临界情况利用等体积法，等体积转化，分析情况即可. 【详解】（1）若旋转过程中，在某时刻水面恰好经过三点， 此时水的体积， 所以在初始状态，所以可以得到． （2）结合第（1）间，当时，水面经过时，依旧与棱相交， 当水面经过点后，水面的形状变为直角梯形（平面，所以必为直角梯形）． 此时如图所示，，且由于与共面， 所以两条直线相交，且交于各自所在平面和平面的交线上，所以为台体． 根据体积相等可知，． 设，则， 则可得：，即，    由梯形性质可知，中点到的距离就是中位线长，所以．由， 可得：，当且仅当时等号成立． 所以，所以．所以最大值为． 故答案为：； 【变式1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有， 所以，即当底面水平放置时，水面高为7.5. 【变式2】（25-26高一下·北京大兴·期中）如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . (1)当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (2)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； (3)当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】(1)6 (2)18 (3)个. 【分析】（1）首先求水的体积，再应用棱柱的体积公式求底面ABC水平放置后水面的高度； （2）根据前后体积相同以及三棱锥的体积公式求解即可. （3）由题设只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积，结合球体的体积公式求放入的小铁球个数的最小值. 【详解】（1）因为正三棱柱中，侧棱，底面边长， 由题意可得底面内四边形的面积， 所以正三棱柱中水的体积． 又因为底面三角形的面积， 所以底面水平放置后水面高. （2）设三棱锥的高为． 由题意三棱锥的体积， 所以，则 所以三棱锥的高为． （3）个. 由题意，只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积即可. 空白区域的体积为. 小铁球的体积，若放入个小铁球水从上底面溢出， 所以，故最小为3. 题型六 祖暅原理与体积 答｜题｜模｜板 祖暅原理指出，两个几何体若在等高处的截面面积处处相等，则它们的体积相等。当目标几何体体积难以直接计算时，构造一个与之等高且每个水平截面面积相等的规则几何体（如柱体、锥体），通过计算规则体的体积得到原几何体的体积。 【典例1】（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 【答案】7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 【典例2】（2026·吉林白山·模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（   ）. A．7 B．10 C．7π D．10π 【答案】A 【分析】利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积. 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 【变式1】（24-25高一下·辽宁·期末）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 【答案】B 【分析】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等，在正四棱柱，作四棱锥，作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·上海松江·期末）有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）    【答案】 【分析】根据条件和图1可得半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积，然后在图2中运用此原理可求得答案. 【详解】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径， 球体半径为，则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，大圆半径为，则截面圆环面积， 所以，又高度相等， 所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积. 同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.    如图2，设球体和水接触的上部分为，没和水接触的下部分为， 小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积. 已知球体半径为，为等边三角形， ，， 根据祖暅原理， . 设图2中轴截面为梯形的圆台体积为，且， . 故答案为： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________； 【答案】/ 【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解. 【详解】因为该组合体的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 2．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆锥的轴截面是高为的等边三角形，则等边三角形的边长为， 则该圆锥底面半径为，母线长为，高为， 故该圆锥的体积为. 3．（25-26高二下·广西南宁·期中）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在图2中，水的体积是， 在图1中，设容器水面的高度为，则，所以. 4．（25-26高一下·天津蓟州·期中）中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，设， 因为，由“阳马”的定义可知，平面， 所以，， 所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为. 5．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为，可得该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上，且,由几何关系可得,解方程即可求解. 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上， 且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026·广东佛山·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆锥轴截面的参数求出原圆锥的底面半径、高及体积，再利用相似性求出截得的小圆锥体积，作差得到所求几何体的体积. 【详解】已知圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，因此圆锥底面直径等于等边三角形的边长，即底面半径； 圆锥的高为等边三角形的高，由勾股定理得， 原圆锥体积， 过母线中点且平行于底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原圆锥为相似几何体， 相似比为，因此小圆锥的底面半径，高， 可得小圆锥体积， 所求体积. 2．（2026·浙江·三模）在平行六面体中，记三棱锥的体积分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等体积方法计算，利用割补法计算. 【详解】设平行六面体的体积为，上下底面的面积为，高为， 则，， ， 故. 3．（2026·天津·模拟预测）如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出未知数，根据棱台体积和棱锥体积公式得到方程，求出水面高度 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥， 设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 4．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，，过的平面去截原四棱锥得到体积相等的两个部分，且该平面交于点，则___________. 【答案】 【分析】巧用线面平行证得线段平行，拆分组合体为两个棱锥，区分一次、二次体积比例列方程求解 【详解】设平面与交于，而， 平面平面， 平面，又平面，平面平面， 设，则，若四棱锥的体积为，又， ，即，而，有， 而，有， ，解得. 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 【答案】 【分析】先作出完整的截面，求出两部分的体积即可. 【详解】由题意可知，延长PQ与的延长线交于点E，与的延长线交于点连接，分别交于点，由此作出完整的截面,易得，则，又，则， 则过点的截面上方的体积， 另一部分体积为，故. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·北京·期末）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为（    ） A．64 B．60 C．56 D．52 【答案】B 【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 【详解】连接，因为且，故，同理，而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面， 平面，故平面， 取的中点为的中点为的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面BHT， 故平面，故平面平面BHT， 而，故， 故几何体为直棱柱，而，故， 因为，故平面，而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为. 故选：B 2．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】先确定截面与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出，体积， 最后求最小值． 【详解】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________． 【答案】 【分析】设到底面的距离为，到底面的距离为，为球心，得到，取的中点，得到一定为球的直径，由，得到，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得的值，进而得到答案. 【详解】正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球， 设到底面的距离为，到底面的距离为，为球心， 则，取的中点，连接，记与平面的交点为， 由两个正三棱锥和内接于同一个球，所以一定为球的直径， 根据题意，可得为正三角形的中心， 所以分别为正三棱锥和正三棱锥的高， 由，且为的中点， 可得， 则为正三棱锥的侧面与底面所成的角，即， 不妨设，所以， 即球的半径为，则， 在直角中，由勾股定理，可得， 解得，所以，即，所以. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图1，以边长为1的正六边形的互不相邻的三条边为边分别向外作正方形，并将点重合为，重合为，重合为，得到如图2的八面体． (1)求该八面体的表面积； (2)求该八面体的外接球半径； (3)求该八面体的体积． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）先明确八面体的8个面：底面正六边形，顶面正三角形，三个正三角形，，，以及三个正方形，，，再分别求面积并相加． （2）取正六边形的中心为，作，，在底面上的射影，，．由对称性可知，，分别为，，的中心，计算得，又，从而确定外接球球心和半径． （3）按图示将八面体分割为一个中心正三棱柱、三个全等三棱锥和三个全等三棱柱，分别计算体积后相加． 【详解】（1）（1）由题意，正六边形的边长为，所以 由构造可知，，，均为边长为的正三角形，也是边长为的正三角形，所以这四个正三角形的面积和为 又由构造可知，，，均为边长为的正方形，所以这三个正方形的面积和为 因此该八面体的表面积为 （2）（2）取正六边形的中心为，作，，在底面上的射影分别为，，，如图所示． 由对称性可知，，，分别为，，的中心．因为是边长为的正三角形，所以 又，所以为边长为的正三角形． 在直角三角形中， 于是同理可得 而正六边形的外接圆半径等于边长，所以 因此点，，，，，，，，到点的距离均为，故为该八面体外接球的球心，外接球半径为 （3）（3）按照上图，将该八面体分割为中心正三棱柱，三个全等的三棱锥，，，以及三个全等的三棱柱，，． 先计算中心正三棱柱的体积. 由于是边长为的正三角形，且棱柱高为，所以 再计算每个三棱锥的体积． 因为为的中心，所以 三棱锥的高为，故 最后计算每个三棱柱的体积． 在中，底面，在底面内，所以． 又因此 由图形关系可知，为直三棱柱，且侧棱，所以 因此该八面体的体积为 5．（25-26高三下·安徽·阶段检测）在三棱台中，的面积是的面积的4倍，为的中点，点满足，该棱台被平面分成不同的两部分，记为体积较小的部分的体积，为体积较大的部分的体积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可推得是线段的中点，则平面即平面，计算求得，，，进而可得，即可得解. 【详解】由于三棱台上下底面的三角形相似，所以， 从而， 则是线段的中点，平面即平面.如图，连接. 设三棱台的高为，，则， 三棱台的体积， 而三棱锥的体积， 则剩余部分四棱锥. 在梯形内，由于，为的中点， 所以，所以. 所以，所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2立体几何求体积方法总结（期末复习讲义) 内容导航 明。期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求简单几何体的体积 题型02组合体与旋转体的体积 题型03分割或补形法求体积 题型04求体积的比值 题型05盛水问题与体积 题型06祖胞原理与体积 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期未考情 核心考点 复习目标 考情规律 公式法求体积 熟记柱、锥、台、球的体积公式；能根 基础必考，常以三视图或直观图形式 据几何体特征直接选择公式，准确计算 出现，考查公式记忆和直接应用，注 底面积和高 意锥体体积易漏三分之 组合体与旋转 能识别组合体的构成（拼接或挖空）； 中等难度，常以选择题或填空题出现， 体的体积 掌握旋转体的形成方式，会通过轴截面 考查空间想象和分解能力，旋转体需 分析旋转后形状；能综合运用公式求体 注意母线、半径的对应关系 积 分割或补形法 掌握将不规则几何体分割成规则体求 高频考点，常在解答题中出现，考查 求体积 和，或补形成完整几何体后作差；能根 化归思想，关键是通过添加辅助线或 据图形特征选择最优分割或补形方式 面将复杂图形转化为基本几何体 求体积的比值 掌握利用相似比（体积比等于相似比立 中等难度，常在选择题中出现，考查 方)、等高或等底关系（体积比等于底 比例思想和转化能力，注意相似比需 面积比或高之比)求体积比；能通过比 对应到对应线段长度比 例关系避免具体数值计算 盛水问题与体 能根据容器形状和液面位置判断液体所 应用类题型，注重建模能力，常以圆 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 积 占几何体形状；掌握等体积法求高度或 柱、圆锥、球等旋转体为背景，考查 半径；理解旋转或倾斜时液面形状的变 体积公式在实际问题中的灵活运用 化规律 祖暅原理与体 理解祖堩原理的核心（等高处的截面积 拓展内容，偶有考查（多以新定义形 积 相等则体积相等)；能利用原理构造等 式)，重点考查对原理的理解和从截 积体推导复杂几何体体积（如球体）； 面角度分析体积的能力 会解决截面面积函数相关的体积问题 记·必备知识 昼知识点01简单几何体体积 1、体积公式 柱体：V柱=Sh 锥体：V谁=Sh 台体：V台=S+NSs+S)h 球：V=号πR3 1、不规则体的体积：将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体 积相加。 2、组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 局知识点2正四面体的体积 在棱长为a的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高 h-fa R= 2、正四面体外接球半径为 ￥a 3、正四面体内切球半径为 6 r=i 4、正四面体体积V=函 [昼知识点3求体积常用的方法 1、等体积法：对于三棱锥，通过轮换顶点选择易求的底面和高，反推体积或距离。适用于点到平面距离、 体积比问题。 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2、割补法：将不规则几何体分割成几个规则体求和，或补形成完整柱锥后作差。常用于组合体、空心体。 3、比例法：利用相似比（体积比等于相似比立方）、等高（底）关系或同底（高)面积比，由己知体积快 速求未知体积。 4、补形法：将不规则图形通过补形达到规则图形，然后再利用公式来求体积。 破·重难题型 亚题型一 求简单几何体的体积 解|题|技|巧 直接利用体积公式来求简单几何体的体积，熟悉体积公式。 【典例1】(25-26高一下·河南·期中)己知正四棱台ABCD-A,B,C,D,的上、下底面边长分别为2和4，侧 棱长为2√2，则该正四棱台的体积为( ) 4. 20W5 B. 8v3 C.20v6 28V6 3 3 D. 3 3 【典例2】(25-26高一下·山东临沂期中)一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半， 一个侧面的面积为3√5，则该正四棱台的体积为() A.14 B. 28 c.28v2 D.28 3 【变式1】(25-26高一下·广东东莞期中)如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出 发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为2√3，则这个圆锥的体积为() A.16V2n B.8V3n C.215n D.5元 81 27 9 3 【变式2】(2026湖南长沙模拟预测)如图，圆柱0，O2的表面积为(4√2+4)π，AB,CD分别是圆柱上、 下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为() 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.4V2 B.8 c.26 D. 43 3 3 3 题型二 组合体与旋转体的体积 答|题模板 组合体：通过“割补法”将组合体拆分为若干个基本几何体（柱、锥、台、球），分别计算体积后求和；或补 形成完整几何体，再减去补上部分的体积。关键在于找准分割截面或补形方式，确保各部分无重叠无遗漏。 旋转体：由平面图形绕某轴旋转一周形成。常用方法有：①直接公式法（圆柱、圆锥、圆台、球），根据 旋转体的母线、半径、高等特征直接套用公式；②切片法（截面法），在垂直轴的方向上取薄片，将体积 表示为截面面积关于高度的积分思想（高中阶段常用已知公式或祖堩原理辅助理解）。对于不规则旋转体， 可通过轴截面分析旋转后的形状，转化为标准几何体组合。 【典例1】(25-26高三下·广东东莞阶段检测)已知ABC中C为直角，分别以CA,CB,AB所在直线为 铺，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个儿有体，体积分别为，，，若==子，则=《) A月 B C. 6 .月 【典例2】(2026山东泰安模拟预测)某数学课外兴趣小组，制造了一个模型，该模型由两部分构成，上 面部分是一个圆台，其上底的直径是下底直径的2倍，下面部分是一个共底的圆柱，且圆柱的高是圆台高 的3倍.若圆台的母线长为12，且与底面所成的角为60°，则该模型的容积是() A.720√3元 B.1152V5元 C.16563元 D.21603π 【变式1】(25-26高一下·广东佛山期中)某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合 体，如图所示，该瓷器的体积为() 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.444π B.300π C.2268元 D.612π 【变式2】(25-26高一下·浙江衢州期中)如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆 心，DE长为半径的四分之一圆弧，∠DAB=90°，AB=5,AD=DE=2,求图中封闭图形ABCD绕AD所 在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积. D 应题型三 分割或补形法求体积 答题模|板 分割法：将不规则的几何体沿某个截面或棱拆分成几个规则的几何体，分别求出每个部分的体积后再相加。 关键在于选择恰当的分割面，使拆分后的每个部分体积易于计算，且无重叠无遗漏 补形法：将不规则的几何体通过添加辅助部分补成一个规则的整体（如柱体、锥体、长方体），先求出整体 体积，再减去补上的部分体积。常用于缺失部分形状规则、整体容易补全的情形。 【典例1】(2026河南开封模拟预测)如图，在几何体ABC-A,B,C中，侧棱AA,BB,CC,均垂直于底 面ABC,已知AB=BC=AC=BB,=2,AA,=4,CC=3,则该几何体的体积是 A C B B 【典例2】(2026江西·模拟预测)如图，EF-ABCD为一个五面体，底面ABCD是矩形，EF/底面 ABCD,侧面ADE和侧面BCF为全等的等腰三角形，侧面ABFE和侧面CDEF为全等的等腰梯形，其中 AB=6,BC=2,EF=2,BF=2√2，设'EF-ABCD=V,'E-4BcD='2,'E-BCF='3,则下列选项正确的是 () 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3= 3 B.=2 c.5=25 6 D.片 【变式1】(2026北京海淀二模)如图1，在ABC中，AC=BC=2,∠C=90°，E,F,G分别为边 AB,BC,AC的中点.将△AEG沿EG折起到△A'EG,△BEF沿EF折起到△B'EF,使得AB'II平面 EFCG且△A'B'E为等边三角形，如图2所示，则多面体A'B'EFCG的体积为() E 图1 图2 A. 1 3 B. 3 c. D.22 3 【变式2】(25-26高二下·江苏连云港·期中)如图，在体积为1的三棱锥A-BCD的侧棱AB,AC,AD上分 别取点E,F,G,使AE:EB=AF:FC=1:l,AG:GD=2:1.记O为平面BCG、平面CDE、平面DBF的交 点，则三棱锥0-BCD的体积等于 E 它题型四求体积的比值 答|题模板 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 -------------------------------------------------- 6/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 关键模型与技巧 1、“割补法”与“分割法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体相 减等情况。 2、“等底面积”或“等高”模型： 若两个锥体（或柱体）底面积相等，则体积比等于高的比。若两个锥体（或柱体）高相等，则体积比等于 底面积的比。 【典例1】(2026安徽合肥模拟预测)如图，正三棱台ABC-A,B,C,的上、下底面边长分别为1和3，平 面ABC将棱台分成两部分，则三棱锥A-ABC和四棱锥A-BCCB,的体积比是() B B A. B.3 c D 【典例2】(25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一 点且PM2 MC行，则平面，BM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为一· 【变式1】(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)正三棱柱ABC-A,B,C,的底面边长为3，高为2，E为AB,上 的点，A,E=2EB,平面ACE将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为() 7/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 11 A.12 B.12 13 c.13 14 D.14 15 【变式2】(2026辽宁锦州·二模)在四棱锥P-ABCD中，E,F分别为侧棱PB,PD的中点，则四面体 AECF的体积与四棱锥P-ABCD的体积之比为 它题型五盛水问题与体积 答|题模|板 1、水的体积是定值：无论容器如何放置，水的体积保持不变。 2、转化思想：将“求水位高度”转化为“已知体积（水体积）和几何体形状，反求高度”。 3、画轴截面图：将立体问题转化为平面几何问题，在截面中观察水位线与容器边界的交点关系。 4、相似比优先：对于锥体或台体，优先考虑相似关系建立方程。 5、临界点判断：若容器被倾斜或非标准放置，先确定水平面与容器边界的交点，判断水的形状（可 能是棱柱、棱台或不规则体，常分割为规则体求和)。 【典例1】（多选）(25-26高二上·安微芜湖·期中)（多选）一个封闭的直三棱柱容器ABC-A,B,C,内装有 高度为3的水（如图所示，底面处于水平状态）.记水面为a,AC=BC=√2，CC,=4,AC⊥BC现以AB所 在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转90的过程中，下列说法正确的是() B B A.水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B.水面不可能是正三角形 C.当经过C时，a与面A,B,C,的交线长为V5 D.当逆时针旋转90时，水面的面积为4 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26高三上·湖北荆州阶段检测)在一个封闭的直三棱柱容器ABC-A,B,C,内装有高度为的 水，如图所示，底面处于水平状态.记水面为，AC=3,BC=4,∠ACB=90°，AA,=4,现以BC所在的直线 为旋转轴，将容器缓慢地顺时针旋转(A点开始离开桌面)，直到侧面BCC,B,水平，过程中始终保持水面 a处于水平状态.(1)若旋转过程中，在某时刻水面a恰好经过A,B,C,三点，则h=;(2)设 h=h,∈(3,4)，则在旋转过程中，当水面α的形状为梯形时，水面与侧面ACC,A,的交线的中点到直线 AA,的距离s的最大值为·（用含有h的式子表达.) 【变式1】(25-26高一下·湖南长沙期中)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱A4=10.若侧面 AA,B,B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A,C,B,C,的中点.那么当底面ABC水平放置时，水面高为() C A A.6 B.7 C.7.5 D.8 【变式2】(25-26高一下·北京大兴期中)如图1，正三棱柱形容器ABC-AB,C,中盛有水，侧棱AA=8, 底面边长AB=2√3，若侧面AAB,B水平放置时，水面恰好经过AC,BC,B,C,AC的中点E,F,G,H B 图1 图2 (1)当底面ABC水平放置时（如图1所示），求水面的高度； (②)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面△ABC全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好 装满此三棱锥，求此三棱锥的高： 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)当底面ABC水平放置时（如图1所示），打开上底面AB,C,的盖子，从上底面AB,C,放入半径为1的小铁 球，且沉入水中，当水从上底面AB,C,溢出时，求放入的小铁球个数的最小值.（结论不要求证明） 它题型六祖啦原理与体积 答|题模|板 祖堩原理指出，两个几何体若在等高处的截面面积处处相等，则它们的体积相等。当目标几何体体积难以 直接计算时，构造一个与之等高且每个水平截面面积相等的规则几何体（如柱体、锥体），通过计算规则体 的体积得到原几何体的体积。 【典例1】(25-26高三上·四川绵阳·阶段检测)中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出 介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等， 则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体 如图所示，则该不规则几何体的体积为 【典例2】(2026吉林白山模拟预测)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖堩原理：“幂 势既同，则积不容异”意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积 相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则 该不规则几何体的体积为() A.7 B.10 C.7元 D.10元 【变式1】（24-25高一下·辽宁期末)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势” 指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相 等利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形 状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以3√2为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于 平面ABCD,用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理 试求该几何体的体积是()（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） 10/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.36N2 B.722 C.36π D.72元 【变式2】(25-26高二上·上海松江·期末)有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题： 如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水， 使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为 (结果保留刀) R 图1 图2 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一下·天津滨海新区·期中)某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是 长方体ABCD-EFGH,PE=√5，EF=2,AE=1,则该组合体的体积为 P D B 2.(25-26高一下·浙江金华阶段检测)己知圆锥的轴截面为等边三角形，高为5，则圆锥的体积为() 4 B.刀 C.√3π D.2√3元 3.(25-26高二下广西南宁.期中)如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容 器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是() 图1 图2 11/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. R司 C. D.3 4.(25-26高一下·天津蓟州·期中)中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑 堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底 面的四棱锥现有一“堑堵”ABC-AB,C,如图所示，AC⊥BC,AA,=2AC=4,则其中“阳马”B-A1ACC,与 “堑堵”ABC-A,BC的体积之比为() A ⊙ A.1:4 B.1:2 C.2:3 D.4:5 5.(25-26高一下·重庆期中)图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的勖”取自首任校长 周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋它的主 体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥 的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球0的表面上，则球0的体积为() 图1 图2 125 32 A. B. C.32π D.16π 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(2026广东佛山模拟预测)己知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与 圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是() A.73x B.73x c.3π 24 6 2.(2026浙江·三模)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，记三棱锥B-AC,D,B-A,C,D,B-A,CD的体积分 别为'，'2，'3，则() 12/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.V=V,=V B.V=V,>V C.V,>'=V3 D.Y<',=g 3.(2026天津模拟预测)如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止 注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为() A.1 B.2 C.7 D.19 4.(25-26高一下·重庆·期中)在四棱锥P-ABCD中，AB=2DC,过DC的平面去截原四棱锥得到体积相等 的两个部分，且该平面交PB于点F,则 B 5.(2026海南省直辖县级单位模拟预测)如图，在棱长为2a的正方体ABCD-A'B'CD'中，P,Q分别为 A'D',CD'的中点，过P,Q,B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1） 为 D' 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(25-26高一上北京期末)某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体， 其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFR⊥平面ABC,平面CDT,⊥平面ABC, AB L BC,ABIIEFIRS IICD,BCIIDEIIST,/IAFAB-BC-8.AF-CD=4,RA-RF-TC-TD-5 , 则该多面体的体积为() R B 13/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.64 B.60 C.56 D.52 2.(25-26高一下·浙江温州期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P在棱CC1上，过 A,B,P作截面，过A,B,P作截面B,记正方体截面上方部分体积为V,记正方体截面B下方部分体积 为，则"+2"的最小值为() D A B D: 55 A. B. 59 9 9 C. g D.7 3.(2026湖南长沙模拟预测)以ABC为底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，并且正 三棱锥P-ABC的侧面与底面ABC所成的角为30°，记正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC的体积分别为 化和%，则文己 4.(25-26高一下·浙江杭州·期中)如图1，以边长为1的正六边形ABCDEF的互不相邻的三条边为边分别 向外作正方形，并将点A,B,重合为S,C,D,重合为T,E,E重合为U,得到如图2的八面体. E U ① ② (1)求该八面体的表面积： (②)求该八面体的外接球半径； (3)求该八面体的体积 5.(25-26高三下·安徽阶段检测)在三棱台ABC-AB,C,中，△AB,C的面积是ABC的面积的4倍，D为 CC的中点，点E满足2A,E=A,B+AB,该棱台被平面ADE分成不同的两部分，记V为体积较小的部分的 体积，乃为体积较大的部分的体积，则宁 =() 14/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D. 15/15